מבחן מיצ"ב במתמטיקה לכיתה ח' (נוסח 2014) - עם פתרונות מלאים

התשובה הנכונה: $50^\circ$.

לפי סדר הקודקודים בחפיפה $\triangle DEF\cong\triangle RST$: הקודקוד $R$ מתאים לקודקוד $D$, $S$ מתאים ל-$E$, ו-$T$ מתאים ל-$F$.

במשולשים חופפים זוויות מתאימות שוות, ולכן $\angle R=\angle D=50^\circ$.

למה לא $70^\circ$? זו הזווית $\angle E$, והיא מתאימה ל-$\angle S$ ולא ל-$\angle R$.

למה לא $60^\circ$? זו הזווית השלישית במשולש: $\angle F=180^\circ-50^\circ-70^\circ=60^\circ$. היא מתאימה ל-$\angle T$.

למה לא $65^\circ$? זה $(180^\circ-50^\circ):2$. כך מחשבים מי שמניחים שהמשולש שווה-שוקיים ושתי זוויות הבסיס שוות, אבל אין נתון כזה. ההתאמה בין הקודקודים קובעת ש-$\angle R$ מתאים ל-$\angle D$.

בסרטוט הצלע $DF$ אורכה 6 ס"מ.

לפי סדר הקודקודים: $D$ מתאים ל-$R$, ו-$F$ מתאים ל-$T$. לכן הצלע $DF$ מתאימה לצלע $RT$.

במשולשים חופפים צלעות מתאימות שוות, ולכן $RT=6$ ס"מ.

מהסרטוט: $PQ=150$ ס"מ, $QR=350$ ס"מ.

היחס: $150:350$.

מחלקים את שני המספרים ב-50 (המחלק המשותף הגדול ביותר):

$150:50=3$, $350:50=7$.

היחס המצומצם: $3:7$ (אפשר לכתוב גם $\frac{3}{7}$).

התשובה הנכונה: $1:4$.

כשהוו $Q$ זז 50 ס"מ לכיוון $P$, המרחק $PQ$ קטן ב-50 ס"מ, והמרחק $QR$ גדל ב-50 ס"מ:

$PQ=150-50=100$ ס"מ

$QR=350+50=400$ ס"מ

היחס: $100:400=1:4$.

(בדיקה: אורך המוט בין $P$ ל-$R$ לא השתנה: $100+400=500=150+350$.)

למה לא $1:5$? זה היחס $100:500$, כלומר בין $PQ$ ובין כל המרחק $PR$, ולא בין $PQ$ ובין $QR$.

למה לא $1:3$? זה היחס $100:300$. כאן הורידו 50 ס"מ גם מ-$QR$, אבל כש-$Q$ מתקרב ל-$P$ הוא מתרחק מ-$R$, ולכן $QR$ גדל.

למה לא $2:3$? זה היחס $200:300$, שמתקבל כשמזיזים את $Q$ לכיוון ההפוך, לכיוון $R$.

יחס $1:1$ פירושו ש-$PQ=QR$, כלומר $Q$ צריך להיות בדיוק באמצע בין $P$ ל-$R$.

המרחק בין $P$ ל-$R$: $150+350=500$ ס"מ.

האמצע נמצא במרחק $500:2=250$ ס"מ מ-$P$.

עכשיו $PQ=150$ ס"מ, ולכן צריך להזיז את $Q$ לכיוון $R$:

$250-150=100$ ס"מ.

בדיקה: אחרי ההזזה $PQ=250$ ו-$QR=350-100=250$ ✓

התשובה הנכונה: $\frac{19}{60}$.

מהדיאגרמה: 19 אנשים הזמינו גלידת תות.

בוחרים מבין כל האנשים בבית הקפה, כלומר מבין 60 איש (גם אלה שלא הזמינו קינוח).

הסתברות = מספר האפשרויות המתאימות חלקי מספר כל האפשרויות:

$\frac{19}{60}$

למה לא $\frac{1}{60}$? זו ההסתברות לבחור אדם מסוים אחד, ולא אחד מתוך 19 האנשים שהזמינו גלידת תות.

למה לא $\frac{1}{19}$? כאן בחרו רק מתוך מי שהזמין גלידת תות, ושמו 1 במונה במקום 19.

