מבחן מיצ"ב במתמטיקה לכיתה ח' (נוסח 2012) - עם פתרונות מלאים

היחס $1:3$ אומר שעל כל חלק אחד של הסבר יש 3 חלקים של עבודה לבד.

בסך הכול יש $1+3=4$ חלקים שווים.

כל חלק הוא $60:4=15$ דקות.

המורה מסבירה חלק אחד, כלומר 15 דקות (והתלמידים עובדים לבד $3\cdot15=45$ דקות).

בדיקה: $15+45=60$ ✓, ו-$15:45=1:3$ ✓

טעות נפוצה: לחלק את 60 ב-3 (ולקבל 20), כאילו יש רק 3 חלקים. צריך לחבר את שני חלקי היחס: $1+3=4$.

מעבירים את $5x$ לאגף שמאל (מחסירים $5x$ משני האגפים):

$6x-5x-5=9$

$x-5=9$

מוסיפים 5 לשני האגפים:

$x=9+5=14$

בדיקה: אגף שמאל $6\cdot14-5=84-5=79$; אגף ימין $5\cdot14+9=70+9=79$ ✓

שלב 1: מוצאים את הזווית השלישית במשולש $KLM$. סכום הזוויות במשולש הוא $180^\circ$:

$\angle KML=180^\circ-55^\circ-72^\circ=53^\circ$

שלב 2: הזווית $\alpha$ נוצרת בין ההמשכים של הצלעות $KM$ ו-$LM$ מעבר לנקודה $M$.

לכן $\alpha$ והזווית $KML$ הן זוויות קדקודיות, וזוויות קדקודיות שוות זו לזו.

$\alpha=53^\circ$

טעות נפוצה: לחשב זווית חיצונית ($55^\circ+72^\circ=127^\circ$). הזווית החיצונית היא הזווית שבין $LM$ להמשך של $KM$ (כלומר $\angle LMP$), ולא הזווית $\alpha$.

בפונקציה קווית $y=mx+b$ המספר שכופל את $x$ (השיפוע $m$) קובע את סוג הפונקציה:

• $m>0$: הפונקציה עולה. • $m<0$: הפונקציה יורדת. • $m=0$ (אין $x$ בכלל): הפונקציה קבועה.

1. $y=-6x$: השיפוע הוא $-6$, מספר שלילי, ולכן הפונקציה יורדת.

2. $y=2x-9$: השיפוע הוא $2$, מספר חיובי, ולכן הפונקציה עולה. המספר $-9$ הוא רק נקודת החיתוך עם ציר $y$, והוא לא קובע אם הפונקציה עולה או יורדת.

3. $y=4$: אין כאן $x$, כלומר השיפוע $0$. לכל $x$ הערך של $y$ הוא 4, ולכן הפונקציה קבועה.

4. $y=-5+3x$: אפשר לכתוב אותה כ-$y=3x-5$. השיפוע הוא $3$ (המספר שליד $x$), ולכן הפונקציה עולה. המינוס שבהתחלה שייך למספר החופשי, לא לשיפוע.

קוראים מהדיאגרמה (כל קו רשת מסמן 5 מ"ק):

קיץ: 2021 – 65, 2022 – 60, 2023 – 55. חורף: 30, 35, 35. אביב: 45, 40, 45. סתיו: 40, 45, 35.

1. לא נכונה. הממוצע של עונת הקיץ בשלוש השנים:

$\frac{65+60+55}{3}=\frac{180}{3}=60$ מ"ק, ולא 65. (65 היא הצריכה בקיץ של שנת 2021 בלבד.)

2. נכונה. בשנת 2022 (העמודות הבהירות): חורף 35, אביב 40, קיץ 60, סתיו 45. הערך הנמוך ביותר הוא 35, בעונת החורף.

3. לא נכונה. בשנת 2023 (העמודות השחורות): $35+45+55+35=170$ מ"ק, ולא 160.

התשובה הנכונה: $7x-3=-3$.

מציבים $x=0$: אגף שמאל $7\cdot0-3=-3$, ואגף ימין $-3$. שני האגפים שווים ✓

אפשר גם לפתור: מוסיפים 3 לשני האגפים ומקבלים $7x=0$, ולכן $x=0$.

למה לא $9x=8x+2$? מחסירים $8x$ ומקבלים $x=2$, לא 0. (הצבה: $9\cdot0=0$, אבל $8\cdot0+2=2$.)

למה לא $4x+5=4x+11$? אם מחסירים $4x$ משני האגפים מקבלים $5=11$, וזה לא נכון אף פעם. למשוואה הזאת אין פתרון בכלל. העובדה שה-$x$ "נעלם" לא אומרת שהפתרון הוא 0.

למה לא $2x+10=0$? כאן אגף ימין הוא 0, אבל הפתרון הוא $2x=-10$, כלומר $x=-5$. (הצבה של 0 נותנת $10\neq0$.)

התשובה הנכונה: $(-5,-2)$.

לפי הסרטוט, המלבן נמצא בין $x=-3$ ל-$x=5$, ובין $y=-6$ ל-$y=0$.

נקודה נמצאת בתוך המלבן אם שיעור ה-$x$ שלה בין $-3$ ל-5, וגם שיעור ה-$y$ שלה בין $-6$ ל-0.

בנקודה $(-5,-2)$ שיעור ה-$x$ הוא $-5$, וזה שמאלה מ-$-3$. לכן הנקודה מחוץ למלבן.

למה לא $(-2,-4)$? $x=-2$ נמצא בין $-3$ ל-5, ו-$y=-4$ נמצא בין $-6$ ל-0, ולכן הנקודה בתוך המלבן. (מי שמחליף בין $x$ ל-$y$ יחשוב בטעות על $(-4,-2)$, שנמצאת מחוץ למלבן.)

