שאלות פתוחות: שיקוף וציר סימטריה - כיתה ז'

כאן מרוכזות שאלות פתוחות על שיקוף וציר סימטריה לכיתה ז': שיקוף נקודות וצורות ביחס לציר x ולציר y ומציאת צירי סימטריה. התלמידים מוצאים טעות של תלמיד שהחליף את הסימן של שני השיעורים, משקפים טרפז וחץ במשחק מחשב, מוצאים נקודה מקורית מתוך שני שיקופים שלה ומחפשים צירי סימטריה של צורה ממשבצות. השאלות ברמה א', ברמה ב' ובמצוינות. בחרו מהן לבוחן או לדף עבודה, עם פתרון מלא לכל שאלה וקובץ Word.

29 שאלותרמה א': 15רמה ב': 8מצוינות: 6

שאלה 1 · רון שיקף ביחס לציר y בשיטה שגויהשאלה קצרה · רמה א'

רון התבקש לשקף נקודות ביחס לציר yyy. בכל נקודה הוא החליף את הסימן של שני השיעורים. למשל, את הנקודה (2,5)(2,5)(2,5) הוא העביר לנקודה (−2,−5)(-2,-5)(−2,−5).

א.

לאן צריכה לעבור הנקודה (−3,2)(-3,2)(−3,2) בשיקוף ביחס לציר yyy? ולאן העביר אותה רון?

ב.

המורה רוצה לבדוק את השיטה של רון בעזרת נקודה אחת בלבד. היא מתלבטת בין הנקודה (6,0)(6,0)(6,0) לבין הנקודה (0,6)(0,6)(0,6). באיזו מהן רון יקבל במקרה תשובה נכונה, ובאיזו תתגלה הטעות שלו? נמקו.

שאלה 2 · סיבוב טרפז יוצר מקביליתשאלה מלאה · רמה ב'

במערכת הצירים מסורטט הטרפז ABCDABCDABCD: A(0,0)A(0,0)A(0,0), B(6,0)B(6,0)B(6,0), C(4,4)C(4,4)C(4,4), D(1,4)D(1,4)D(1,4). הבסיסים הם ABABAB ו-DCDCDC.
הנקודה M(5,2)M(5,2)M(5,2) היא אמצע הצלע BCBCBC. יחידת האורך היא 111 ס"מ.
xy-11234567891011-1123456ABCDM

א.

מהם אורכי הבסיסים ABABAB ו-DCDCDC, ומהו גובה הטרפז? חשבו את שטח הטרפז.

ב.

מסובבים את הטרפז ב-180∘180^\circ180∘ סביב הנקודה MMM. הקודקוד BBB עובר לנקודה CCC, והקודקוד CCC עובר לנקודה BBB. מצאו את שיעורי הנקודות A′A'A′ ו-D′D'D′, התמונות של AAA ושל DDD.

ג.

הטרפז ABCDABCDABCD והתמונה שלו יוצרים יחד צורה חדשה, שהקודקודים שלה הם AAA, D′D'D′, A′A'A′, DDD. איזו צורה זו? מהו אורך הצלע AD′AD'AD′, ומהו המרחק בינה לבין הצלע DA′DA'DA′?

ד.

חשבו את שטח הצורה שמצאתם בסעיף ג. הסבירו בעזרתה מדוע שטח הטרפז שווה למחצית המכפלה של סכום הבסיסים בגובה.

ה.

משקפים את הטרפז ABCDABCDABCD ביחס לציר xxx. מהם שיעורי התמונה של הקודקוד DDD, ומהו שטח הטרפז המשוקף? נמקו.

שאלה 3 · תמיד, לפעמים או אף פעם: שיקוף ביחס לציריםשאלה קצרה · מצוינות

לכל טענה קבעו אם היא נכונה תמיד, לפעמים או אף פעם. נמקו, ואם הטענה לא נכונה תמיד, תנו דוגמה.

א.

"בשיקוף ביחס לציר xxx, נקודה והתמונה שלה נמצאות ברביעים שונים."

ב.

"המרחק בין נקודה לבין התמונה שלה בשיקוף ביחס לציר yyy שווה לפעמיים המרחק של הנקודה מציר yyy."

שאלה 4 · צירי סימטריה של צורות מארבעה ריבועיםשאלה קצרה · רמה א'

צורה בנויה מארבעה ריבועים שווים: שלושה ריבועים בשורה, וריבוע רביעי צמוד מלמעלה לריבוע האמצעי.

