שאלות פתוחות: סיבוב סביב נקודה - כיתה ז'

אוסף שאלות פתוחות על סיבוב סביב נקודה לכיתה ז', ובעיקר סיבוב ב-90 מעלות סביב ראשית הצירים. יש סיבוב של נקודות וטרפזים במערכת צירים, מחוג דקות שמסתובב סביב מרכז השעון, חלקי פאזל במשחק מחשב, צורות שסימטריות לסיבוב, וטענות על סיבוב שצריך לנמק. השאלות ברמה א', ברמה ב' ובמצוינות. אפשר לבחור מהן למבחן בטרנספורמציות או לדף עבודה, עם פתרון מלא לכל שאלה וייצוא ל-Word.

38 שאלותרמה א': 17רמה ב': 11מצוינות: 10

שאלה 1 · מוצאים את הנקודה המקורית; עם כיוון השעון או נגדושאלה קצרה · רמה א'

OOO היא ראשית הצירים.

א.

סיבוב של 90∘90^\circ90∘ עם כיוון השעון סביב OOO העביר נקודה PPP אל הנקודה P′(2,−5)P'(2,-5)P′(2,−5). מה השיעורים של PPP? נמקו.

ב.

את הנקודה Q(−3,4)Q(-3,4)Q(−3,4) מסובבים פעם אחת ב-90∘90^\circ90∘ עם כיוון השעון סביב OOO, ופעם אחרת ב-90∘90^\circ90∘ נגד כיוון השעון סביב OOO. האם מתקבלת אותה נקודה? ומה קורה אם במקום זה מסובבים ב-180∘180^\circ180∘ עם כיוון השעון ונגדו? נמקו.

שאלה 2 · סיבוב טרפז יוצר מקביליתשאלה מלאה · רמה ב'

במערכת הצירים מסורטט הטרפז ABCDABCDABCD: A(0,0)A(0,0)A(0,0), B(6,0)B(6,0)B(6,0), C(4,4)C(4,4)C(4,4), D(1,4)D(1,4)D(1,4). הבסיסים הם ABABAB ו-DCDCDC.
הנקודה M(5,2)M(5,2)M(5,2) היא אמצע הצלע BCBCBC. יחידת האורך היא 111 ס"מ.
xy-11234567891011-1123456ABCDM

א.

מהם אורכי הבסיסים ABABAB ו-DCDCDC, ומהו גובה הטרפז? חשבו את שטח הטרפז.

ב.

מסובבים את הטרפז ב-180∘180^\circ180∘ סביב הנקודה MMM. הקודקוד BBB עובר לנקודה CCC, והקודקוד CCC עובר לנקודה BBB. מצאו את שיעורי הנקודות A′A'A′ ו-D′D'D′, התמונות של AAA ושל DDD.

ג.

הטרפז ABCDABCDABCD והתמונה שלו יוצרים יחד צורה חדשה, שהקודקודים שלה הם AAA, D′D'D′, A′A'A′, DDD. איזו צורה זו? מהו אורך הצלע AD′AD'AD′, ומהו המרחק בינה לבין הצלע DA′DA'DA′?

ד.

חשבו את שטח הצורה שמצאתם בסעיף ג. הסבירו בעזרתה מדוע שטח הטרפז שווה למחצית המכפלה של סכום הבסיסים בגובה.

ה.

משקפים את הטרפז ABCDABCDABCD ביחס לציר xxx. מהם שיעורי התמונה של הקודקוד DDD, ומהו שטח הטרפז המשוקף? נמקו.

שאלה 3 · תמיד, לפעמים או אף פעם: טענות על סיבובשאלה קצרה · מצוינות

לכל טענה קבעו אם היא נכונה תמיד, לפעמים או אף פעם. נמקו. אם הטענה נכונה לפעמים, תנו דוגמה שבה היא נכונה ודוגמה שבה היא לא נכונה.

א.

מסובבים נקודה AAA ב-90∘90^\circ90∘ סביב נקודה OOO (AAA היא לא OOO). התמונה A′A'A′ נמצאת באותו מקום כמו AAA.

ב.

