מבחן מיצ"ב במתמטיקה לכיתה ח' (נוסח 2016) - עם פתרונות מלאים

מכנסים את האיברים עם $x$: $3x+4x=7x$, ולכן המשוואה היא:

$7x-5=37$

מוסיפים 5 לשני האגפים:

$7x=42$

מחלקים את שני האגפים ב-7:

$x=6$

בדיקה: $3\cdot6+4\cdot6-5=18+24-5=37$ ✓

השכיח הוא המספר שמופיע הכי הרבה פעמים.

סופרים כמה פעמים מופיע כל מספר:

• 2 – פעם אחת

• 3 – פעמיים

• 5 – פעמיים

• 6 – פעם אחת

• 9 – ארבע פעמים

המספר 9 מופיע הכי הרבה פעמים, ולכן השכיח הוא 9.

(שימו לב: השכיח הוא המספר עצמו, 9, ולא מספר הפעמים שהוא מופיע, 4.)

התשובה הנכונה: איור ג.

בכל איור יש 12 עיגולים. היחס $1:3$ אומר שעל כל עיגול שחור אחד יש 3 עיגולים לבנים, כלומר מספר העיגולים הלבנים גדול פי 3 ממספר העיגולים השחורים.

סופרים בכל איור:

• איור א: 4 שחורים, 8 לבנים. היחס $4:8=1:2$.

• איור ב: 9 שחורים, 3 לבנים. היחס $9:3=3:1$.

• איור ג: 3 שחורים, 9 לבנים. היחס $3:9=1:3$ ✓

• איור ד: 6 שחורים, 6 לבנים. היחס $6:6=1:1$.

למה לא איור א? באיור א השחורים הם $\frac{1}{3}$ מכל העיגולים ($4$ מתוך $12$). אבל השאלה שואלת על היחס בין השחורים ללבנים, ולא בין השחורים לכל העיגולים.

למה לא איור ב? באיור ב היחס הפוך: יש פי 3 שחורים מלבנים ($3:1$), ולא פי 3 לבנים משחורים.

למה לא איור ד? באיור ד מספר השחורים שווה למספר הלבנים, כלומר היחס הוא $1:1$.

התשובה הנכונה: $y=-2x+7$.

בפונקציה קווית $y=mx+b$ המספר $m$ (המקדם של $x$) הוא השיפוע.

• אם $m>0$ הפונקציה עולה.

• אם $m<0$ הפונקציה יורדת.

• אם $m=0$ (אין $x$ בכלל) הפונקציה קבועה.

ב-$y=-2x+7$ השיפוע הוא $-2$, מספר שלילי, ולכן הפונקציה יורדת: כש-$x$ גדל ב-1, $y$ קטן ב-2.

למה לא $y=-8$? יש בה מספר שלילי, אבל אין בה $x$. זו פונקציה קבועה: $y$ תמיד שווה ל-$-8$, והגרף שלה ישר מקביל לציר $x$. היא לא עולה ולא יורדת.

למה לא $y=5x-3$? המספר השלילי $-3$ הוא נקודת החיתוך עם ציר $y$, ולא השיפוע. השיפוע הוא $5$, חיובי, ולכן הפונקציה עולה.

למה לא $y=4x$? השיפוע הוא $4$, חיובי, ולכן הפונקציה עולה.

התשובה: 1 נכונה, 2 לא נכונה, 3 נכונה, 4 נכונה.

קוראים מהדיאגרמה: בשנת 2010 – ברגל 42%, באוטובוס 52%, באופניים 6%. בשנת 2024 – ברגל 34%, באוטובוס 54%, באופניים 12%.

טענה 1: בשנת 2024 הגיעו ברגל 34% מהתלמידים, ו-34 קטן מ-35. הטענה נכונה.

טענה 2: בשנת 2010 הגיעו באוטובוס 52% ובאופניים 6%. פי 4 מ-6% הוא $4\cdot6=24\%$, ולא 52%. למעשה $52:6\approx8.7$, כלומר פי 8 בערך. הטענה לא נכונה.

טענה 3: באופניים הגיעו 6% בשנת 2010 ו-12% בשנת 2024. $12=2\cdot6$, ולכן האחוז גדל פי 2. הטענה נכונה.