א.

כמה צירי סימטריה יש לצורה? תארו אותם.

ב.

מתחילים שוב משלושת הריבועים שבשורה, ומצמידים את הריבוע הרביעי במקום אחר: צלע שלמה לצלע שלמה. היכן צריך להצמיד אותו כדי שלצורה יהיו בדיוק שני צירי סימטריה? נמקו.

שאלה 5 · שיקוף נקודה ביחס לציר x ולציר yשאלה קצרה · רמה ב'

במערכת הצירים מסומנות הנקודות A(3,2)A(3,2)A(3,2) ו-B(−4,−1)B(-4,-1)B(−4,−1).
-5-4-3-2-112345-4-3-2-11234AB

א.

מצאו את השיעורים של הנקודה A′A'A′, התמונה של AAA בשיקוף ביחס לציר xxx.

ב.

מצאו את השיעורים של הנקודה B′B'B′, התמונה של BBB בשיקוף ביחס לציר yyy. באיזה רביע נמצאת B′B'B′?

שאלה 6 · נקודה ושתי התמונות שלהשאלת ביניים · מצוינות

נקודה PPP שוקפה פעמיים, ובכל פעם מהמקום המקורי שלה:
בשיקוף ביחס לציר xxx התקבלה הנקודה P1(−3,4)P_1(-3,4)P1​(−3,4).
בשיקוף ביחס לציר yyy התקבלה הנקודה P2P_2P2​.

א.

מצאו את השיעורים של PPP ושל P2P_2P2​.

ב.

מחברים את שלוש הנקודות למשולש PP1P2PP_1P_2PP1​P2​. מה גודל הזווית ∠P1PP2\angle P_1PP_2∠P1​PP2​? מה האורכים של הצלעות PP1PP_1PP1​ ו-PP2PP_2PP2​? נמקו.

ג.

האם יש נקודה PPP שעבורה P1P_1P1​ ו-P2P_2P2​ הן אותה נקודה? ואילו נקודות PPP מקיימות ש-P1P_1P1​ היא הנקודה PPP עצמה? מצאו את כל האפשרויות.

שאלה 7 · תקלה במשחק: לאן הצביע החץ?שאלת ביניים · רמה א'

במשחק מחשב יש שלט בצורת חץ. קודקודי החץ הם A(1,1)A(1,1)A(1,1), B(4,1)B(4,1)B(4,1), C(6,3)C(6,3)C(6,3), D(4,5)D(4,5)D(4,5), E(1,5)E(1,5)E(1,5). הקודקוד CCC הוא החוד של החץ.
-7-6-5-4-3-2-11234567-6-5-4-3-2-1123456ABCDE
בגלל תקלה במשחק, החץ הופיע במקום אחר. הקודקודים החדשים הם A1(−1,1)A_1(-1,1)A1​(−1,1), B1(−4,1)B_1(-4,1)B1​(−4,1), C1(−6,3)C_1(-6,3)C1​(−6,3), D1(−4,5)D_1(-4,5)D1​(−4,5), E1(−1,5)E_1(-1,5)E1​(−1,5).

א.

השוו בין השיעורים של כל קודקוד לבין השיעורים של הקודקוד החדש שלו. איזה קשר יש ביניהם? איזו טרנספורמציה עבר החץ? נמקו.

ב.

לאיזה כיוון הצביע החץ לפני התקלה, ולאיזה כיוון הוא מצביע אחריה? האם הזזה של החץ המקורי יכולה לגרום לו להצביע לכיוון החדש? נמקו.

ג.

המתכנתת רוצה עכשיו שהחץ המקורי ABCDEABCDEABCDE יופיע מתחת לציר xxx, בשיקוף ביחס לציר xxx. מה יהיו שיעורי הקודקודים? לאיזה כיוון יצביע החץ הזה?

שאלה 8 · שיקוף במראה: מרחק מהמראהשאלה קצרה · רמה ב'

בחדר כושר יש מראה גדולה על הקיר. הדמות שרואים במראה נראית כאילו היא עומדת מאחורי המראה: באותו מרחק מהמראה כמו האדם, רק בצד השני. כלומר, הדמות היא השיקוף של האדם, והמראה היא ישר השיקוף.

א.

נועה עומדת 222 מ' מול המראה. מה המרחק בין נועה לבין הדמות שלה במראה?

ב.

יואב רואה את הדמות שלו במראה במרחק 555 מ' ממנו. כמה רחוק יואב עומד מהמראה?

