שאלות פתוחות: צורות חופפות: מושג החפיפה - כיתה ז'

בעמוד זה שאלות פתוחות על צורות חופפות ועל מושג החפיפה לכיתה ז': מתי שתי צורות חופפות ומה פירוש ההתאמה בין הקודקודים. יש מציאת צלעות וזוויות מתאימות במחומשים חופפים, זיהוי מלבנים ומשולשים חופפים במערכת צירים, צורות שבנויות מארבע משבצות שמותר להזיז ולסובב, וטענות שצריך להכריע אם הן נכונות תמיד. השאלות ברמה א', ברמה ב' ובמצוינות. כאן מרכיבים בוחן או דף עבודה, עם פתרון מלא לכל שאלה וייצוא ל-Word.

30 שאלותרמה א': 14רמה ב': 9מצוינות: 7

שאלה 1 · התאמת קודקודים במחומשים חופפיםשאלה קצרה · רמה א'

המחומש ABCDEABCDEABCDE חופף למחומש FGHJKFGHJKFGHJK. ההתאמה בין הקודקודים היא: AAA מתאים ל-FFF, BBB ל-GGG, CCC ל-HHH, DDD ל-JJJ ו-EEE ל-KKK.
נתון במחומש ABCDEABCDEABCDE: AB=5AB=5AB=5 ס"מ, CD=3CD=3CD=3 ס"מ, ∠C=120∘\angle C=120^\circ∠C=120∘.
CDBEAFGHJK

א.

מה אורך הצלע HJHJHJ ומה גודל הזווית ∠H\angle H∠H במחומש FGHJKFGHJKFGHJK? נמקו.

ב.

במחומש FGHJKFGHJKFGHJK נתון: JK=4JK=4JK=4 ס"מ ו-∠K=100∘\angle K=100^\circ∠K=100∘. איזו צלע ואיזו זווית במחומש ABCDEABCDEABCDE מתאימות להן, ומה הגדלים שלהן?

שאלה 2 · שני ריבועים מניירשאלה קצרה · רמה ב'

רון גזר מנייר שני ריבועים. אורך הצלע של הריבוע ABCDABCDABCD הוא 6 ס"מ, וגם אורך הצלע של הריבוע KLMNKLMNKLMN הוא 6 ס"מ. רון הניח את שני הריבועים על השולחן כך:
ABCDKLMN

א.

האם הריבועים ABCDABCDABCD ו-KLMNKLMNKLMN חופפים? הסבירו.

ב.

נועה גזרה ריבוע PQRSPQRSPQRS שאורך הצלע שלו 7 ס"מ. האם אפשר להניח את PQRSPQRSPQRS על ABCDABCDABCD כך שיכסה אותו בדיוק? הסבירו.

שאלה 3 · תמיד, לפעמים או אף פעם: מתי צורות חופפותשאלה קצרה · מצוינות

לגבי כל טענה קבעו אם היא נכונה תמיד, לפעמים או אף פעם. נמקו. אם הטענה אינה נכונה תמיד, תנו דוגמה שבה היא לא מתקיימת.

א.

שני מלבנים שיש להם צלע אחת באותו אורך חופפים זה לזה.

ב.

שני מרובעים שבכל אחד מהם כל ארבע הצלעות באורך 5 ס"מ חופפים זה לזה.

שאלה 4 · מלבן חופף עם קודקוד בנקודה נתונהשאלה קצרה · רמה א'

במערכת הצירים מסורטט המלבן ABCDABCDABCD שקודקודיו A(−7,−5)A(-7,-5)A(−7,−5), B(−7,−2)B(-7,-2)B(−7,−2), C(−2,−2)C(-2,-2)C(−2,−2), D(−2,−5)D(-2,-5)D(−2,−5).
-8-7-6-5-4-3-2-1123456-6-5-4-3-2-112345678ABCD

א.

סרטטו מלבן שחופף למלבן ABCDABCDABCD ומקיים את שלושת התנאים: אחד מקודקודיו בנקודה (1,2)(1,2)(1,2), כל המלבן נמצא ברביע הראשון, והצלעות הארוכות שלו אנכיות. רשמו את שיעורי ארבעת הקודקודים שלו, ונמקו מדוע המלבנים חופפים.

ב.

שיר סרטטה מלבן שקודקודיו (−4,0)(-4,0)(−4,0), (1,0)(1,0)(1,0), (1,4)(1,4)(1,4), (−4,4)(-4,4)(−4,4). האם המלבן של שיר חופף למלבן ABCDABCDABCD? נמקו.

