מבחן מיצ"ב במתמטיקה לכיתה ח' (נוסח 2017) - עם פתרונות מלאים

התשובה הנכונה: $2(3x+7)+2x$.

במלבן יש שתי צלעות באורך $3x+7$ (הצלעות $BC$ ו-$AD$) ושתי צלעות באורך $x$ (הצלעות $AB$ ו-$DC$).

ההיקף הוא סכום ארבע הצלעות:

$(3x+7)+(3x+7)+x+x=2(3x+7)+2x$

למה לא $2(3x+7)+x$? כאן הצלע $x$ נספרה רק פעם אחת, אבל יש שתי צלעות כאלה.

למה לא $3x+7+x$? זה סכום של שתי צלעות סמוכות בלבד, כלומר חצי היקף.

למה לא $2\cdot3x+7+2x$? כאן חסרים סוגריים: רק $3x$ הוכפל ב-2, ו-7 נספר פעם אחת בלבד. צריך להכפיל ב-2 את כל הביטוי $3x+7$.

ההיקף הוא 70 ס"מ, ולכן משווים את הביטוי מסעיף א ל-70:

$2(3x+7)+2x=70$

פותחים סוגריים:

$6x+14+2x=70$

מכנסים איברים דומים:

$8x+14=70$

מחסרים 14 משני האגפים:

$8x=56$

מחלקים ב-8:

$x=7$

הצלע $AB$ מסומנת ב-$x$, ולכן $AB=7$ ס"מ.

בדיקה: $BC=3\cdot7+7=28$, וההיקף $2\cdot28+2\cdot7=56+14=70$ ✓

דרך חשבונית (בלי משוואה): חצי היקף הוא $70:2=35$ ס"מ, וזה $x+3x+7=4x+7$. לכן $4x=35-7=28$, ו-$x=7$.

מה הבודק מחפש: כתיבת משוואה נכונה, פתיחת סוגריים, כינוס איברים דומים, חילוץ $x$ ותשובה: 7 ס"מ.

לפי הסרטוט, הנקודה $A$ נמצאת בדיוק מתחת ל-3 שעל ציר ה-$x$ (הקו המקווקו). לכן שיעור ה-$x$ שלה הוא 3.

מציבים $x=3$ בפונקציה:

$y=-3\cdot3-5=-9-5=-14$

לכן $A(3,-14)$.

הנקודה $B$ נמצאת על ציר ה-$y$, ולכן בה $x=0$.

מציבים: $y=-3\cdot0-5=-5$, כלומר $B(0,-5)$.

(אפשר גם לזכור: בפונקציה $y=mx+b$ הגרף חותך את ציר ה-$y$ בנקודה $(0,b)$, וכאן $b=-5$.)

הקטע $OB$ מתחיל בראשית הצירים ומגיע עד $-5$ על ציר ה-$y$, ולכן האורך שלו הוא 5 יחידות.

שימו לב: אורך של קטע הוא תמיד מספר חיובי, ולכן התשובה 5 ולא $-5$.

התשובה: כן.

אם הממוצע של שלושה מספרים הוא 70, הסכום שלהם הוא $3\cdot70=210$.

אם אחד המספרים הוא 50, הסכום של שני האחרים הוא $210-50=160$.

מספיק למצוא שני מספרים חיוביים שסכומם 160, למשל 80 ו-80, או 60 ו-100.

בדיקה: $\frac{50+80+80}{3}=\frac{210}{3}=70$ ✓

מה הבודק מחפש: דוגמה של שני מספרים חיוביים שסכומם 160.

התשובה: לא.

הסבר 1: הסכום של שלושת המספרים הוא $3\cdot70=210$. אם אחד מהם הוא 250, הסכום של שני האחרים צריך להיות $210-250=-40$. כדי שהסכום יהיה שלילי, לפחות אחד מהמספרים חייב להיות שלילי. זה סותר את הנתון שכל המספרים חיוביים.

הסבר 2: אם נחלק את 250 ל-3, כבר נקבל יותר מ-70 ($250:3\approx83.3$). אם נוסיף ל-250 עוד שני מספרים חיוביים, הסכום יגדל עוד, והממוצע יהיה גדול מ-70 – ולא שווה ל-70.

למה לא "כן"? אין שני מספרים חיוביים שסכומם $-40$. גם אם שני המספרים האחרים קטנים מאוד (למשל 0.5 ו-0.5), הממוצע יוצא גדול מ-70: $\frac{251}{3}\approx83.7$.

