מבחן מיצ"ב במתמטיקה לכיתה ח' (נוסח 2019) - עם פתרונות מלאים

ממוצע = סכום הנתונים חלקי מספר הנתונים.

סכום שלוש המדידות: $9+17+4=30$

יש 3 מדידות, ולכן מחלקים ב-3:

$30:3=10$

הטמפרטורה הממוצעת היא $10^\circ C$.

התשובה: $x=8$.

מעבירים את $3x$ לאגף השמאלי (מחסרים $3x$ משני האגפים):

$8x-3x=40$

$5x=40$

מחלקים את שני האגפים ב-5:

$x=40:5=8$

בדיקה: אגף שמאל $8\cdot8=64$; אגף ימין $3\cdot8+40=24+40=64$ ✓

מחשבים כמה הם $20\%$ מ-750:

$750\cdot\frac{20}{100}=750\cdot0.2=150$ ש"ח.

המחיר עלה ב-150 ש"ח, ולכן המחיר החדש הוא:

$750+150=900$ ש"ח.

דרך נוספת: המחיר החדש הוא $120\%$ מהמחיר הקודם: $750\cdot1.2=900$ ש"ח.

במלבן כל הזוויות ישרות, ולכן $\angle C=90^\circ$.

במשולש $BCD$ סכום הזוויות הוא $180^\circ$:

$\alpha=180^\circ-90^\circ-58^\circ=32^\circ$

דרך נוספת: $\angle ABD=90^\circ-58^\circ=32^\circ$, ו-$\alpha$ שווה לה כי היא זווית מתחלפת בין הישרים המקבילים $AB$ ו-$DC$.

הסתברות = מספר הגולות הצהובות חלקי מספר כל הגולות.

מספר כל הגולות: $5+3+6+8+2=24$

מספר הגולות הצהובות: 6

$P=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}$

אפשר לכתוב גם $0.25$ או $25\%$.

התשובה הנכונה: $y=5x-4$.

פונקציה קווית $y=mx+b$ היא עולה כאשר השיפוע $m$ חיובי. לכן מתאימות רק $y=5x-4$ ו-$y=5x+4$.

הנקודה $(0,-4)$ נמצאת על ציר ה-$y$, ולכן צריך $b=-4$. בודקים: כשמציבים $x=0$ ב-$y=5x-4$ מקבלים $y=-4$ ✓.

למה לא $y=5x+4$? היא אכן עולה, אבל כשמציבים $x=0$ מקבלים $y=4$, כלומר היא עוברת דרך $(0,4)$ ולא דרך $(0,-4)$.

למה לא $y=-5x-4$? היא עוברת דרך $(0,-4)$, אבל השיפוע שלה שלילי ($-5$), ולכן היא יורדת.

למה לא $y=-5x+4$? השיפוע שלילי (יורדת) וגם היא עוברת דרך $(0,4)$: שתי הדרישות לא מתקיימות.

סך כל הנקודות: $20+8+12+4+4=48$

אורי צבר 20 נקודות מתוך 48, כלומר $\frac{20}{48}$ מכל הנקודות.

העיגול מחולק ל-12 גזרות, ולכן בכל גזרה יש $48:12=4$ נקודות.

לאורי מתאימות $20:4=5$ גזרות. (בדיקה: $\frac{20}{48}=\frac{5}{12}$ ✓)

צובעים 5 גזרות (לא משנה אילו, העיקר שיהיו 5), למשל:

התשובה הנכונה: משולש ג.

תיכון הוא קטע שמחבר קודקוד של משולש עם אמצע הצלע שמול הקודקוד.

במשולש ג: $A$ הוא קודקוד, ו-$B$ מחלק את הצלע שמולו לשני חלקים שווים, 5 ס"מ ו-5 ס"מ. לכן $B$ הוא אמצע הצלע, ו-$AB$ הוא תיכון.

למה לא משולש א? $A$ הוא קודקוד, אבל $B$ מחלק את הצלע שמולו ל-6 ס"מ ול-4 ס"מ, ולכן הוא לא האמצע שלה. הצלע השנייה שאורכה 6 ס"מ לא קשורה לתיכון.

למה לא משולש ב? $A$ הוא אמנם אמצע של צלע (8 ס"מ ו-8 ס"מ), אבל $B$ אינו קודקוד של המשולש: הוא נקודה על צלע אחרת. תיכון חייב לצאת מקודקוד.

למה לא משולש ד? $A$ ו-$B$ נמצאים במרחקים שווים (5 ס"מ) מהקודקוד העליון, אבל אף אחד מהם אינו קודקוד ואף אחד מהם אינו אמצע של צלע.

התשובה הנכונה: $2:3$.

$40\%$ מהמשתתפים הם בנות, ולכן הבנים הם $100\%-40\%=60\%$ מהמשתתפים.

למשל, אם בחוג יש 100 משתתפים: 40 בנות ו-60 בנים.

היחס בנות : בנים הוא $40:60$, ומצמצמים ב-20: $2:3$.