צורה שחוזרת בדיוק למקומה בסיבוב של 180∘180^\circ180∘ סביב נקודה מסוימת, חוזרת למקומה גם בסיבוב של 90∘90^\circ90∘ סביב אותה נקודה.

שאלה 4 · סימטריה סיבובית: משולש שווה צלעות וחישוקשאלה קצרה · רמה א'

צורה סימטרית לסיבוב אם יש סיבוב סביב נקודה, בזווית קטנה מ-360∘360^\circ360∘, שמחזיר אותה בדיוק למקומה.

א.

משולש שווה צלעות מסתובב סביב הנקודה OOO שבמרכזו (OOO נמצאת באותו מרחק משלושת הקודקודים). מהי הזווית הקטנה ביותר שבה צריך לסובב את המשולש כדי שיחזור בדיוק למקומו? נמקו.

ב.

לחישוק של גלגל מכונית יש 555 חישורים זהים, במרווחים שווים סביב מרכז הגלגל OOO.
O
האם החישוק חוזר בדיוק למקומו בסיבוב סביב OOO של 72∘72^\circ72∘? של 90∘90^\circ90∘? של 144∘144^\circ144∘? נמקו.

שאלה 5 · מחוג הדקות מסתובבשאלה קצרה · רמה ב'

מחוג הדקות של שעון מסתובב סביב מרכז השעון, עם כיוון השעון. בכל 606060 דקות הוא משלים סיבוב שלם, כלומר מסתובב 360∘360^\circ360∘.

א.

בשעה 4:004{:}004:00 מחוג הדקות מצביע על המספר 121212. המחוג מסתובב 90∘90^\circ90∘ עם כיוון השעון. על איזה מספר הוא מצביע עכשיו, ומה השעה?

ב.

בכמה מעלות מסתובב מחוג הדקות ב-202020 דקות?

שאלה 6 · כלל לרבע סיבוב סביב הראשיתשאלת ביניים · מצוינות

מסובבים נקודות ב-90∘90^\circ90∘ נגד כיוון השעון סביב ראשית הצירים OOO.

א.

השלימו את הטבלה: מצאו את התמונה של כל נקודה.
הנקודה(4,1)(4,1)(4,1)(−2,3)(-2,3)(−2,3)(−5,−1)(-5,-1)(−5,−1)(3,−6)(3,-6)(3,−6)
התמונה????

הנקודה	$(4,1)$	$(-2,3)$	$(-5,-1)$	$(3,-6)$
התמונה	?	?	?	?

ב.

הסתכלו בטבלה. איך אפשר לחשב את שיעורי התמונה ישירות משיעורי הנקודה, בלי לסרטט? כתבו כלל במילים: מהו שיעור xxx של התמונה, ומהו שיעור yyy שלה?

ג.

איזו נקודה עוברת בסיבוב הזה אל הנקודה (−7,2)(-7,2)(−7,2)? האם יש נקודה שעוברת אל עצמה? נמקו.

שאלה 7 · חלק פאזל בצורת טרפז מסתובב סביב קודקודשאלת ביניים · רמה א'

במשחק מחשב מסובבים חלקי פאזל על לוח משבצות. אחד החלקים הוא טרפז ישר זווית ABCDABCDABCD שקודקודיו A(−2,1)A(-2,1)A(−2,1), B(3,1)B(3,1)B(3,1), C(1,4)C(1,4)C(1,4), D(−2,4)D(-2,4)D(−2,4). הבסיסים הם ABABAB ו-DCDCDC, והשוק ADADAD מאונכת לבסיסים.
השחקן מסובב את החלק ב-90∘90^\circ90∘ עם כיוון השעון סביב הקודקוד BBB.
-3-2-112345678-112345678ABCD

א.

מצאו את השיעורים של A′A'A′, C′C'C′ ו-D′D'D′. מה השיעורים של B′B'B′?

ב.

לאיזה ציר מקביל הבסיס A′B′A'B'A′B′, ומה אורכו? לאיזה ציר מקבילה השוק A′D′A'D'A′D′?

ג.