מה הבודק מחפש: הסבר שמתייחס גם לסכום (210 או $-40$) וגם לכך שהמספרים חיוביים.

הבסיס הוא הצלע $AC$, והגובה אליה הוא $BD=8$ ס"מ.

אורך הבסיס: $AC=AD+DC=8+11=19$ ס"מ.

שטח משולש = בסיס כפול גובה חלקי 2:

$\frac{19\cdot8}{2}=\frac{152}{2}=76$ סמ"ר.

דרך נוספת: סכום השטחים של שני המשולשים ישרי-הזווית:

$S_{ABD}=\frac{8\cdot8}{2}=32$, $S_{BDC}=\frac{11\cdot8}{2}=44$, ו-$32+44=76$ סמ"ר.

במשולש $ABD$ יש זווית ישרה ליד $D$ (כי $BD$ גובה), ושני הניצבים שווים: $AD=BD=8$ ס"מ.

לכן המשולש $ABD$ הוא משולש ישר-זווית ושווה-שוקיים, וזוויות הבסיס שלו שוות: $\angle A=\angle ABD$.

סכום הזוויות במשולש הוא $180^\circ$:

$\angle A=\frac{180^\circ-90^\circ}{2}=\frac{90^\circ}{2}=45^\circ$

המשולש $BDC$ הוא משולש ישר-זווית ($\angle D=90^\circ$), והיתר שלו הוא $BC$.

לפי משפט פיתגורס:

$BC^2=BD^2+DC^2$

$BC^2=8^2+11^2$

$BC^2=64+121=185$

$BC=\sqrt{185}\approx13.60$ ס"מ.

מה הבודק מחפש: שימוש במשפט פיתגורס במשולש $BDC$ (ולא במשולש $ABD$), והצבה נכונה של שני הניצבים.

מחשבים כמה תלמידים יש בכל קבוצה (אחוז מתוך 250):

• אינם משתתפים בשום חוג: $20\%$ מ-250 הם $\frac{20}{100}\cdot250=50$ תלמידים.

• משתתפים בחוג אחד בלבד: $\frac{44}{100}\cdot250=110$ תלמידים.

• משתתפים ביותר מחוג אחד: $\frac{36}{100}\cdot250=90$ תלמידים.

בדיקה: $50+110+90=250$ ✓

מסרטטים מעל כל קבוצה עמודה בגובה המתאים:

מספר המשתתפים בטיול: $250+50=300$ תלמידים.

מספר התלמידים שאינם משתתפים בשום חוג: 50 מהשכבה (מסעיף א) ועוד 50 התלמידים שהצטרפו, כלומר $50+50=100$.

ההסתברות:

$\frac{100}{300}=\frac{1}{3}$

שימו לב: צריך להוסיף את 50 התלמידים החדשים גם למונה (הם אינם משתתפים בחוג) וגם למכנה (הם חלק מכל המשתתפים בטיול).

התשובה הנכונה: $x+x-140<500$.

המחיר של הקסדה: $x$.

הפנס זול ב-140 ש"ח מהקסדה, ולכן המחיר שלו: $x-140$.

המחיר של שניהם יחד: $x+(x-140)=x+x-140$.

המחיר יחד קטן מ-500 ש"ח, ולכן: $x+x-140<500$.

למה לא $x-140>500$? זה רק המחיר של הפנס, ובנוסף הסימן הפוך: לפי הנתונים המחיר קטן מסכום הכסף.

למה לא $x-140<500$? הסימן נכון, אבל זה רק המחיר של הפנס, בלי הקסדה.

למה לא $x+x-140>500$? הביטוי נכון, אבל הסימן הפוך: המחיר יחד קטן מ-500, ולא גדול ממנו.

התשובה: לא.

נימוק אלגברי: פותרים את אי-השוויון מסעיף א:

$x+x-140<500$

$2x-140<500$

$2x<640$

$x<320$

כלומר המחיר של הקסדה קטן מ-320 ש"ח, ולכן הוא לא יכול להיות 330 ש"ח.

נימוק חשבוני: אם הקסדה עלתה 330 ש"ח, הפנס עלה $330-140=190$ ש"ח, ושניהם יחד עלו $330+190=520$ ש"ח. זה יותר מ-500 ש"ח שהיו לעומר, וזה סותר את הנתונים.

למה לא "כן"? מי שבודק רק שהמחיר של הקסדה לבדה (330) קטן מ-500 שוכח שגם הפנס נקנה מאותו כסף.

