שאלות פתוחות: מנסרה משולשת ישרה: פריסה ושטח פנים - כיתה ז'

כאן מרוכזות שאלות פתוחות על פריסה ושטח פנים של מנסרה משולשת ישרה לכיתה ז', כולל חישוב כמות הקרטון שצריך לבנייה. השאלות עוסקות בקופסת מתנה שבסיסה משולש ישר זווית, בגוש עץ לצעצוע שבסיסו משולש שווה שוקיים, בתיבה שנחתכה לאורך אלכסון הבסיס, ובפריסה של שני משולשים ושלושה מלבנים שצריך להשלים בה מידות. השאלות ברמה א', ברמה ב' ובמצוינות. בחרו את השאלות לבוחן או למבחן, ולכל אחת תקבלו פתרון מלא וקובץ Word.

42 שאלותרמה א': 19רמה ב': 12מצוינות: 11

שאלה 1 · מציאת אורך המנסרה משטח הפניםשאלה קצרה · רמה א'

קופסת מתנה עשויה קרטון והיא בצורת מנסרה משולשת ישרה.
בסיס הקופסה הוא משולש ישר-זווית שניצביו 121212 ס"מ ו-161616 ס"מ, והיתר שלו 202020 ס"מ.
לבניית הקופסה, עם כל הפאות שלה, השתמשו בדיוק ב-480480480 סמ"ר קרטון (בלי שוליים להדבקה).

מה אורך הקופסה? פרטו את חישוביכם ובדקו את תשובתכם.

שאלה 2 · שטח פנים של מנסרה שבסיסה משולש ישר-זוויתשאלה קצרה · רמה ב'

לפניכם מנסרה משולשת ישרה ABCDEFABCDEFABCDEF. בסיסי המנסרה הם המשולשים ABCABCABC ו-DEFDEFDEF.
המשולש ABCABCABC ישר-זווית ב-AAA: AB=12AB=12AB=12 ס"מ, AC=5AC=5AC=5 ס"מ, BC=13BC=13BC=13 ס"מ. אורך המנסרה הוא AD=8AD=8AD=8 ס"מ.
ABCDEF

א.

כמה פאות יש למנסרה? כמה מהן משולשים וכמה מלבנים? רשמו את המידות של כל מלבן.

ב.

חשבו את שטח הפנים של המנסרה.

שאלה 3 · חציית תיבה לשתי מנסרות: מה קורה לשטח הפנים?שאלה קצרה · מצוינות

לתיבה ABCDEFGHABCDEFGHABCDEFGH בסיס מלבני ABCDABCDABCD שבו AB=4AB=4AB=4 ס"מ ו-BC=3BC=3BC=3 ס"מ, וגובהה AE=10AE=10AE=10 ס"מ.
חתכו את התיבה במישור ACGEACGEACGE (דרך אלכסון הבסיס ACACAC, לכל גובה התיבה) וקיבלו שתי מנסרות משולשות ישרות חופפות.
ABCDEFGH

א.

חשבו את שטח הפנים של התיבה ואת שטח הפנים של אחת המנסרות.

ב.

שירה אמרה: "כל מנסרה היא חצי מהתיבה, ולכן שטח הפנים שלה הוא חצי משטח הפנים של התיבה." הסבירו מה שגוי בטענה. בכמה סמ"ר גדול סכום שטחי הפנים של שתי המנסרות משטח הפנים של התיבה? הסבירו בלי לחשב שוב את כל הפאות.

שאלה 4 · בסיס שווה-שוקיים: גובה בעזרת משפט פיתגורסשאלה קצרה · רמה א'

גוש עץ לבניית צעצוע הוא בצורת מנסרה משולשת ישרה ABCDEFABCDEFABCDEF.
הבסיס ABCABCABC הוא משולש שווה-שוקיים: AB=AC=5AB=AC=5AB=AC=5 ס"מ ו-BC=8BC=8BC=8 ס"מ. אורך הגוש הוא AD=10AD=10AD=10 ס"מ.
צובעים את כל הפאות של הגוש.
ABCDEF

כמה סמ"ר צובעים? פרטו את חישוביכם.

שאלה 5 · שטח פנים מתוך פריסהשאלה קצרה · רמה ב'

לפניכם פריסה של מנסרה משולשת ישרה: שני משולשים ושלושה מלבנים.
בסיסי המנסרה הם משולשים ישרי-זווית שניצביהם 666 ס"מ ו-888 ס"מ, והיתר שלהם 101010 ס"מ. אורך המנסרה הוא 444 ס"מ.
yx

א.

