שאלות פתוחות: מנסרה משולשת ישרה: מבנה ונפח - כיתה ז'

אוסף שאלות פתוחות על מנסרה משולשת ישרה לכיתה ז': זיהוי בסיסים, פאות ומקצועות וחישוב נפח. בין השאלות: השוואה בין שני דגמים של קופסת עוגיות, מנסרה ששוכבת כמו אוהל, שוקת מים לסוסים, גוש גבינה שנחתך לאורך אלכסון לשתי מנסרות, ומציאת ניצבים שלמים כשהנפח ידוע. חלק מהשאלות דורשות למצוא קודם גובה במשולש הבסיס. השאלות ברמה א', ברמה ב' ובמצוינות. אפשר להרכיב מהן מבחן או דף עבודה, עם פתרונות מלאים וייצוא ל-Word.

41 שאלותרמה א': 17רמה ב': 13מצוינות: 11

שאלה 1 · שתי קופסאות לעוגיות: איזו חסכונית יותר?שאלה מלאה · רמה א'

מאפייה מתכננת קופסת קרטון לעוגיות בצורת מנסרה משולשת ישרה, ושוקלת שני דגמים.
דגם א: הבסיס משולש שווה-שוקיים שהשוקיים שלו 101010 ס"מ כל אחת והצלע השלישית 161616 ס"מ. אורך הקופסה 202020 ס"מ.
דגם ב: הבסיס משולש ישר-זווית שניצביו 666 ס"מ ו-888 ס"מ, והיתר שלו 101010 ס"מ. את אורך הקופסה עוד צריך לקבוע.
בכל החישובים אין שוליים להדבקה.

א.

חשבו את הגובה לצלע של 161616 ס"מ בבסיס של דגם א, ואת שטח הבסיס.

ב.

כמה סמ"ר קרטון דרושים לקופסה אחת מדגם א?

ג.

הקופסאות משני הדגמים צריכות להכיל אותה כמות עוגיות, כלומר נפח שווה. חשבו את נפח הקופסה מדגם א, ומצאו מה צריך להיות האורך של קופסה מדגם ב.

ד.

כמה סמ"ר קרטון דרושים לקופסה מדגם ב באורך שמצאתם?

ה.

המאפייה רוצה להשתמש בכמה שפחות קרטון. איזה דגם כדאי לה לבחור? כמה סמ"ר קרטון תחסוך בכל קופסה?

שאלה 2 · מבנה של מנסרה משולשת: פאות, מקצועות וקודקודיםשאלה קצרה · רמה ב'

לפניכם מנסרה משולשת ישרה ABCDEFABCDEFABCDEF. המנסרה שוכבת על הפאה ABEDABEDABED, כמו אוהל.
ABCDEF

א.

כמה פאות יש למנסרה? כתבו אילו פאות הן בסיסי המנסרה, ומה הצורה של שאר הפאות.

ב.

כמה מקצועות וכמה קודקודים יש למנסרה? כתבו את שמות המקצועות.

שאלה 3 · כל המנסרות בנפח נתוןשאלה קצרה · מצוינות

הבסיס של מנסרה משולשת ישרה הוא משולש ישר זווית. אורכי הניצבים שלו (בס"מ) הם מספרים שלמים, ונפח המנסרה 242424 סמ"ק.

א.

אורך המנסרה 444 ס"מ. מצאו את כל האפשרויות לאורכי שני הניצבים (בלי חשיבות לסדר).

ב.

האם אפשר לבנות מנסרה כזאת (ניצבים שלמים, נפח 242424 סמ"ק) שאורכה 555 ס"מ? נמקו.

שאלה 4 · שוקת מים: אורך מתוך הנפחשאלה קצרה · רמה א'

שוקת מים לסוסים היא מנסרה משולשת ישרה. הבסיס שלה (החתך בקצה השוקת) הוא משולש ישר זווית: הזווית הישרה נמצאת למטה, ושני הניצבים הם הדפנות המשופעות של השוקת, באורך 242424 ס"מ ו-323232 ס"מ. הצלע השלישית של המשולש היא הפתח העליון של השוקת.

א.

כשהשוקת מלאה עד הפתח יש בה 484848 ליטר מים. מה אורך השוקת? (111 ליטר =1000=1000=1000 סמ"ק)

ב.

מה רוחב הפתח העליון של השוקת?