למה לא $\frac{19}{41}$? 41 הוא מספר האנשים שלא הזמינו גלידת תות ($60-19=41$). המכנה צריך להיות מספר כל האנשים, 60.

התשובה הנכונה: 20%.

מחברים את כל העמודות כדי לדעת כמה אנשים הזמינו קינוח:

$10+6+13+19=48$

מספר האנשים שלא הזמינו קינוח: $60-48=12$.

אחוז: $\frac{12}{60}\cdot100=0.2\cdot100=20\%$.

למה לא 12%? 12 הוא מספר האנשים שלא הזמינו קינוח, ולא האחוז שלהם מתוך 60.

למה לא 60%? 60 הוא מספר כל האנשים שאכלו בבית הקפה, ולא אחוז.

למה לא 72%? זה $60+12$: חיברו את מספר כל האנשים ואת מספר מי שלא הזמין קינוח, ואין לחיבור הזה משמעות.

פותחים סוגריים בעזרת חוק הפילוג. שימו לב לסימן המינוס שלפני $4$: $-4\cdot(-3)=+12$.

$6x+12-4x+12=37$

מכנסים איברים דומים:

$2x+24=37$

מחסרים 24 משני האגפים:

$2x=13$

מחלקים ב-2:

$x=6\frac{1}{2}$ (כלומר $x=6.5$)

בדיקה: $6(6.5+2)-4(6.5-3)=6\cdot8.5-4\cdot3.5=51-14=37$ ✓

המכנה המשותף של 12 ו-4 הוא 12. כופלים את שני האגפים ב-12:

$12\cdot\frac{5(x-2)}{12}=12\cdot\frac{3x+2}{4}$

באגף שמאל נשאר $5(x-2)$, ובאגף ימין $3(3x+2)$ (כי $12:4=3$):

$5(x-2)=3(3x+2)$

פותחים סוגריים:

$5x-10=9x+6$

מעבירים אגפים:

$5x-9x=6+10$

$-4x=16$

$x=-4$

בדיקה: אגף שמאל $\frac{5\cdot(-6)}{12}=\frac{-30}{12}=-2.5$; אגף ימין $\frac{3\cdot(-4)+2}{4}=\frac{-10}{4}=-2.5$ ✓

התשובה הנכונה: $6(x+4)<54$.

קודם מוסיפים 4 למספר: $x+4$.

אחר כך כופלים את כל הסכום ב-6, ולכן צריך סוגריים: $6(x+4)$.

התוצאה קטנה מ-54, ולכן הסימן הוא $<$:

$6(x+4)<54$

למה לא $x+4\cdot6<54$? בלי סוגריים, לפי סדר פעולות החשבון כופלים רק את 4 ב-6, ולא את כל הסכום $x+4$.

למה לא $6(x+4)>54$? הביטוי נכון, אבל הסימן הפוך: הסימן $>$ פירושו "גדול מ-", והתוצאה הייתה קטנה מ-54.

למה לא $x+4\cdot6>54$? יש כאן שתי טעויות: חסרים הסוגריים, וגם הסימן הפוך.

התשובה: לא.

הסבר 1 (הצבה): מציבים $x=5$: $6(5+4)=6\cdot9=54$. התוצאה שווה ל-54, והיא אינה קטנה מ-54. לכן 5 אינו מתאים.

הסבר 2 (פתרון אי-השוויון):

$6(x+4)<54$

מחלקים את שני האגפים ב-6:

$x+4<9$

$x<5$

המספר צריך להיות קטן מ-5, ו-5 אינו קטן מעצמו. לכן דן לא חשב על 5.

הסבר 3 (במילים): $5+4=9$, ו-$9\cdot6=54$. התוצאה היא בדיוק 54, ולא פחות מ-54.

למה לא "כן"? טעות נפוצה היא לחשוב שאם $6(x+4)=54$ כאשר $x=5$, אז 5 הוא פתרון. אבל באי-השוויון התוצאה צריכה להיות קטנה מ-54, ולא שווה לו.

התשובה הנכונה: $y+2x=9$.

ישרים מקבילים הם ישרים שיש להם אותו שיפוע (ונקודות חיתוך שונות עם ציר ה-$y$).