מה האורכים של הקטעים xxx ו-yyy המסומנים בפריסה? הסבירו איזה מקצוע של המנסרה כל אחד מהם יהיה אחרי הקיפול.

ב.

חשבו את שטח הפריסה. מהו שטח הפנים של המנסרה?

שאלה 6 · מכפילים את כל המקצועות: פי כמה גדל שטח הפנים?שאלת ביניים · מצוינות

בסיס המנסרה המשולשת הישרה ABCDEFABCDEFABCDEF הוא משולש ישר-זווית ב-AAA: AB=4AB=4AB=4 ס"מ, AC=3AC=3AC=3 ס"מ, BC=5BC=5BC=5 ס"מ. אורך המנסרה הוא AD=4AD=4AD=4 ס"מ.
בונים מנסרה חדשה, שבה כל מקצוע ארוך פי 222 מהמקצוע המתאים במנסרה ABCDEFABCDEFABCDEF.
ABCDEF

א.

חשבו את שטח הפנים של המנסרה ABCDEFABCDEFABCDEF ואת שטח הפנים של המנסרה החדשה. פי כמה גדל שטח הפנים?

ב.

הסבירו בעזרת הפאות למה שטח הפנים גדל דווקא פי 444.

ג.

עכשיו כל מקצוע ארוך פי 333 מהמקצוע המתאים במנסרה ABCDEFABCDEFABCDEF. מה שטח הפנים? מצאו אותו בעזרת ההסבר מסעיף ב, ובדקו בחישוב של כל הפאות.

שאלה 7 · פריסה שנגזרת מכרטיסשאלת ביניים · רמה א'

נועה בונה מקרטון מנסרה משולשת ישרה. בסיס המנסרה הוא משולש ישר-זווית שניצביו 101010 ס"מ ו-242424 ס"מ, והיתר שלו 262626 ס"מ. אורך המנסרה הוא 333 ס"מ.
זו הפריסה שנועה סרטטה. שלושת המלבנים נמצאים ברצועה אחת, ושני המשולשים מחוברים לאותו מלבן, זה שרוחבו הוא הניצב הארוך של הבסיס: אחד מעליו ואחד מתחתיו.
abchd

א.

רשמו את האורכים של הקטעים aaa, bbb, ccc, hhh ו-ddd. הסבירו לכל אחד איזה מקצוע של המנסרה הוא יהיה אחרי הקיפול.

ב.

חשבו את שטח הפריסה.

ג.

נועה גוזרת את הפריסה מכרטיס מלבני, הקטן ביותר שהפריסה הזאת נכנסת בו כשרצועת המלבנים לאורכו. מה מידות הכרטיס, וכמה סמ"ר קרטון נשארים כפסולת?

שאלה 8 · קופסת סנדוויץ' משולשתשאלת ביניים · רמה ב'

בקיוסק מוכרים כריכים בקופסת פלסטיק סגורה בצורת מנסרה משולשת ישרה ABCDEFABCDEFABCDEF.
הבסיס ABCABCABC הוא משולש ישר-זווית ב-AAA: AB=12AB=12AB=12 ס"מ, AC=9AC=9AC=9 ס"מ, BC=15BC=15BC=15 ס"מ. עובי הקופסה (אורך המנסרה) הוא AD=5AD=5AD=5 ס"מ.
ABCDEF

א.

חשבו את שטח הבסיס ABCABCABC.

ב.

חשבו את השטח של כל אחת משלוש הפאות הצדדיות ואת סכום שטחיהן.

ג.

כמה סמ"ר פלסטיק דרושים לקופסה אחת? (לא מתחשבים בחפיפות ובעובי הפלסטיק.)

שאלה 9 · חקירה: שינויים במקצועות ושטח הפניםשאלה מלאה · מצוינות

בסיס של מנסרה משולשת ישרה הוא משולש ישר-זווית שניצביו 555 ס"מ ו-121212 ס"מ, והיתר שלו 131313 ס"מ. אורך המנסרה הוא LLL ס"מ.
בשאלה נבדוק איך שינויים במקצועות משנים את שטח הפנים.

א.

כתבו ביטוי לשטח הפנים של המנסרה, בעזרת LLL.

ב.

מאריכים את המנסרה ב-333 ס"מ (הבסיס לא משתנה). בכמה סמ"ר גדל שטח הפנים? האם התשובה תלויה ב-LLL? הסבירו בעזרת הפאות.