מה גודל הזווית בין השוק BCBCBC לשוק B′C′B'C'B′C′, כלומר ∠CBC′\angle CBC'∠CBC′? נמקו.

שאלה 8 · סיבוב נקודות סביב ראשית הציריםשאלה קצרה · רמה ב'

במערכת הצירים מסומנות הנקודות A(3,1)A(3,1)A(3,1) ו-B(−4,3)B(-4,3)B(−4,3) וראשית הצירים O(0,0)O(0,0)O(0,0).
-5-4-3-2-112345-5-4-3-2-112345ABO

א.

מסובבים את הנקודה AAA ב-90∘90^\circ90∘ נגד כיוון השעון סביב OOO. מה השיעורים של התמונה A′A'A′?

ב.

מסובבים את הנקודה BBB ב-180∘180^\circ180∘ סביב OOO. מה השיעורים של התמונה B′B'B′?

שאלה 9 · איפה מרכז הסיבוב?שאלה מלאה · מצוינות

סיבוב סביב נקודה כלשהי העביר את הנקודה A(−1,3)A(-1,3)A(−1,3) אל הנקודה A′(3,3)A'(3,3)A′(3,3). לא ידוע מהו מרכז הסיבוב, וגם הזווית והכיוון לא ידועים.
-3-2-112345-11234567AA'

א.

רון טוען: "סיבוב של 90∘90^\circ90∘ נגד כיוון השעון סביב הנקודה M(1,5)M(1,5)M(1,5) מעביר את AAA אל A′A'A′". בדקו את הטענה.

ב.

מצאו נקודה NNN כך שסיבוב של 90∘90^\circ90∘ עם כיוון השעון סביב NNN מעביר את AAA אל A′A'A′. בדקו את תשובתכם.

ג.

מצאו את המרכז KKK של חצי סיבוב (180∘180^\circ180∘) שמעביר את AAA אל A′A'A′.

ד.

סמנו את MMM, NNN ו-KKK במערכת הצירים. מה משותף לשלוש הנקודות? הסבירו, בעזרת תכונה של סיבוב, למה כל מרכז של סיבוב שמעביר את AAA אל A′A'A′ חייב להיות באותו מרחק מ-AAA ומ-A′A'A′.

שאלה 10 · מזהים את הסיבוב: מרכז, זווית וכיווןשאלת ביניים · רמה א'

במערכת הצירים המרובע ABCDABCDABCD: A(−2,2)A(-2,2)A(−2,2), B(2,2)B(2,2)B(2,2), C(1,4)C(1,4)C(1,4), D(−1,5)D(-1,5)D(−1,5), והתמונה שלו אחרי סיבוב: המרובע AB′C′D′AB'C'D'AB′C′D′ שבו B′(−2,−2)B'(-2,-2)B′(−2,−2), C′(0,−1)C'(0,-1)C′(0,−1), D′(1,1)D'(1,1)D′(1,1).
-4-3-2-11234-3-2-1123456ABCDB'C'D'

א.

איזו נקודה של המרובע לא זזה בסיבוב? מה אפשר ללמוד ממנה על מרכז הסיבוב?

ב.

מהם זווית הסיבוב וכיוונו? נמקו בעזרת הצלע ABABAB, ובדקו בעזרת הצלע ADADAD.

ג.

נגה אומרת: "אפשר לקבל את אותה תמונה גם בסיבוב נגד כיוון השעון סביב אותה נקודה". האם היא צודקת? אם כן, באיזו זווית? נמקו.

עוד 19 שאלות על סיבוב סביב נקודה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