שאלה 5 · מלבנים חופפים במערכת ציריםשאלה קצרה · רמה ב'

במערכת הצירים מסורטטים ארבעה מלבנים: ABCDABCDABCD, EFGHEFGHEFGH, KLMNKLMNKLMN ו-PQRSPQRSPQRS. כל משבצת היא יחידה אחת.
-7-6-5-4-3-2-1123456-6-5-4-3-2-1123456ABCDEFGHKLMNPQRS

אילו מהמלבנים EFGHEFGHEFGH, KLMNKLMNKLMN ו-PQRSPQRSPQRS חופפים למלבן ABCDABCDABCD? נמקו לגבי כל אחד מהם.

שאלה 6 · צורות מארבעה ריבועיםשאלת ביניים · מצוינות

כל אחת מהצורות PPP, QQQ, RRR, SSS, TTT, UUU בנויה מ-4 ריבועים שווים (משבצות), שמחוברים זה לזה לאורך צלע שלמה. מותר להזיז, לסובב ולהפוך כל צורה.
-112345678910111213141516171819-112345678PQRSTU

א.

מצאו את כל זוגות הצורות החופפות. לכל זוג כתבו איך מניחים צורה אחת על השנייה: האם מספיק להזיז ולסובב, או שצריך גם להפוך את הצורה (שיקוף)?

ב.

כמה צורות שונות זו מזו (שאינן חופפות) יש בין שש הצורות? הסבירו.

ג.

ידוע שיש בדיוק 5 צורות שונות שאפשר לבנות מ-4 משבצות כאלה. סרטטו את הצורה החסרה, והסבירו מדוע היא אינה חופפת לאף אחת מהצורות PPP עד UUU.

שאלה 7 · איזה משולש חופף למשולש המקורישאלת ביניים · רמה א'

במערכת הצירים מסורטטים המשולש ABCABCABC ועוד שלושה משולשים: KLMKLMKLM, PQRPQRPQR ו-STUSTUSTU. כל משבצת היא יחידה אחת.
-7-6-5-4-3-2-1123456789-6-5-4-3-2-11234567ABCKLMPQRSTU

א.

אילו מהמשולשים KLMKLMKLM, PQRPQRPQR ו-STUSTUSTU חופפים למשולש ABCABCABC? נמקו לגבי כל משולש.

ב.

לכל משולש שמצאתם בסעיף א שהוא חופף ל-ABCABCABC, כתבו את התאמת הקודקודים: איזה קודקוד מתאים ל-AAA, איזה ל-BBB ואיזה ל-CCC.

ג.

איזה מהמשולשים החופפים מתקבל מ-ABCABCABC בסיבוב, ואיזה בשיקוף (היפוך)? הסבירו בעזרת ההתאמה שמצאתם בסעיף ב.

שאלה 8 · צורה גזורה שמכסה צורה אחרתשאלת ביניים · רמה ב'

נועה סרטטה על דף משבצות את המחומש ABCDEABCDEABCDE (בצורת בית) וגזרה אותו. אחר כך הניחה את הצורה שגזרה על המחומש KLMNPKLMNPKLMNP, והיא כיסתה אותו בדיוק: AAA נח על KKK, BBB על LLL, CCC על MMM, DDD על NNN ו-EEE על PPP. כל משבצת היא 1 ס"מ.
-7-6-5-4-3-2-11234567-8-7-6-5-4-3-2-11234567ABCDEKLMNP

א.

מה אורכי הצלעות ABABAB, BCBCBC ו-EAEAEA של המחומש ABCDEABCDEABCDE?

ב.

איזו צלע של המחומש KLMNPKLMNPKLMNP מתאימה לצלע ABABAB, ואיזו מתאימה לצלע BCBCBC? מה האורכים שלהן? בדקו את תשובתכם בספירת משבצות.

ג.

נתון: ∠BCD=135∘\angle BCD=135^\circ∠BCD=135∘. איזו זווית במחומש KLMNPKLMNPKLMNP מתאימה לה ומה גודלה? נועה לא הפכה את הדף שגזרה. האם היא רק הזיזה אותו, או גם סובבה אותו? הסבירו.

שאלה 9 · חיתוך מלבן לשני חלקים חופפיםשאלה מלאה · מצוינות

המלבן ABCDABCDABCD מסורטט במערכת צירים: A(0,0)A(0,0)A(0,0), B(6,0)B(6,0)B(6,0), C(6,4)C(6,4)C(6,4), D(0,4)D(0,4)D(0,4). חותכים אותו לשני חלקים לאורך קווי המשבצות, בקו שבור שמתחיל בצלע ABABAB ומסתיים בצלע DCDCDC.
חיתוך 1 עובר בנקודות E(2,0)E(2,0)E(2,0), F(2,2)F(2,2)F(2,2), G(4,2)G(4,2)G(4,2), H(4,4)H(4,4)H(4,4):
-112345678-112345ABCDEFGH

א.