שאלה 9 · חקירה: כמה צירי סימטריה יש לצורה?שאלה מלאה · מצוינות

ציר סימטריה של צורה הוא ישר שבשיקוף ביחס אליו הצורה עוברת על עצמה. אפשר לבדוק בקיפול: אם מקפלים את הצורה לאורך הישר, שני החלקים מתלכדים בדיוק.

א.

כמה צירי סימטריה יש לכל אחת מהצורות: ריבוע, מלבן שאינו ריבוע, משולש שווה צלעות? תארו את הצירים.

ב.

נתון מלבן ABCDABCDABCD שבו AB=6AB=6AB=6 ס"מ ו-BC=3BC=3BC=3 ס"מ. דני טוען: "האלכסון ACACAC הוא ציר סימטריה של המלבן, כי הוא מחלק אותו לשני משולשים חופפים". האם דני צודק? נמקו.
ABCD

ג.

לאיזה מלבן כן יש ציר סימטריה לאורך האלכסון? הסבירו בעזרת הנימוק של סעיף ב.

ד.

כשמקפלים משולש לאורך ציר סימטריה שלו, אחד הקודקודים נמצא על קו הקיפול, ושתי הצלעות שיוצאות ממנו נופלות זו על זו. היעזרו בזה והסבירו: האם יכול להיות משולש שיש לו בדיוק שני צירי סימטריה?

שאלה 10 · השלמת סמל כך שציר y יהיה ציר סימטריהשאלת ביניים · רמה א'

מעצב התחיל לצייר סמל למועדון ספורט, וצייר רק את החצי הימני שלו: את הקו השבור A B C EA\,B\,C\,EABCE, שבו A(0,6)A(0,6)A(0,6), B(4,3)B(4,3)B(4,3), C(2,−1)C(2,-1)C(2,−1), E(0,−1)E(0,-1)E(0,−1).
הוא רוצה להשלים את הסמל כך שציר yyy יהיה ציר סימטריה שלו.
-5-4-3-2-112345-3-2-11234567ABCE

א.

מצאו את השיעורים של הקודקודים שחסרים בחצי השמאלי של הסמל.

ב.

כמה קודקודים יש לסמל השלם? אילו קודקודים שלו נמצאים על ציר הסימטריה? האם EEE היא קודקוד של הסמל השלם? הסבירו.

ג.

יוסי טוען: "גם ציר xxx הוא ציר סימטריה של הסמל השלם". האם הוא צודק? נמקו בעזרת אחד הקודקודים.

עוד 15 שאלות על שיקוף וציר סימטריה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

