מבחן לדוגמה: אינטגרלים של פונקציות מעריכיות - כיתה י"ב 5 יח"ל

מצאו את $f(x)$.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f$ עם ציר ה-$x$, ואת נקודת המינימום של הפונקציה.

חשבו את $\int_{0}^{1}f(x)\,dx$.

הביעו את $J(t)$ ואת $K(t)$ באמצעות $t$ (בלי סימן אינטגרל).

הראו כי לכל $t>0$ מתקיים $\frac{K(t)}{J(t)}=\frac{2^{t}+1}{2}$, והסיקו כי $K(t)>J(t)$ לכל $t>0$.

מצאו את הערך של $t$ שעבורו $K(t)-J(t)=\frac{2}{\ln2}$.

קבעו את תחומי החיוביות והשליליות של $g(x)$. נמקו.

נתון כי $f(x)=\frac2x$.

מצאו את האסימפטוטות המאונכות לצירים של $g(x)$ ואת נקודת הקיצון שלה, וקבעו את סוגה.

קבעו, לכל ערך של $m$, כמה פתרונות יש למשוואה $g(x)=m$.

לכל $t>0$, $S(t)$ הוא השטח המוגבל על ידי גרף $g(x)$, ציר ה-$x$ והישרים $x=t$ ו-$x=2t$. מצאו את $t$ שבעבורו $S(t)=2$.

חשבו את השטח המסומן.

מצאו את $a$.

נתון: $f(0)=-2a$.

מצאו את הפונקציה $f(x)$.

נתונות הפונקציות: $m(x)=e^{h(x)}$, $h(x)=\frac{1}{f'(x)}$. שלושה מבין הגרפים I-IV שבראש השאלה מתארים את הפונקציות: $m(x)$, $h(x)$, $f'(x)$.

התאימו לכל פונקציה את הגרף המתאר אותה.

הראו כי $f(x)+f(-x)=4$ לכל $x$.

הסבירו, בלי למצוא פונקציה קדומה של $f$, מדוע $\int_{-1}^{1}f(x)\,dx=4$.

נתון כי $\int_{0}^{2}f(x)\,dx=B$.

הביעו באמצעות $B$ את $\int_{-2}^{0}f(x)\,dx$, וקבעו איזה משני האינטגרלים $\int_{-2}^{0}f(x)\,dx$ ו-$\int_{0}^{2}f(x)\,dx$ גדול יותר. נמקו.

נתונה הפונקציה $h(u)=e^{u}-1-u$, המוגדרת לכל $u$. הראו כי $h(u)\ge0$ לכל $u$, וכי $h(u)=0$ רק כאשר $u=0$.

הסיקו כי לכל $x\neq0$ מתקיים $1-x^{2}<e^{-x^{2}}<1$.

הראו כי $\frac23<I<\frac{1+e^{-0.25}}{2}$. (הדרכה לחסם העליון: חלקו את הקטע $[0,1]$ לשני חצאים, והיעזרו בכך שהפונקציה $e^{-x^{2}}$ יורדת בקטע.)