כתבו את הקודקודים של כל אחד משני החלקים שמתקבלים בחיתוך 1, ואת אורכי הצלעות של כל חלק.

ב.

האם שני החלקים של חיתוך 1 חופפים? אם כן, תארו איך מניחים את החלק השמאלי על החלק הימני, וכתבו את התאמת הקודקודים.

ג.

חיתוך 2 עובר בנקודות K(1,0)K(1,0)K(1,0), L(1,1)L(1,1)L(1,1), M(5,1)M(5,1)M(5,1), N(5,4)N(5,4)N(5,4):
-112345678-112345ABCDKLMN
הראו שגם בחיתוך 2 לשני החלקים יש בדיוק אותם אורכי צלעות. האם החלקים חופפים? נמקו.

ד.

מצאו חיתוך אחר שמתחיל בנקודה (1,0)(1,0)(1,0), הולך רק למעלה וימינה לאורך קווי המשבצות, נשבר (מחליף כיוון) בדיוק פעמיים, ומחלק את המלבן לשני חלקים חופפים. כתבו את נקודות החיתוך והסבירו מדוע החלקים חופפים.

שאלה 10 · זוויות בשני חלקי עץ חופפיםשאלת ביניים · רמה א'

בחוג נגרות גזרו שני חלקי עץ חופפים בצורת מרובע: ABCDABCDABCD ו-PQRSPQRSPQRS. כשמניחים את ABCDABCDABCD על PQRSPQRSPQRS, הקודקוד AAA נח על PPP, BBB על QQQ, CCC על RRR ו-DDD על SSS.
נתון: ∠A=70∘\angle A=70^\circ∠A=70∘, ∠C=110∘\angle C=110^\circ∠C=110∘, ובמרובע PQRSPQRSPQRS: ∠Q=85∘\angle Q=85^\circ∠Q=85∘.
70°110°85°?ABCDPQRS

א.

מה גודל הזווית ∠B\angle B∠B? נמקו.

ב.

חשבו את ∠D\angle D∠D ואת ∠S\angle S∠S. נמקו.

ג.

רון טוען: "אפשר להניח את ABCDABCDABCD על PQRSPQRSPQRS גם כך ש-AAA ינוח על SSS, BBB על RRR, CCC על QQQ ו-DDD על PPP." היעזרו בגדלי הזוויות שמצאתם ובדקו אם רון צודק.

עוד 15 שאלות על צורות חופפות: מושג החפיפה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