למה לא $3:5$? זה היחס $60:100$, כלומר בין מספר הבנים ובין מספר כל המשתתפים, ולא בין הבנות לבנים.

למה לא $1:6$? כאן לקחו רק את 6 מתוך $60\%$ של הבנים, וכתבו "אחת לשש". אבל היחס צריך להשוות בין שתי הקבוצות: $40:60$.

למה לא $1:4$? כאן לקחו רק את 4 מתוך $40\%$ של הבנות, כאילו מדובר ב"אחת מתוך ארבע". אבל $40\%$ אינם רבע, והיחס צריך להשוות לבנים.

התשובה: כן, המשולשים דומים.

במשולש $LMN$: $LM=LN$, ולכן זוויות הבסיס שוות: $\angle N=\angle M=65^\circ$.

זווית הראש: $\angle L=180^\circ-65^\circ-65^\circ=50^\circ$.

במשולש $RST$: $RS=RT$, ולכן זוויות הבסיס שוות. זווית הראש היא $\angle R=50^\circ$, ולכן:

$\angle S=\angle T=\frac{180^\circ-50^\circ}{2}=\frac{130^\circ}{2}=65^\circ$

בשני המשולשים הזוויות הן $50^\circ$, $65^\circ$, $65^\circ$. אם יש שני זוגות של זוויות שוות, המשולשים דומים (משפט הדמיון ז.ז).

למה לא "לא"? במבט ראשון נראה שהמשולשים שונים, כי בכל אחד מהם נתונה זווית אחרת (65 ו-50). אבל אחרי שמחשבים את כל הזוויות מגלים שהן אותן זוויות. גם הגודל וגם הסיבוב של המשולש לא משנים את הדמיון.

תשובה לדוגמה לציון מלא: "כן. ב-$LMN$ זוויות הבסיס שוות, $\angle N=65^\circ$ ו-$\angle L=50^\circ$. ב-$RST$ זוויות הבסיס הן $(180-50):2=65^\circ$. בשני המשולשים יש זוויות $50^\circ$, $65^\circ$, $65^\circ$, ולכן הם דומים לפי ז.ז."

התשובה: המוכרת צודקת.

שטח התמונה הקטנה: $15\cdot15=225$ סמ"ר, והיא עולה 4 ש"ח.

שטח התמונה הגדולה: $30\cdot30=900$ סמ"ר.

$900:225=4$, כלומר השטח של התמונה הגדולה גדול פי 4 (ולא פי 2!).

לכן המחיר הרגיל שלה הוא $4\cdot4=16$ ש"ח. המוכרת מבקשת 15 ש"ח, פחות מ-16, ולכן אכן נתנה הנחה.

דרך נוספת: ריבוע שהצלע שלו 30 ס"מ אפשר לחלק ל-4 ריבועים שהצלע של כל אחד מהם 15 ס"מ (שניים בכל שורה, בשתי שורות). כל ריבוע קטן עולה 4 ש"ח: $4\cdot4=16$ ש"ח.

למה לא יונתן? יונתן חשב שאם הצלע גדלה פי 2 גם המחיר גדל פי 2 ($4\cdot2=8$). אבל המחיר נקבע לפי השטח, וכשהצלע של ריבוע גדלה פי 2 – השטח גדל פי $2\cdot2=4$.

תשובה לדוגמה לציון מלא: "המוכרת. השטח של התמונה הקטנה 225 סמ"ר, והשטח של הגדולה 900 סמ"ר – פי 4. לכן המחיר צריך להיות $4\cdot4=16$ ש"ח, ו-15 ש"ח הוא מחיר אחרי הנחה."

נסמן ב-$x$ את המחיר של חטיף שוקולד (בש"ח).

אז המחיר של חטיף גרנולה הוא $x+3.5$.

6 חטיפי שוקולד עולים $6x$, ו-4 חטיפי גרנולה עולים $4(x+3.5)$.

המשוואה:

$6x+4(x+3.5)=89$

$6x+4x+14=89$

$10x+14=89$

$10x=75$

$x=7.5$

חטיף שוקולד עולה 7.5 ש"ח (וחטיף גרנולה עולה $7.5+3.5=11$ ש"ח).

בדיקה: $6\cdot7.5+4\cdot11=45+44=89$ ✓

מציאת הנעלם הראשון (שיטת השוואת מקדמים):

כופלים את המשוואה השנייה ב-$(-8)$:

$-40x-8y=-152$

מחברים אותה עם המשוואה הראשונה $3x+8y=4$:

$3x-40x=4-152$

$-37x=-148$

$x=4$

מציאת הנעלם השני (הצבה במשוואה השנייה):

$5\cdot4+y=19$

$20+y=19$

$y=-1$

דרך נוספת (הצבה): מהמשוואה השנייה $y=19-5x$. מציבים בראשונה: $3x+8(19-5x)=4$, כלומר $3x+152-40x=4$, $-37x=-148$, $x=4$, ואז $y=19-20=-1$.

בדיקה: $3\cdot4+8\cdot(-1)=12-8=4$ ✓; $5\cdot4+(-1)=19$ ✓