מבחן לדוגמה: אינטגרלים של פונקציות לוגריתמיות - כיתה י"ב 5 יח"ל

חשבו את השטח המוצלל.

הביעו את $I(a)$ ואת $J(a)$ באמצעות $a$.

מצאו את הערך של $a$ שעבורו $J(a)-I(a)=\ln\frac32$.

הראו כי לכל $a>1$ מתקיים $0<J(a)-I(a)<\ln2$. האם קיים $a>1$ שעבורו $J(a)=I(a)+\ln2$? נמקו.

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)$, והראו כי $f(x)$ היא פונקציה זוגית.

נתונה הפונקציה $g(x)=\left(f(x)\right)^2-2f(x)$, $x\neq0$.

נתונה הפונקציה $k(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}$ בתחום $x>e$.

הסבירו מדוע $\ln\left(g(x)\right)$ היא פונקציה קדומה של $k(x)$ בתחום $x>e$, וחשבו את השטח המוגבל על ידי גרף $k(x)$, ציר ה-$x$ והישרים $x=e^2$ ו-$x=e^3$.

הראו כי $g(x)$ מוגדרת לכל $x$, ומצאו את משוואות האסימפטוטות של $g(x)$ המאונכות לציר ה-$y$.

מצאו כמה נקודות קיצון יש לפונקציה $g(x)$ וקבעו את סוגן. עבור כל אחת מהן מצאו שני מספרים שלמים עוקבים שביניהם נמצא שיעור ה-$x$ שלה.

הוכיחו כי בכל נקודת קיצון $x_0$ של $g(x)$ מתקיים $g(x_0)=\frac{1}{3-x_0}$, והסיקו כי ערך המינימום של $g(x)$ קטן מ-$-1$.

גרף הפונקציה $g(x)$ חותך את האסימפטוטה $y=-1$. מצאו את נקודת החיתוך, וחשבו את השטח המוגבל על ידי גרף $g(x)$, על ידי ציר ה-$x$ ועל ידי הישר המאונך לציר ה-$x$ העובר בנקודה זו.

הראו כי $d(x)$ עולה בתחום $x>0$, וכי $d(x)<1$ לכל $x>0$.

מבין הביטויים I-III קבעו איזה הגדול ביותר ואיזה הקטן ביותר, בלי לחשב אינטגרלים. נמקו.

I. $\int_3^4d(x)\,dx$

II. $\int_6^7d(x)\,dx$

III. המספר 1.

לפניכם טענה: למשוואה $f(x)=f'(x)$ אין פתרון בתחום $0<x<\frac1{\sqrt a}$.

קבעו אם הטענה נכונה או לא נכונה. נמקו את קביעתכם.

נתונה הפונקציה: $g(x)$, המקיימת: $g(x)=\ln(f(x))$.

נסמן ב-$S$ את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $g(x)$, על ידי ציר ה-$x$ ועל ידי הישרים: $x=4$ ו-$x=6$. נתון: $1<a<4$.

הביעו באמצעות $S$ את ערך האינטגרל: $\int_4^6\ln\left(\frac{f(x)}{2}\right)dx$.

מצאו את $a$, והסבירו מדוע ביום $t=9$ הכמות אכן מרבית.

מצאו את כמות המים המרבית במאגר.

נתונה הפונקציה $h(x)$, המוגדרת בתחום $x>0$, שגרפה עובר בנקודה $(1,0)$, ונגזרתה מקיימת $h'(x)=f(x)-g(x)$.

מצאו את $h(x)$ באמצעות $a$.

מצאו, באמצעות $a$, את כל ערכי $m$ שעבורם למשוואה $h(x)=m$ יש בדיוק שני פתרונות.

נתון כי הערך הקטן ביותר של $h(x)$ הוא $-8$, ושתי נקודות החיתוך של גרף $h(x)$ עם ציר ה-$x$ נמצאות בתחום $x\ge1$.

מצאו את הערך של $a$ ואת $h(x)$.