שאלה 5 · חציית תיבה לשתי מנסרותשאלה קצרה · רמה ב'

גוש גבינה הוא תיבה ABCDEFGHABCDEFGHABCDEFGH שמידותיה AB=12AB=12AB=12 ס"מ, BC=7BC=7BC=7 ס"מ ו-BF=5BF=5BF=5 ס"מ.
חותכים את הגוש בסכין ישרה לאורך האלכסון AFAFAF של הפאה הקדמית ולאורך האלכסון DGDGDG של הפאה האחורית. מתקבלים שני חלקים זהים, וכל אחד מהם הוא מנסרה משולשת ישרה.
ABCDEFGH

א.

מה הצורה של הבסיסים של החלק התחתון? באיזה קודקוד נמצאת הזווית הישרה של הבסיס ABFABFABF?

ב.

חשבו את הנפח של כל אחד משני החלקים. הסבירו.

שאלה 6 · אותו היקף בסיס, נפח אחרשאלת ביניים · מצוינות

לשתי מנסרות משולשות ישרות יש אותו אורך, 121212 ס"מ.
הבסיס של המנסרה הראשונה הוא משולש שווה שוקיים ששוקיו 131313 ס"מ ובסיסו 242424 ס"מ.
הבסיס של המנסרה השנייה הוא משולש שווה שוקיים ששוקיו 171717 ס"מ ובסיסו 161616 ס"מ.
במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס מחלק את הבסיס לשני חלקים שווים.

א.

הראו שלשני משולשי הבסיס יש אותו היקף. חשבו את השטח של כל אחד מהם.

ב.

יואב טוען: "אם לשתי מנסרות משולשות יש אותו אורך, ולבסיסים שלהן יש אותו היקף, אז יש להן אותו נפח." חשבו את נפחי שתי המנסרות והכריעו אם יואב צודק.

ג.

משנים רק את האורך של המנסרה השנייה, כך שהנפח שלה יהיה שווה לנפח של המנסרה הראשונה. מה צריך להיות האורך החדש? כתבו טענה דומה לטענה של יואב שהיא תמיד נכונה, והסבירו למה.

שאלה 7 · נפח כסכום של שתי מנסרותשאלה קצרה · רמה א'

לפניכם מנסרה משולשת ישרה ABCDEFABCDEFABCDEF שאורכה AD=10AD=10AD=10 ס"מ. בבסיס ABCABCABC הקטע CHCHCH הוא הגובה לצלע ABABAB, ונתון: AH=3AH=3AH=3 ס"מ, HB=6HB=6HB=6 ס"מ, CH=4CH=4CH=4 ס"מ.
חותכים את המנסרה לאורך המלבן CHKFCHKFCHKF (הקטע CHCHCH על הבסיס הקדמי, והקטעים HKHKHK ו-KFKFKF שמוסתרים מאחורי הגוף ומסורטטים בקו מקווקו), ומקבלים שתי מנסרות קטנות שבסיסיהן △AHC\triangle AHC△AHC ו-△BHC\triangle BHC△BHC.
ABCDEFHK

חשבו את נפח המנסרה ABCDEFABCDEFABCDEF בשתי דרכים: (1) כסכום הנפחים של שתי המנסרות הקטנות; (2) בעזרת שטח המשולש ABCABCABC.

שאלה 8 · אוהל סיור: גובה, שטח החזית ונפחשאלת ביניים · רמה ב'

אוהל סיור הוא מנסרה משולשת ישרה שמונחת על אחת הפאות הצדדיות שלה. הפתח של האוהל הוא משולש שווה שוקיים ABCABCABC: רוחב האוהל על הקרקע AB=1.2AB=1.2AB=1.2 מ', ושתי הדפנות המשופעות AC=BC=1AC=BC=1AC=BC=1 מ'. אורך האוהל AD=2AD=2AD=2 מ'.
הנקודה HHH היא אמצע ABABAB, והקטע CHCHCH הוא גובה האוהל. כך נראה הפתח של האוהל:
?ABCH

א.

הגובה CHCHCH מאונך לקרקע ומחלק את ABABAB לשני חלקים שווים. חשבו את AHAHAH, ובעזרת משפט פיתגורס במשולש AHCAHCAHC חשבו את גובה האוהל CHCHCH.

ב.

חשבו את שטח המשולש ABCABCABC, שהוא בסיס המנסרה.

ג.