איזו צורה מתקבלת בחצי סיבוב סביב O? (שאלה קצרה · רמה ב')
במערכת צירים מסורטט משולש. אחת מצלעותיו מונחת על הציר האנכי, מעל הנקודה $O$ .
צורה מריבועים: באילו סיבובים סביב המרכז היא חוזרת למקומה? (שאלת ביניים · מצוינות)
הצורה שבמערכת הצירים בנויה מארבעה ריבועים שצלעם $2$ יחידות, והנקודה $M(3,2)$ היא המרכז שלה. קודקודי הצורה: $(0,2)$ , $(2,2)$ , $(2,0)$ ,…
לוגו בצורת שבשבת (שאלה מלאה · רמה א')
מעצבת בונה לוגו בצורת שבשבת במערכת צירים. הכנף הראשונה היא המשולש $OAB$ שקודקודיו $O(0,0)$ , $A(4,0)$ , $B(4,2)$ . את שאר הכנפיים היא מקבלת…
חצי סיבוב של משולש סביב הנקודה P (שאלה קצרה · רמה ב')
מסובבים את המשולש שבציור, במישור עליו הוא מונח, חצי סיבוב מסביב לנקודה $P$ .
חסר נתון בתיאור הסיבוב (שאלה קצרה · מצוינות)
הנקודה $A(4,2)$ מסתובבת סביב הנקודה $P(1,2)$ .
סיבוב מלבן סביב אחד מקודקודיו (שאלה קצרה · רמה א')
במערכת הצירים המלבן $ABCD$ : $A(1,1)$ , $B(4,1)$ , $C(4,3)$ , $D(1,3)$ .
חצי סיבוב סביב T: עם כיוון השעון או נגדו (שאלה קצרה · רמה ב')
חצי סיבוב סביב הנקודה $T$ במישור מופעל על הצורה שבציור.
איזה ציור אי אפשר לקבל בסיבוב סביב P? (שאלה קצרה · מצוינות)
לפניכם דגל. הנקודה $P$ היא הקצה התחתון של העמוד. הקווים המקווקווים עוברים דרך $P$ . לפניכם ארבעה ציורים. בכל ציור הנקודה $P$ באותו מקום. ציור…
פתית שלג: באילו זוויות הוא חוזר למקומו? (שאלת ביניים · רמה א')
לפתית שלג יש $6$ זרועות זהות, שיוצאות מהמרכז $O$ ומפוזרות סביבו במרווחים שווים. מסובבים את הפתית סביב $O$ .
סיבוב משולש ישר זווית סביב הראשית (שאלת ביניים · רמה ב')
במערכת הצירים משולש $ABC$ שקודקודיו $A(2,1)$ , $B(6,1)$ , $C(6,4)$ . הזווית $\angle ABC$ ישרה. מסובבים את המשולש ב- $90^\circ$ נגד כיוון השעון…
דגל שהסתובב: מתארים את הסיבוב (שאלה קצרה · רמה א')
דגל בצורת המשולש $PQR$ , שקודקודיו $P(1,1)$ , $Q(1,4)$ , $R(3,3)$ , הסתובב, והתקבל המשולש $PQ'R'$ , שקודקודיו $P(1,1)$ , $Q'(4,1)$ , $R'(3,-1)$ .
גלגל ענק בלונה פארק (שאלה מלאה · רמה ב')
בלונה פארק יש גלגל ענק עם $8$ תאים. כל תא מחובר בחישור למרכז הגלגל $O$ , והתאים מפוזרים סביב $O$ במרווחים שווים. הגלגל מסתובב סביב $O$ . התאים…
איפה מרכז הסיבוב? בודקים שלוש נקודות (שאלת ביניים · רמה א')
המשולש $ABC$ , שקודקודיו $A(2,1)$ , $B(4,1)$ , $C(2,2)$ , הסתובב ב- $90^\circ$ נגד כיוון השעון סביב נקודה שאינה ידועה, והתקבל המשולש $A'B'C'$ ,…
ריבוע ומלבן חוזרים למקומם (שאלה קצרה · רמה ב')
צורה "חוזרת למקומה" בסיבוב, אם אחרי הסיבוב היא מכסה בדיוק את אותו מקום שבו הייתה. $O$ היא נקודת מרכז הצורה (נקודת המפגש של האלכסונים).
רבע סיבוב סביב P: איזה ציור מתאים? (שאלה קצרה · רמה א')
לפניכם צורה ונקודה $P$ בקצה התחתון שלה. הקווים המקווקווים עוברים דרך $P$ , אחד אופקי ואחד אנכי, ועוזרים לראות את הכיוונים. לפניכם ארבעה…
מה לא זז, באיזו זווית ולאיזה כיוון? (שאלה קצרה · רמה ב')
המשולש $OAB$ , שקודקודיו $O(0,0)$ , $A(5,0)$ , $B(2,3)$ , הסתובב סביב נקודה, והתקבל המשולש $OA'B'$ , שקודקודיו $O(0,0)$ , $A'(0,-5)$ , $B'(3,-2)$ .…
מגף מסתובב סביב נקודה מחוץ לו (שאלת ביניים · רמה א')
לפניכם צורה של מגף ונקודה $P$ מחוץ לו, יחידה אחת מימין לקצה הבוהן של המגף. הקווים המקווקווים עוברים דרך $P$ . לפניכם ארבעה ציורים. בכל ציור…
שכפול האייקונים: שיקוף, הזזה וסיבוב של טרפז (שאלה מלאה · רמה א')
"שכפול האייקונים" מעצבת גרפית בונה אייקונים למשחק מחשב. היא משתמשת בצורה בסיסית של טרפז ישר זווית (צורה א') ומפעילה עליו פקודות מחשב שונות…
מקבילית, מעוין וטרפז שווה שוקיים: צירי סימטריה וחצי סיבוב (שאלה קצרה · רמה א')
לפניכם שלוש צורות: המקבילית $ABCD$ , שאינה מלבן ואינה מעוין; המעוין $EFGH$ , שאינו ריבוע; והטרפז שווה השוקיים $KLMN$ , שבסיסיו $KL$ ו- $NM$ …