ג.

במקום להאריך ב-333 ס"מ, מכפילים את אורך המנסרה פי 222. בכמה גדל שטח הפנים עכשיו? מצאו את האורך LLL שעבורו שני השינויים (הארכה ב-333 ס"מ והכפלת האורך) מגדילים את שטח הפנים באותה מידה.

ד.

עכשיו האורך נשאר LLL, אבל מכפילים את כל צלעות הבסיס פי 222 (הבסיס החדש: 101010, 242424, 262626 ס"מ). יונתן טוען: "שטח הפנים יגדל בדיוק פי 222." האם הוא צודק? הראו בעזרת ביטויים, והסבירו בעזרת הפאות.

ה.

עבור איזה אורך LLL שטח הפנים של המנסרה עם הבסיס החדש (מסעיף ד) גדול בדיוק פי 333 משטח הפנים של המנסרה המקורית באותו אורך?

שאלה 10 · שטח פנים כביטוי: השוואה בין שתי מנסרותשאלת ביניים · רמה א'

למנסרה משולשת ישרה I\text{I}I בסיס שהוא משולש ישר-זווית שניצביו 666 ס"מ ו-888 ס"מ, והיתר שלו 101010 ס"מ. אורך המנסרה xxx ס"מ.
למנסרה משולשת ישרה II\text{II}II בסיס שהוא משולש ישר-זווית שניצביו 333 ס"מ ו-444 ס"מ, והיתר שלו 555 ס"מ. אורך המנסרה 2x2x2x ס"מ.

א.

כתבו ביטוי לשטח הפנים של מנסרה I\text{I}I.

ב.

כתבו ביטוי לשטח הפנים של מנסרה II\text{II}II, וכנסו איברים דומים.

ג.

לאיזו מנסרה שטח פנים גדול יותר? בכמה? האם התשובה תלויה ב-xxx? נמקו.

עוד 32 שאלות על מנסרה משולשת ישרה: פריסה ושטח פנים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