חשבו את נפח האוויר שבאוהל, במ"ק ובליטרים. (111 מ"ק =1000=1000=1000 ליטר)

שאלה 9 · אוהל צל: איפה לשים את העמוד?שאלה מלאה · מצוינות

מתכננים אוהל צל שאורכו 333 מ'. האוהל הוא מנסרה משולשת ישרה, והחזית שלו היא המשולש ABCABCABC: הצלע ABABAB מונחת על הקרקע ואורכה 222 מ', והקודקוד CCC הוא ראש עמוד CHCHCH שגובהו 222 מ'. העמוד מאונך לקרקע, והנקודה HHH (רגל העמוד) נמצאת על הישר ABABAB.
אפשר להזיז את מקום העמוד. האורך של ABABAB ושל האוהל, וגם גובה העמוד, לא משתנים.

א.

העמוד עומד באמצע ABABAB. חשבו את נפח האוהל.

ב.

מזיזים את העמוד כך ש-AH=0.5AH=0.5AH=0.5 מ', ו-HHH נמצאת בין AAA ל-BBB. העמוד מחלק את האוהל לשתי מנסרות שבסיסיהן משולשים ישרי זווית. חשבו את הנפח של כל אחת מהן ואת נפח האוהל.

ג.

בתכנון אחר העמוד עומד מחוץ לקטע ABABAB, מעבר לנקודה BBB, ו-BH=1BH=1BH=1 מ'. כך נראית חזית האוהל:
ABHC
הסבירו איך מקבלים את נפח האוהל כהפרש של נפחי שתי מנסרות שבסיסיהן משולשים ישרי זווית, וחשבו אותו.

ד.

מה אפשר ללמוד מסעיפים א-ג? הסבירו בעזרת שטח המשולש ABCABCABC למה זה נכון בכל מקום שבו יעמוד העמוד על הישר ABABAB.

ה.

רוצים אוהל שנפחו 999 מ"ק, עם אותו ABABAB ובאותו אורך. סמנו ב-hhh את גובה העמוד (במטרים), הביעו את נפח האוהל באמצעות hhh, ומצאו את hhh.

שאלה 10 · רמפה מבטון: נפח בביטוי ומשוואהשאלת ביניים · רמה א'

ליד הכניסה לבית הספר יוצקים רמפה מבטון בצורת מנסרה משולשת ישרה. בסיס המנסרה הוא המשולש ABCABCABC, שהזווית הישרה שלו ב-BBB: AB=96AB=96AB=96 ס"מ הוא האורך האופקי של הרמפה, ו-BCBCBC הוא הגובה שלה. רוחב הרמפה BE=150BE=150BE=150 ס"מ.
נסמן את הגובה BCBCBC ב-xxx ס"מ.
?xABCDEF

א.

הביעו באמצעות xxx את נפח הבטון ברמפה (בסמ"ק). כתבו את הביטוי בצורה הפשוטה ביותר.

ב.

ברמפה יש 201,600201{,}600201,600 סמ"ק בטון. כתבו משוואה ומצאו את הגובה של הרמפה.

ג.

על המדרון של הרמפה מדביקים פס נגד החלקה, לכל האורך מ-AAA עד CCC. מה אורך הפס?