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (9)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

ארבעה סיבובים של נקודה יוצרים ריבוע (שאלת ביניים · מצוינות)
$O$ היא ראשית הצירים. מסובבים את הנקודה $A(3,1)$ סביב $O$ נגד כיוון השעון ב- $90^\circ$ , ב- $180^\circ$ …
סיבוב טרפז ישר זווית סביב קודקוד (שאלה מלאה · רמה א')
הטרפז $ABCD$ שקודקודיו $A(1,1)$ , $B(6,1)$ , $C(4,4)$ , $D(1,4)$ הוא טרפז ישר זווית: הבסיסים $AB$ ו- $DC$ אופקיים,…
ארבעה משולשים חופפים סביב ראשית הצירים (שאלה מלאה · מצוינות)
על מערכת צירים מסרטטים את הריבוע $KLMN$ שקודקודיו $K(-5,-5)$ , $L(5,-5)$ , $M(5,5)$ , $N(-5,5)$ . מרכז הריבוע הוא…
מה צריך כדי לתאר סיבוב (שאלה קצרה · רמה א')
סיבוב מזיז כל נקודה של הצורה באותה זווית ובאותו כיוון, והמרחק של כל נקודה מנקודת הסיבוב נשמר.
מהתמונה חזרה לנקודה המקורית (שאלה קצרה · מצוינות)
בשאלה זו כל הסיבובים הם סביב ראשית הצירים.
סיבוב משולש סביב אחד מקודקודיו (שאלה קצרה · רמה א')
המשולש $ABC$ שקודקודיו $A(2,1)$ , $B(5,1)$ , $C(2,3)$ מסובב ב- $90^\circ$ נגד כיוון השעון סביב הקודקוד $A$ (ולא…
חצי סיבוב של מלבן סביב ראשית הצירים (שאלת ביניים · רמה ב')
המלבן $ABCD$ שקודקודיו $A(1,2)$ , $B(6,2)$ , $C(6,4)$ , $D(1,4)$ מסובב ב- $180^\circ$ סביב ראשית הצירים, ומתקבל…
צלב משני מלבנים חופפים (שאלת ביניים · מצוינות)
על מערכת צירים מסרטטים מלבן "שוכב" (הצלע הארוכה שלו אופקית). מרכז המלבן (נקודת המפגש של האלכסונים) הוא ראשית…
הזזה או סיבוב? ארבעה משולשים חופפים (שאלת ביניים · רמה א')
במערכת הצירים ארבעה משולשים חופפים: $ABC$ : $A(1,1)$ , $B(4,1)$ , $C(1,3)$ $DEF$ : $D(-1,-1)$ , $E(-4,-1)$ ,…