השיפוע של הפונקציה הנתונה $y=-2x+7$ הוא $-2$.

מבודדים את $y$ במשוואה $y+2x=9$: מחסרים $2x$ משני האגפים ומקבלים $y=-2x+9$.

השיפוע שלה הוא $-2$, בדיוק כמו בפונקציה הנתונה, ולכן הגרפים מקבילים.

למה לא $y-2x=9$? אחרי בידוד $y$ מקבלים $y=2x+9$, והשיפוע שלה הוא $2$ ולא $-2$.

למה לא $y=2x+7$? השיפוע שלה הוא $2$. יש לה אותה נקודת חיתוך עם ציר ה-$y$ כמו לפונקציה הנתונה, אבל זה לא הופך את הישרים למקבילים; הם נחתכים בנקודה $(0,7)$.

למה לא $y=2x-7$? השיפוע שלה הוא $2$, ולכן היא אינה מקבילה לפונקציה הנתונה.

הגרף של $y=-2x+7$ חותך את ציר ה-$y$ כאשר $x=0$: $y=-2\cdot0+7=7$, כלומר בנקודה $(0,7)$.

פונקציה קווית שעוברת דרך $(0,7)$ היא מהצורה $y=mx+7$.

פונקציה קווית היא עולה כשהשיפוע שלה חיובי, כלומר $m>0$.

דוגמה: $y=3x+7$ (אפשר גם $y=x+7$, $y=\frac12x+7$ וכדומה).

התשובה: כן.

הממוצע 15 ק"מ ביום במשך 6 ימים, ולכן בסך הכול עידו רכב $15\cdot6=90$ ק"מ.

צריך לבחור מרחקים כך ש:

• בכל אחד מארבעת הימים הראשונים יותר מ-15 ק"מ;

• ביום השישי 20 ק"מ;

• ביום החמישי מרחק חיובי (הוא רכב בכל יום);

• הסכום של כל הימים הוא 90.

דוגמה: בכל אחד מארבעת הימים הראשונים 16 ק"מ: $4\cdot16=64$. ביום השישי 20: $64+20=84$. ביום החמישי נשאר $90-84=6$ ק"מ.

יום 1: 16, יום 2: 16, יום 3: 16, יום 4: 16, יום 5: 6, יום 6: 20.

בדיקה: $16+16+16+16+6+20=90$, ו-$90:6=15$ ✓

התשובה: לא.

הסבר: בסך הכול עידו רכב $15\cdot6=90$ ק"מ.

בארבעת הימים הראשונים הוא רכב יותר מ-15 ק"מ בכל יום, ולכן יחד יותר מ-$4\cdot15=60$ ק"מ.

לכן ליום החמישי וליום השישי יחד נשארו פחות מ-$90-60=30$ ק"מ.

אם ביום השישי היה רוכב 30 ק"מ, לא היה נשאר שום מרחק ליום החמישי (ואפילו היה חסר), אבל הוא רכב בכל יום. לכן זה לא ייתכן.

למה לא "כן"? מי שעונה "כן" בודק בדרך כלל רק שהסכום יכול להיות 90, ושוכח שארבעת הימים הראשונים "תופסים" יותר מ-60 ק"מ.

מחשבים את השיפוע לפי שתי הנקודות $A(1,8)$ ו-$B(3,0)$:

$m=\frac{0-8}{3-1}=\frac{-8}{2}=-4$

המשוואה היא מהצורה $y=-4x+b$. מציבים את הנקודה $B(3,0)$:

$0=-4\cdot3+b$

$0=-12+b$

$b=12$

משוואת הישר: $y=-4x+12$.

בדיקה בנקודה $A$: $-4\cdot1+12=8$ ✓

פונקציה חיובית פירושה $y>0$, כלומר הגרף נמצא מעל ציר ה-$x$.

הישר יורד וחותך את ציר ה-$x$ בנקודה $B(3,0)$. משמאל ל-$B$ הגרף נמצא מעל ציר ה-$x$.

לכן הפונקציה חיובית כאשר $x<3$.

(בדרך אלגברית: $-4x+12>0$, $-4x>-12$, $x<3$; כשמחלקים במספר שלילי, כיוון הסימן מתהפך.)