עוד 31 שאלות על מנסרה משולשת ישרה: מבנה ונפח

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

אריזות של חטיף שוקולד (שאלה מלאה · רמה ב')
חטיף שוקולד ארוז באריזה בצורת מנסרה משולשת ישרה $ABCDEF$ . הבסיס של האריזה הוא המשולש ישר הזווית $ABC$ (הזווית הישרה ב- $B$ ), שניצביו $AB=4$ …
מדביקים שתי מנסרות: כמה פאות יש לגוף? (שאלה קצרה · מצוינות)
יש שתי מנסרות משולשות ישרות זהות מעץ. הבסיס של כל אחת הוא משולש ישר זווית שניצביו $3$ ס"מ ו- $4$ ס"מ ויתרו $5$ ס"מ, וגובה כל מנסרה $10$ ס"מ.…
חלל הגג של בית (שאלת ביניים · רמה א')
בית בנוי מתיבה, ומעליה גג בצורת מנסרה משולשת ישרה (חלל הגג). רוחב הבית $AB=8$ מ', אורכו $BC=20$ מ' וגובה הקירות $AE=3$ מ'. החזית של הגג היא…
מיכל מי גשם וקערה לכלב: כמה ליטר? (שאלה קצרה · רמה ב')
בכל סעיף פרטו את החישוב. זכרו: $1$ ליטר $=1000$ סמ"ק.
מיכל שמתמלא מברז: האם המים עולים באותו קצב? (שאלת ביניים · מצוינות)
מיכל מים הוא מנסרה משולשת ישרה שעומדת על הבסיס שלה. הבסיס הוא משולש ישר זווית שניצביו $60$ ס"מ ו- $80$ ס"מ, וגובה המיכל $100$ ס"מ. ברז ממלא…
מים באגרטל בצורת מנסרה (שאלה מלאה · רמה א')
אגרטל זכוכית הוא מנסרה משולשת ישרה $ABCDEF$ שעומדת על הבסיס $ABC$ . הבסיס הוא משולש ישר זווית (הזווית הישרה ב- $B$ ) שניצביו $AB=20$ ס"מ…
משנים מידה אחת: פי כמה גדל הנפח? (שאלה קצרה · רמה ב')
הבסיס של מנסרה משולשת ישרה הוא משולש ישר זווית שניצביו $6$ ס"מ ו- $8$ ס"מ. גובה המנסרה $10$ ס"מ. הנפח שלה $240$ סמ"ק (בדקו).
שלוש מנסרות עם אותו x (שאלת ביניים · מצוינות)
הבסיסים של שלוש מנסרות משולשות ישרות הם משולשים ישרי זווית ( $x$ הוא מספר חיובי, והאורכים בס"מ): - מנסרה $1$ : ניצבים $x$ ו- $6$ , גובה $8$ . -…
מעצור לדלת: מה הבסיס ומה גובה המנסרה? (שאלה קצרה · רמה א')
מעצור לדלת עשוי מגומי, והוא מנסרה משולשת ישרה $ABCDEF$ שמונחת על הרצפה על הפאה המלבנית $ABED$ . המשולש $ABC$ ישר זווית (…
נפח בביטוי: ניצב באורך x (שאלה קצרה · רמה ב')
בכל סעיף פרטו את החישוב.
המספר של שטח הפנים מול המספר של הנפח (שאלה קצרה · מצוינות)
שתי מנסרות משולשות ישרות: הבסיס של מנסרה $P$ הוא משולש ישר זווית שצלעותיו $3$ , $4$ ו- $5$ ס"מ, ואורכה $2$ ס"מ. הבסיס של מנסרה $Q$ הוא משולש…
בריכת נוי עם קרקעית משופעת (שאלה מלאה · רמה א')
בחצר בונים בריכת נוי. הבריכה מלאה עד שפתה, והמים בה הם מנסרה משולשת ישרה $ABCDEF$ . פני המים הם המלבן $ABED$ : אורכו $AB=2.4$ מ' ורוחבו…
צבע למיכל: מחיר לפי שטח, מים לפי נפח (שאלה קצרה · רמה ב')
מיכל סגור הוא מנסרה משולשת ישרה. הבסיס שלו הוא משולש ישר זווית שצלעותיו $15$ , $36$ ו- $39$ ס"מ, ואורך המיכל $40$ ס"מ. צובעים את כל הפאות של…
אריזות עם אותו שטח פנים (שאלת ביניים · מצוינות)
מפעל מזמין אריזות קרטון סגורות בצורת מנסרה משולשת ישרה. בכל אריזה שטח הפנים צריך להיות בדיוק $312$ סמ"ר. הבסיס של האריזה הוא משולש ישר…
אותו נפח עם בסיס אחר (שאלה קצרה · רמה א')
לפניכם שתי מנסרות משולשות ישרות. הבסיס של מנסרה $P$ הוא משולש ישר זווית שניצביו $4$ ס"מ ו- $6$ ס"מ, וגובהה $15$ ס"מ. הבסיס של מנסרה $Q$ הוא…
קוראים פריסה: מה אורך, מה שטח, ומה הנפח (שאלה קצרה · רמה ב')
לפניכם פריסה של מנסרה משולשת ישרה: שלושה מלבנים ברצועה אחת, ושני משולשים. ברצועה, משמאל לימין, הרוחבים של המלבנים הם $5$ ס"מ, $12$ ס"מ…