מה הבודק מחפש: פתרון אי-השוויון והסקת מסקנה, או הצבה של 330 וחישוב שמראה שהסכום גדול מ-500.

1.5 ק"ג הם 1,500 גרם. בכל שקית יש 250 גרם, ולכן צריך:

$1500:250=6$ שקיות.

לפי המבצע, על כל 3 שקיות משלמים רק על 2. ב-6 שקיות יש 2 קבוצות של 3 שקיות, ולכן משלמים על $2\cdot2=4$ שקיות בלבד.

המחיר: $4\cdot18=72$ ש"ח.

התשובה: מרכול אור.

מרכול "הדר": לפי סעיף א, 72 ש"ח.

מרכול "נוף": בכל שקית 300 גרם, ולכן צריך $1500:300=5$ שקיות.

אחרי הנחה של $25\%$ שקית עולה $75\%$ מהמחיר: $0.75\cdot20=15$ ש"ח.

המחיר של 5 שקיות: $5\cdot15=75$ ש"ח.

מרכול "אור": קונים אריזה של 1.25 ק"ג ומקבלים במתנה עוד $20\%$ מהכמות: $0.2\cdot1.25=0.25$ ק"ג.

בסך הכול: $1.25+0.25=1.5$ ק"ג – בדיוק הכמות ששירה צריכה, במחיר של אריזה אחת: 70 ש"ח.

משווים: $70<72<75$, ולכן המחיר הנמוך ביותר הוא במרכול "אור".

למה לא מרכול הדר? המבצע "3 ב-2" נראה משתלם מאוד, אבל המחיר יוצא 72 ש"ח, יותר מ-70.

למה לא מרכול נוף? ההנחה של $25\%$ נראית גדולה, אבל צריך שם 5 שקיות, וגם אחרי ההנחה כל שקית עולה 15 ש"ח. לכן המחיר יוצא $5\cdot15=75$ ש"ח – הגבוה מבין השלושה.

הכובע זול ב-$40\%$ מהמעיל, ולכן המחיר שלו הוא $100\%-40\%=60\%$ מהמחיר של המעיל.

$60\%$ מ-$x$ הם $0.6x$.

אפשר לכתוב גם: $x-\frac{40x}{100}$ או $x-0.4x$.

דרך אלגברית:

המעיל עולה $x$ והכובע עולה $0.6x$. יחד הם עולים 352 ש"ח:

$x+0.6x=352$

$1.6x=352$

$x=352:1.6=220$

המחיר של המעיל: 220 ש"ח.

בדיקה: הכובע עולה $0.6\cdot220=132$ ש"ח, ו-$220+132=352$ ✓

דרך חשבונית: שני הפריטים יחד הם $100\%+60\%=160\%$ מהמחיר של המעיל.

$\frac{352\cdot100}{160}=\frac{35200}{160}=220$ ש"ח.

מה הבודק מחפש: משוואה נכונה, כינוס איברים דומים וחילוץ $x$. שימו לב: השאלה שואלת על המעיל, ולא על הכובע.

התשובה הנכונה: $1:4$.

הדמיון כתוב לפי סדר הקדקודים: $\triangle EDC\sim\triangle ABC$. לכן $E$ מתאים ל-$A$, $D$ מתאים ל-$B$, ו-$C$ מתאים ל-$C$.

הצלע $DC$ במשולש הקטן מתאימה לצלע $BC$ במשולש הגדול.

יחס הדמיון: $DC:BC=3:12=1:4$.

למה לא $5:12$? זה היחס $EC:BC$. הצלעות $EC$ ו-$BC$ אינן צלעות מתאימות: $EC$ מתאימה ל-$AC$, ולא ל-$BC$.

למה לא $3:5$? זה היחס $DC:EC$ – יחס בין שתי צלעות של אותו משולש קטן, ולא בין צלע במשולש אחד לצלע מתאימה במשולש השני.

למה לא $1:3$? זה היחס $3:9$, כאילו הצלע המתאימה היא $12-3=9$. אבל $C$ הוא קדקוד משותף, והצלע $BC$ כולה (12 ס"מ) מתאימה ל-$DC$.

הצלע $EC$ במשולש הקטן מתאימה לצלע $AC$ במשולש הגדול.

יחס הדמיון הוא $1:4$, כלומר כל צלע במשולש הגדול ארוכה פי 4 מהצלע המתאימה במשולש הקטן.

$AC=4\cdot EC=4\cdot5=20$ ס"מ.