טריז ספוג לחדר ההתעמלות (שאלה מלאה · רמה ב')
בחדר ההתעמלות יש טריז מספוג שעליו מתרגלים גלגולים. הטריז הוא מנסרה משולשת ישרה $ABCDEF$ שמונחת על הרצפה על הפאה $ABED$ . הבסיס $ABC$ הוא…
אותו היקף בסיס ואותו אורך: תמיד, לפעמים או אף פעם? (שאלה קצרה · מצוינות)
לשתי מנסרות משולשות ישרות יש אותו אורך, ולמשולשי הבסיס שלהן יש אותו היקף (המשולשים עצמם יכולים להיות שונים). לגבי כל טענה קבעו אם היא נכונה…
שתי קופסאות לעוגיות: איזו חסכונית יותר? (שאלה מלאה · רמה א')
מאפייה מתכננת קופסת קרטון לעוגיות בצורת מנסרה משולשת ישרה, ושוקלת שני דגמים. דגם א: הבסיס משולש שווה-שוקיים שהשוקיים שלו $10$ ס"מ כל אחת…
מדבקה שעוטפת קופסת שוקולד (שאלה קצרה · רמה ב')
חפיסת שוקולד ארוזה בקופסה בצורת מנסרה משולשת ישרה $ABCDEF$ . הבסיס $ABC$ הוא משולש שווה צלעות שאורך צלעו $4$ ס"מ. אורך הקופסה הוא $AD=20$ …
כדי להכפיל את שטח הפנים, מה עושים לאורך? (שאלת ביניים · מצוינות)
הבסיס של מנסרה משולשת ישרה הוא משולש ישר זווית שניצביו $6$ ס"מ ו- $8$ ס"מ, והיתר שלו $10$ ס"מ. אורך המנסרה $L$ ס"מ.
שטח מעטפת של ארבע מנסרות (שאלה קצרה · רמה א')
בטבלה נתונות ארבע מנסרות משולשות ישרות: אורכי שלוש הצלעות של הבסיס ואורך המנסרה.
מה אורך הקופסה? משטח המעטפת לאורך (שאלה קצרה · רמה ב')
קופסה בצורת מנסרה משולשת ישרה $ABCDEF$ . צלעות הבסיס $ABC$ הן $AB=AC=7$ ס"מ ו- $BC=4$ ס"מ. שטח המעטפת של הקופסה (שלוש הפאות הצדדיות יחד) הוא…
מדביקים שתי מנסרות: איזו הדבקה חוסכת הכי הרבה צבע? (שאלת ביניים · מצוינות)
לנגר יש שתי מנסרות עץ חופפות. הבסיס של כל אחת הוא משולש ישר זווית שניצביו $5$ ס"מ ו- $12$ ס"מ, והיתר שלו $13$ ס"מ. אורך כל מנסרה $4$ ס"מ.…
צלע חסרה בבסיס כששטח המעטפת ידוע (שאלה קצרה · רמה א')
בשני הסעיפים חסרה צלע בבסיס של מנסרה, ושטח המעטפת ידוע. אין קשר בין הסעיפים.
מאריכים את המנסרה בסנטימטר אחד (שאלה קצרה · רמה ב')
הבסיס של מנסרה משולשת ישרה $ABCDEF$ הוא משולש ישר זווית ב- $A$ : $AB=4$ ס"מ, $AC=3$ ס"מ, $BC=5$ ס"מ. אורך המנסרה $AD=6$ ס"מ.
משטחי הפאות אל צלעות הבסיס (שאלת ביניים · מצוינות)
הבסיס של מנסרה משולשת ישרה $ABCDEF$ הוא משולש ישר זווית ב- $A$ . אורך המנסרה $AD=10$ ס"מ. השטחים של שתי הפאות הצדדיות שעוברות דרך הניצבים…
שוקת מפח פתוחה למעלה (שאלה קצרה · רמה א')
בחווה יש שוקת מים מפח בצורת מנסרה משולשת ישרה $ABCDEF$ , שהחוד שלה פונה למטה. השוקת פתוחה למעלה: אין לה את הפאה $BCFE$ . הבסיס $ABC$ הוא משולש…
אהיל משולש מנייר צבעוני (שאלת ביניים · רמה ב')
לקישוט הכיתה מכינים אהילים למנורות. כל אהיל הוא מנסרה משולשת ישרה $ABCDEF$ בלי שני הבסיסים: למעלה ולמטה הוא פתוח, ויש לו רק שלוש פאות צדדיות…
איזו פריסה מתקפלת למנסרה? (שאלת ביניים · מצוינות)
הבסיס של מנסרה משולשת ישרה הוא משולש ישר זווית שניצביו $3$ ס"מ ו- $4$ ס"מ, והיתר שלו $5$ ס"מ. אורך המנסרה $6$ ס"מ. אורי סרטט פריסה: שלושה…
טבלה: שטח הפנים כשהאורך גדל (שאלה קצרה · רמה א')
הבסיס של מנסרה משולשת ישרה הוא משולש שווה שוקיים שצלעותיו $5$ , $5$ ו- $6$ ס"מ, והגובה שלו לצלע $6$ הוא $4$ ס"מ. אורך המנסרה הוא $L$ ס"מ,…
רמפה לסקייטבורד: מה רוחבה? (שאלה מלאה · רמה ב')
בפארק יש רמפה מעץ בצורת מנסרה משולשת ישרה $ABCDEF$ , שמונחת על הפאה $ABED$ . הבסיס $ABC$ הוא משולש ישר זווית ב- $B$ : הצלע שעל הקרקע $AB=48$ …
המספר של שטח הפנים מול המספר של הנפח (שאלה קצרה · מצוינות)