ערוגות חופפות בגינת בית הספר (שאלה מלאה · רמה ב')
בגינה של בית הספר מתכננים ערוגות. במפה שלפניכם כל משבצת מייצגת 1 מטר. ערוגה 1 היא המצולע $ABCDEF$ , ערוגה 2 היא המצולע $GHJKLM$ , וערוגה 3 היא…
אותו מספר משבצות: האם החלקים חופפים? (שאלה קצרה · מצוינות)
בכיתה חתכו מלבנים של משבצות לשני חלקים, לאורך קווי המשבצות. לגבי כל טענה קבעו אם היא נכונה תמיד, לפעמים או אף פעם. נמקו, ואם הטענה לא נכונה…
טרפזים חופפים במערכת צירים (שאלה מלאה · רמה א')
במערכת הצירים מסורטט הטרפז $ABCD$ (הבסיסים שלו $AB$ ו- $DC$ ). מיכל התחילה לסרטט טרפז $KLMP$ שחופף לטרפז $ABCD$ , כך ש- $K$ מתאים ל- $A$ , $L$ …
איזו צורה חופפת לצורה $P$ ? (שאלה קצרה · רמה ב')
על דף משבצות סרטטו ארבע צורות. כל צורה נקראת לפי האות שליד אחד הקודקודים שלה: $P$ , $Q$ , $R$ ו- $S$ . כל משבצת היא $1$ ס"מ.
כמה מלבנים חופפים אפשר לסרטט מנקודה אחת? (שאלת ביניים · מצוינות)
במערכת הצירים מסורטט המלבן $ABCD$ : $A(-6,2)$ , $B(-3,2)$ , $C(-3,4)$ , $D(-6,4)$ . מסומנת גם הנקודה $P(2,-1)$ . בכל השאלה מדובר במלבנים שהצלעות…
חופפים או לא? לפי אורכים וזוויות (שאלה קצרה · רמה א')
המרובע $ABCD$ הוא מלבן שבו $AB=5$ ס"מ ו- $BC=3$ ס"מ.
מלבן חופף עם קודקוד נתון ברביע השלישי (שאלה קצרה · רמה ב')
במערכת הצירים מסורטט המלבן $ABCD$ שקודקודיו $A(1,1)$ , $B(5,1)$ , $C(5,3)$ , $D(1,3)$ . רוצים לסרטט מלבן $KLMN$ שחופף ל- $ABCD$ ומונח בדיוק כמוהו…
חיתוך ישר של מלבן לשני חלקים (שאלה קצרה · רמה א')
במלבן $ABCD$ נתון: $AB=8$ ס"מ, $BC=6$ ס"מ. הנקודה $M$ היא אמצע הצלע $AB$ , והנקודה $N$ היא אמצע הצלע $DC$ . בודקים שלושה חיתוכים ישרים: לאורך…
איזה חיתוך נותן שני חלקים חופפים? (שאלה קצרה · רמה ב')
שלושה תלמידים קיבלו כל אחד מלבן של $6$ משבצות על $2$ משבצות, וכל אחד חתך את המלבן שלו לשני חלקים לאורך קווי המשבצות. קו החיתוך מסורטט בצבע…
מה צריך לדעת כדי ששני מלבנים יהיו חופפים? (שאלת ביניים · רמה א')
דנה גזרה מלבן שאורכו $6$ ס"מ ורוחבו $4$ ס"מ. סכום האורכים של ארבע הצלעות שלו (ההיקף) הוא $6+4+6+4=20$ ס"מ.
עוגה מרובעת שנחתכה לארבעה חלקים (שאלת ביניים · רמה ב')
עוגה בצורת ריבוע של $4$ על $4$ משבצות נחתכה לארבעה חלקים לאורך קווי המשבצות, כמו בסרטוט. כל חלק נקרא לפי האות שליד הפינה שלו: $P$ , $Q$ , $R$ …
משושה חופף שאחד מקודקודיו ב- $(- 2, 1)$ (שאלת ביניים · רמה א')
במערכת הצירים מסורטט המשושה $ABCDEF$ ברביע הראשון. כל משבצת היא יחידה אחת.
מצאו את החיתוך לשני חלקים חופפים (שאלת ביניים · רמה א')
במערכת הצירים מסורטט המשושה $ABCDEF$ : $A(0,0)$ , $B(3,0)$ , $C(3,2)$ , $D(2,2)$ , $E(2,4)$ , $F(0,4)$ . כל משבצת היא יחידה אחת. רוצים לחתוך את…
אותם אורכי צלעות, ובכל זאת לא חופפות (שאלה מלאה · רמה א')
במערכת הצירים מסורטטים המשושה $ABCDEF$ , המשושה $KLMNPQ$ , שקודקודיו $K(6,1)$ , $L(6,5)$ , $M(5,5)$ , $N(5,2)$ , $P(3,2)$ , $Q(3,1)$ (בסרטוט מסומן…
אותו שטח ואותו היקף: האם הצורות חופפות? (שאלה קצרה · רמה א')
על דף משבצות סרטטו שתי צורות. כל משבצת היא ריבוע של $1$ ס"מ על $1$ ס"מ. הצורה $P$ היא שורה של $6$ משבצות. הצורה $Q$ היא שורה של $5$ משבצות,…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (5)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

שני מלבנים חופפים: שיעורי נקודה (שאלה קצרה · רמה א')
על מערכת צירים סרטטו שני מלבנים חופפים. הצלע הארוכה של המלבן גדולה פי 3 מהצלע הקצרה.
שלושה משולשים ישרי זווית חופפים (שאלה קצרה · מצוינות)
על מערכת צירים מסרטטים שלושה משולשים ישרי-זווית חופפים
מלבנים חופפים ומלבנים שאינם חופפים (שאלה קצרה · רמה ב')
שתי צורות חופפות אם אפשר להניח אחת מהן על השנייה כך שתכסה אותה בדיוק.
האם הצורות חופפות? היקף וצלעות (שאלה קצרה · מצוינות)
שתי צורות חופפות אם אפשר להניח אחת מהן על השנייה כך שתכסה אותה בדיוק.
מלבנים עם אותו היקף: חופפים או לא? (שאלה מלאה · רמה א')
בכיתה גוזרים מלבנים מנייר משבצות. אורכי הצלעות של כל מלבן הם מספרים שלמים של סנטימטרים, וההיקף של כל מלבן הוא…