השתקפות של הר באגם (שאלת ביניים · רמה ב')
ציירת מציירת הר שמשתקף במי אגם. היא משתמשת במערכת צירים: ציר $x$ הוא קו המים. ההר הוא המשולש $ABC$ , שקודקודיו $A(-4,0)$ , $B(1,5)$ , $C(5,0)$ .…
טענות על זיהוי טרנספורמציה לפי שיעורים (שאלה קצרה · מצוינות)
בכל סעיף נמקו את תשובתכם.
תליונים משני משולשים ישרי זווית (שאלה מלאה · רמה א')
חנות תכשיטים מכינה תליונים מחתיכות זכוכית בצורת משולש ישר זווית $ABC$ : $\angle C=90^\circ$ , $AC=4$ ס"מ, $BC=3$ ס"מ, $AB=5$ ס"מ. כדי להכין…
מדבקה סימטרית במערכת צירים (שאלה מלאה · רמה ב')
נגה מעצבת מדבקה במערכת צירים. היא ציירה את החצי השמאלי של המדבקה: המצולע $ABCDEF$ , שבו $A(0,4)$ , $B(-2,4)$ , $C(-2,2)$ , $D(-4,2)$ , $E(-4,0)$ ,…
משולש ותמונת המראה שלו: מתי מתקבל ריבוע? (שאלת ביניים · מצוינות)
משקפים משולש $ABC$ ביחס לצלע $AB$ . הנקודה $C$ עוברת לנקודה $C'$ , והמשולש ותמונתו יוצרים יחד את המרובע $ACBC'$ .
תעלומת המראה במשחק מחשב (שאלה מלאה · רמה א')
תכנות תנועה במשחק מחשב במשחקי מחשב דו-ממדיים, מסך המחשב או הטלפון מיוצג על ידי מערכת צירים (רשת של פיקסלים). כל אובייקט במשחק – כמו חללית,…
מה קרה לשיעורים? שיקוף או הזזה (שאלה קצרה · רמה ב')
המשולש $DEF$ שקודקודיו $D(1,3)$ , $E(4,3)$ , $F(1,5)$ עבר שתי טרנספורמציות שונות (בכל פעם מהמקום המקורי). השיעורים של התמונות בטבלה:
גדר של 20 מטרים: עם קיר ובלי קיר (שאלת ביניים · מצוינות)
לחוה יש $20$ מ' של גדר. היא רוצה לגדר מכלאה מלבנית לעזים. אורכי הצלעות של המכלאה הם מספרים שלמים של מטרים, וכל הגדר מנוצלת.
שכפול האייקונים: שיקוף, הזזה וסיבוב של טרפז (שאלה מלאה · רמה א')
"שכפול האייקונים" מעצבת גרפית בונה אייקונים למשחק מחשב. היא משתמשת בצורה בסיסית של טרפז ישר זווית (צורה א') ומפעילה עליו פקודות מחשב שונות…
משקפים מלבן וריבוע ביחס לצלע (שאלה קצרה · רמה ב')
בכל סעיף מצמידים לצורה את תמונת המראה שלה: משקפים אותה ביחס לאחת הצלעות שלה, ומסתכלים על הצורה ועל התמונה יחד.
שני הסימנים התהפכו: שיקוף או סיבוב? (שאלה קצרה · רמה א')
המשולש $PQR$ שקודקודיו $P(1,1)$ , $Q(4,1)$ , $R(1,3)$ עבר טרנספורמציה, והתקבל המשולש שקודקודיו $P'(-1,-1)$ , $Q'(-4,-1)$ , $R'(-1,-3)$ .
דמות במשחק: שלוש תמונות, שלוש טרנספורמציות (שאלת ביניים · רמה א')
במשחק מחשב הדמות היא המשולש $ABC$ : $A(1,1)$ , $B(3,1)$ , $C(1,4)$ , והזווית $\angle A$ ישרה. המתכנת הפעיל על הדמות המקורית שלוש פקודות שונות,…
שיקוף טרפז ישר זווית ביחס לבסיס הארוך (שאלה קצרה · רמה א')
$ABCD$ הוא טרפז ישר זווית: הבסיסים הם $AB$ (הארוך) ו- $DC$ , והשוק $AD$ מאונכת לשני הבסיסים. נתון: $\angle ABC=50^\circ$ . משקפים את הטרפז ביחס…
שיקוף ביחס לישר אנכי שאינו ציר (שאלה קצרה · רמה א')
במערכת הצירים המשולש $ABC$ : $A(1,1)$ , $B(2,4)$ , $C(0,3)$ . הישר המקווקו $m$ הוא הישר האנכי שעובר דרך הנקודה $(-1,0)$ .
מקבילית, מעוין וטרפז שווה שוקיים: צירי סימטריה וחצי סיבוב (שאלה קצרה · רמה א')
לפניכם שלוש צורות: המקבילית $ABCD$ , שאינה מלבן ואינה מעוין; המעוין $EFGH$ , שאינו ריבוע; והטרפז שווה השוקיים $KLMN$ , שבסיסיו $KL$ ו- $NM$ …

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (4)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

שיקוף משולש ביחס לציר ה- $y$ (שאלה קצרה · רמה ב')
במערכת הצירים מסורטט המשולש $ABC$ שקודקודיו $A(1,2)$ , $B(5,2)$ ו- $C(2,5)$ . משקפים את המשולש ביחס לציר ה- $y$ …
משלימים צורה סימטרית: ציור של בית (שאלה קצרה · רמה א')
נעמה מציירת במערכת צירים בית בצורת המחומש $ABCDE$ . הבית סימטרי ביחס לציר ה- $y$ . שלושה קודקודים כבר מסורטטים:…
שיקוף ביחס לישר אנכי שאינו ציר (שאלה קצרה · רמה א')
הישר $\ell$ מאונך לציר ה- $x$ ועובר דרך הנקודה $(-2,0)$ .
דלתון סימטרי ביחס לציר ה- $x$ (שאלת ביניים · רמה א')
המרובע $ABCD$ סימטרי ביחס לציר ה- $x$ . נתון: $A(-2,0)$ , $B(1,3)$ , $C(6,0)$ . הקודקוד $D$ הוא תמונת $B$ בשיקוף…