משחזרים את הבסיס משתי מדידות (שאלה קצרה · מצוינות)
שלוש קופסאות בצורת מנסרה משולשת ישרה בנויות על אותו משולש בסיס, באורכים שונים. השטח וההיקף של הבסיס לא נרשמו. ידוע: לקופסה $A$ , שאורכה $5$ …
נגר חותך גוש עץ: נפח כהפרש של שתי מנסרות (שאלת ביניים · רמה א')
נגר חתך תיבה של עץ שמידותיה $9$ ס"מ, $6$ ס"מ ו- $10$ ס"מ לאורך האלכסונים של שתי הפאות של $9$ על $6$ , וקיבל שתי מנסרות משולשות ישרות זהות. הוא…
טבלת מנסרות: לאיזו הנפח הגדול ביותר? (שאלה קצרה · רמה ב')
בטבלה שלוש מנסרות משולשות ישרות. לכל מנסרה נתונים: צלע אחת של משולש הבסיס, הגובה של המשולש לצלע הזאת, ואורך המנסרה. כל האורכים בס"מ.
מה מסתתר בשטח של משולש הבסיס (שאלה קצרה · מצוינות)
הבסיס של מנסרה משולשת ישרה הוא משולש שווה שוקיים $ABC$ : $AB=AC=10$ ס"מ ו- $BC=12$ ס"מ. השטח של משולש הבסיס $48$ סמ"ר. אורך המנסרה $15$ ס"מ.
שתי מנסרות, גובה בביטוי: מתי הנפחים שווים? (שאלה קצרה · רמה א')
הבסיס של מנסרה $M$ הוא משולש ישר זווית שניצביו $4$ ס"מ ו- $6$ ס"מ, והגובה שלה $(x+5)$ ס"מ. הבסיס של מנסרה $N$ הוא משולש ישר זווית שניצביו $3$ …
איפה נעלם החצי? בודקים חישוב של נפח (שאלה קצרה · רמה ב')
הבסיס של מנסרה משולשת ישרה הוא משולש שבו צלע אחת $9$ ס"מ, והגובה לצלע הזאת $4$ ס"מ. אורך המנסרה $15$ ס"מ. בדוח נכתב: "נפח המנסרה $540$ …
בודקים תעודה של מנסרה עם בסיס שווה שוקיים (שאלת ביניים · מצוינות)
בתעודה של מנסרה משולשת ישרה כתוב: "הבסיס הוא משולש שווה שוקיים. הגובה של המשולש לבסיס שלו $12$ ס"מ, וכל שוק $16$ ס"מ. אורך המנסרה $20$ ס"מ,…
טבלה: אותו נפח, שטחי פנים שונים (שאלה קצרה · רמה א')
בטבלה שלוש מנסרות משולשות ישרות. לכל אחת נתונים: הצלעות של משולש הבסיס, שטח הבסיס, היקף הבסיס ואורך המנסרה.
בסיס ישר זווית: מה צריך לנפח ומה להיקף (שאלה קצרה · רמה ב')
הבסיס של מנסרה משולשת ישרה הוא משולש ישר זווית שניצביו $16$ ס"מ ו- $30$ ס"מ. אורך המנסרה $5$ ס"מ. ( $1$ ליטר $=1000$ סמ"ק)
קופסה בתקציב: מה האורך המתאים? (שאלת ביניים · רמה א')
מכינים קופסה בצורת מנסרה משולשת ישרה, סגורה מכל הצדדים. הבסיס הוא משולש ישר זווית שצלעותיו $9$ , $12$ ו- $15$ ס"מ. האורך של הקופסה הוא מספר…
תעודת מנסרה מהסוף להתחלה (שאלה קצרה · רמה ב')
בתעודה של מנסרה משולשת ישרה כתוב: נפח המנסרה $330$ סמ"ק, אורך המנסרה $11$ ס"מ, ובמשולש הבסיס יש צלע של $10$ ס"מ. הגובה של המשולש לצלע הזאת,…
רצועת הפאות הצדדיות: מהמלבנים אל הנפח (שאלת ביניים · רמה א')
לפניכם רק שלוש הפאות הצדדיות של מנסרה משולשת ישרה, פרושות כרצועה אחת: שלושה מלבנים זה לצד זה. הרוחבים של המלבנים הם $9$ ס"מ, $12$ ס"מ ו- $15$ …
משנים כמה מידות: פי כמה גדל הנפח? (שאלה קצרה · רמה א')
הבסיס של מנסרה משולשת ישרה הוא משולש שבו צלע אחת $6$ ס"מ, והגובה לצלע הזאת $4$ ס"מ. אורך המנסרה $12$ ס"מ. בתוכנית שינוי: מגדילים את הצלע פי…
מתכננים מנסרות בנפח נתון (שאלה קצרה · רמה א')
צריך לתכנן מנסרות משולשות ישרות, וכל אחת מהן בנפח $240$ סמ"ק.
מכל שצריך להכיל לפחות 37.5 ליטר (שאלה קצרה · רמה א')
מכל מים הוא מנסרה משולשת ישרה. הבסיס שלו הוא משולש ישר זווית שניצביו $40$ ס"מ ו- $50$ ס"מ. את אורך המכל אפשר לבחור, אבל הוא חייב להיות מספר…