למה לא $(0,-5)$? הנקודה נמצאת על ציר $y$, 5 יחידות מתחת לראשית, בתוך המלבן.

למה לא $(4,-1)$? $x=4$ קטן מ-5, ו-$y=-1$ בין $-6$ ל-0, ולכן הנקודה בתוך המלבן.

המכנה המשותף של 3 ו-4 הוא 12. כופלים כל אחד מהאיברים בשני האגפים ב-12:

$12\cdot\frac{2x-3}{3}+12\cdot\frac{x+6}{4}=12\cdot x$

$4(2x-3)+3(x+6)=12x$

פותחים סוגריים:

$8x-12+3x+18=12x$

מכנסים איברים דומים:

$11x+6=12x$

מחסירים $11x$ משני האגפים:

$6=x$

בדיקה: $\frac{2\cdot6-3}{3}+\frac{6+6}{4}=\frac{9}{3}+\frac{12}{4}=3+3=6$, וזה שווה ל-$x=6$ ✓

שימו לב: גם אגף ימין ($x$) צריך להיכפל ב-12. מי ששוכח ומשאיר $x$ מקבל $11x+6=x$, ומגיע לתשובה שגויה.

התשובה הנכונה: $\frac{x}{2x+7}$.

מספר סוכריות התות: $x$.

מספר סוכריות הלימון: $x+7$ (יש 7 יותר).

מספר כל הסוכריות בשקית: $x+(x+7)=2x+7$.

הסתברות = מספר הסוכריות המתאימות חלקי מספר כל הסוכריות, ולכן ההסתברות לשלוף תות היא $\frac{x}{2x+7}$.

למה לא $\frac{x}{x+7}$? כאן חילקו במספר סוכריות הלימון בלבד, ולא במספר כל הסוכריות בשקית.

למה לא $\frac{1}{2x+7}$? זו ההסתברות לשלוף סוכרייה אחת מסוימת. אבל יש $x$ סוכריות תות, ולכן במונה צריך להיות $x$ ולא 1.

למה לא $\frac{1}{x+7}$? כאן יש שתי טעויות: גם המונה צריך להיות $x$, וגם המכנה צריך להיות מספר כל הסוכריות ($2x+7$).

קודם מסדרים את המשוואה השנייה. המכנה המשותף של 5 ו-2 הוא 10, ולכן כופלים את כל האיברים ב-10:

$2(3x+4)+5(y-4)=40$

$6x+8+5y-20=40$

$6x+5y=52$

עכשיו המערכת היא:

$\begin{cases}4x+y=2\\ 6x+5y=52\end{cases}$

כופלים את המשוואה הראשונה ב-$(-5)$ כדי שהמקדמים של $y$ יהיו נגדיים:

$-20x-5y=-10$

מחברים אותה עם $6x+5y=52$:

$-14x=42$

$x=-3$

מציבים במשוואה הראשונה: $4\cdot(-3)+y=2$, כלומר $-12+y=2$, ולכן $y=14$.

מהמשוואה הראשונה: $y=2-4x$. מציבים במשוואה השנייה:

$\frac{3x+4}{5}+\frac{2-4x-4}{2}=4$, כלומר $\frac{3x+4}{5}+\frac{-2-4x}{2}=4$

כופלים ב-10: $2(3x+4)+5(-2-4x)=40$

$6x+8-10-20x=40$

$-14x-2=40$

$-14x=42$, ולכן $x=-3$, ו-$y=2-4\cdot(-3)=2+12=14$.

בדיקה: $4\cdot(-3)+14=-12+14=2$ ✓; $\frac{3\cdot(-3)+4}{5}+\frac{14-4}{2}=\frac{-5}{5}+\frac{10}{2}=-1+5=4$ ✓

שלב 1: כמה גרם שומן יש בכל יוגורט?

ביוגורט הראשון: $\frac{3}{100}\cdot300=9$ גרם שומן.

ביוגורט השני: $\frac{8}{100}\cdot200=16$ גרם שומן.

בסך הכול: $9+16=25$ גרם שומן.

שלב 2: כמה יוגורט יש בקערה? $300+200=500$ גרם.

שלב 3: אחוז השומן בתערובת:

$\frac{25}{500}=\frac{5}{100}=5\%$

טעות נפוצה: לחשב ממוצע של שני האחוזים, $\frac{3+8}{2}=5.5\%$. זה לא נכון, כי הכמויות של שני היוגורטים שונות (יש יותר מהיוגורט הדל בשומן).

התשובה הנכונה: $27\pi$.

$AB$ הוא רדיוס של העיגול, כלומר $r=6$ ס"מ.

שטח העיגול השלם: $\pi r^2=\pi\cdot6^2=36\pi$ סמ"ר.

הזווית $BAC$ היא $90^\circ$, כלומר החלק החסר הוא $\frac{90}{360}=\frac{1}{4}$ מהעיגול. לכן הצורה היא $\frac{3}{4}$ מהעיגול:

$\frac{3}{4}\cdot36\pi=27\pi$ סמ"ר.

למה לא $36\pi$? זה השטח של העיגול השלם. שכחו להוריד את הרבע החסר.

למה לא $12\pi$? זה ההיקף של העיגול השלם ($2\pi r=2\pi\cdot6$), לא שטח.

למה לא $9\pi$? זה $\frac{3}{4}$ מההיקף ($\frac{3}{4}\cdot12\pi$), כלומר אורך הקשת. השתמשו בנוסחת ההיקף במקום בנוסחת השטח.