שתי מנסרות משולשות ישרות: הבסיס של מנסרה $P$ הוא משולש ישר זווית שצלעותיו $3$ , $4$ ו- $5$ ס"מ, ואורכה $2$ ס"מ. הבסיס של מנסרה $Q$ הוא משולש…
קופסת מתנה: מה אורכה? (שאלת ביניים · רמה א')
קופסת מתנה בצורת מנסרה משולשת ישרה $ABCDEF$ עשויה קרטון. הבסיס $ABC$ הוא משולש ישר זווית ב- $A$ שניצביו $AB=12$ ס"מ ו- $AC=9$ ס"מ. לבניית…
משלימים טבלה: הנתון החסר במנסרה (שאלה קצרה · רמה ב')
שטח הפנים של מנסרה משולשת ישרה הוא סכום השטחים של שני הבסיסים ושל המעטפת (שלוש הפאות הצדדיות), והמעטפת שווה להיקף הבסיס כפול אורך המנסרה.…
אריזות עם אותו שטח פנים (שאלת ביניים · מצוינות)
מפעל מזמין אריזות קרטון סגורות בצורת מנסרה משולשת ישרה. בכל אריזה שטח הפנים צריך להיות בדיוק $312$ סמ"ר. הבסיס של האריזה הוא משולש ישר…
אוהל בלי רצפה (שאלת ביניים · רמה א')
אוהל טיולים הוא בצורת מנסרה משולשת ישרה $ABCDEF$ שמונחת על הפאה $BCFE$ (הקרקע). לאוהל אין רצפה מבד: הבד מכסה רק את שני המשולשים (החזית והגב)…
צבע למיכל: מחיר לפי שטח, מים לפי נפח (שאלה קצרה · רמה ב')
מיכל סגור הוא מנסרה משולשת ישרה. הבסיס שלו הוא משולש ישר זווית שצלעותיו $15$ , $36$ ו- $39$ ס"מ, ואורך המיכל $40$ ס"מ. צובעים את כל הפאות של…
משחזרים את הבסיס משתי מדידות (שאלה קצרה · מצוינות)
שלוש קופסאות בצורת מנסרה משולשת ישרה בנויות על אותו משולש בסיס, באורכים שונים. השטח וההיקף של הבסיס לא נרשמו. ידוע: לקופסה $A$ , שאורכה $5$ …
כשנתון הגובה של הבסיס ולא השוקיים (שאלת ביניים · רמה א')
גוש עץ לבניית במה בתיאטרון בובות הוא מנסרה משולשת ישרה $ABCDEF$ . הבסיס $ABC$ הוא משולש שווה שוקיים ( $AB=AC$ ) שבו $BC=16$ ס"מ, והגובה מ- $A$ …
קוראים פריסה: מה אורך, מה שטח, ומה הנפח (שאלה קצרה · רמה ב')
לפניכם פריסה של מנסרה משולשת ישרה: שלושה מלבנים ברצועה אחת, ושני משולשים. ברצועה, משמאל לימין, הרוחבים של המלבנים הם $5$ ס"מ, $12$ ס"מ…
אריזת חטיף: מעטפת, שטח פנים וחיתוך מגיליון (שאלה מלאה · רמה א')
מפעל אורז חטיף בקופסת קרטון בצורת מנסרה משולשת ישרה $ABCDEF$ . הבסיס $ABC$ הוא משולש שווה שוקיים: $AB=AC=13$ ס"מ ו- $BC=10$ ס"מ. אורך הקופסה…
עוגה שנחתכה באלכסון: אילו פאות מצופות? (שאלה מלאה · רמה א')
עוגה בצורת תיבה $ABCDEFGH$ : הבסיס $ABCD$ הוא מלבן שבו $AB=16$ ס"מ ו- $BC=12$ ס"מ, וגובה העוגה $AE=5$ ס"מ. את כל העוגה, חוץ מהתחתית $ABCD$ ,…
טבלה: אותו נפח, שטחי פנים שונים (שאלה קצרה · רמה א')
בטבלה שלוש מנסרות משולשות ישרות. לכל אחת נתונים: הצלעות של משולש הבסיס, שטח הבסיס, היקף הבסיס ואורך המנסרה.
איזה חלק משטח הפנים הם הבסיסים? (שאלה קצרה · רמה א')
הבסיס של מנסרה משולשת ישרה הוא משולש ישר זווית שצלעותיו $8$ , $15$ ו- $17$ ס"מ. את אורך המנסרה, $L$ ס"מ, אפשר לשנות; הבסיס לא משתנה.
שלוש דרכים שגויות לחשב שטח פנים (שאלה קצרה · רמה א')
הבסיס של מנסרה משולשת ישרה הוא משולש שווה שוקיים שצלעותיו $13$ , $13$ ו- $10$ ס"מ, והגובה שלו לצלע $10$ הוא $12$ ס"מ. אורך המנסרה $5$ ס"מ.…
קופסה בתקציב: מה האורך המתאים? (שאלת ביניים · רמה א')
מכינים קופסה בצורת מנסרה משולשת ישרה, סגורה מכל הצדדים. הבסיס הוא משולש ישר זווית שצלעותיו $9$ , $12$ ו- $15$ ס"מ. האורך של הקופסה הוא מספר…
רצועת הפאות הצדדיות: מהמלבנים אל הנפח (שאלת ביניים · רמה א')
לפניכם רק שלוש הפאות הצדדיות של מנסרה משולשת ישרה, פרושות כרצועה אחת: שלושה מלבנים זה לצד זה. הרוחבים של המלבנים הם $9$ ס"מ, $12$ ס"מ ו- $15$ …