טענה 4: בשנת 2024 – ברגל 34%, באופניים 12%. היחס $34:12$. מחלקים את שני המספרים ב-2 ומקבלים $17:6$. הטענה נכונה.

(טעות נפוצה בטענה 4: לקחת את המספרים של שנת 2010, $42:6=7:1$.)

הזווית של $70^\circ$ נמצאת ליד הישר $a$: מתחת ל-$a$ ומשמאל ל-$c$.

הזווית שמתאימה לה ליד הישר $b$ נמצאת באותו מקום: מתחת ל-$b$ ומשמאל ל-$c$. זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות, ולכן גם היא $70^\circ$.

הזווית $\alpha$ נמצאת מתחת ל-$b$ ומימין ל-$c$, כלומר היא צמודה לזווית של $70^\circ$ שמצאנו ליד $b$. סכום זוויות צמודות הוא $180^\circ$:

$\alpha=180^\circ-70^\circ=110^\circ$

(בדיקת היגיון: בסרטוט $\alpha$ היא זווית קהה, ולכן היא גדולה מ-$90^\circ$.)

התשובה: $x=\frac{1}{3}$

שלב 1 – פותחים סוגריים (שימו לב לסימן המינוס שלפני ה-3):

$5\cdot2x-5\cdot3-3\cdot x-3\cdot(-4)=x-1$

$10x-15-3x+12=x-1$

שלב 2 – מכנסים איברים דומים באגף שמאל:

$7x-3=x-1$

שלב 3 – מעבירים את $x$ לאגף שמאל ואת המספרים לאגף ימין (מחסרים $x$ ומוסיפים 3 בשני האגפים):

$7x-x=-1+3$

$6x=2$

שלב 4 – מחלקים ב-6:

$x=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

בדיקה: אגף שמאל: $5\left(\frac{2}{3}-3\right)-3\left(\frac{1}{3}-4\right)=5\cdot\left(-\frac{7}{3}\right)-3\cdot\left(-\frac{11}{3}\right)=-\frac{35}{3}+\frac{33}{3}=-\frac{2}{3}$. אגף ימין: $\frac{1}{3}-1=-\frac{2}{3}$ ✓

מה הבודק מחפש: פתיחת סוגריים נכונה (בעיקר $-3\cdot(-4)=+12$), כינוס נכון של איברים דומים, ובידוד נכון של $x$.

התשובה הנכונה: $\frac{n}{n+7}$.

הסתברות = מספר האפשרויות המתאימות חלקי מספר כל האפשרויות.

• האפשרויות המתאימות: הגרביים הלבנות. יש $n$ כאלה.

• כל האפשרויות: כל הגרביים במגירה, $n+7$.

לכן ההסתברות להוציא גרב לבנה היא $\frac{n}{n+7}$.

בדיקה עם מספר: אם יש 3 גרביים לבנות, יש בסך הכול 10 גרביים, וההסתברות היא $\frac{3}{10}$. אכן $\frac{3}{3+7}=\frac{3}{10}$ ✓

למה לא $\frac{n}{7}$? זה היחס בין מספר הגרביים הלבנות למספר הגרביים הכחולות, ולא חלק מכל הגרביים. (למשל, אם $n=10$ היינו מקבלים "הסתברות" גדולה מ-1, וזה בלתי אפשרי.)

למה לא $\frac{7}{n}$? זה היחס ההפוך – כחולות חלקי לבנות.

למה לא $\frac{7}{n+7}$? זו ההסתברות להוציא גרב כחולה, ולא לבנה.

התשובה: 12 ש"ח לכרטיס.

נסמן ב-$x$ את המחיר ששילם הוועד על כל כרטיס (בש"ח).

בשני המקרים הסכום שווה, ולכן:

$24x=18(x+4)$

פותחים סוגריים:

$24x=18x+72$

מחסרים $18x$ משני האגפים:

$6x=72$

$x=12$

בדיקה: $24\cdot12=288$ ש"ח, ו-$18\cdot(12+4)=18\cdot16=288$ ש"ח ✓

מה הבודק מחפש: משוואה נכונה (שני ביטויים לאותו סכום) ופתרון נכון שלה. התשובה 16 (המחיר של כרטיס אחרי ההתייקרות) מתקבלת גם היא.

התשובה: $x=4$

שלב 1 – כופלים את כל איברי המשוואה במכנה המשותף 10 (שני האגפים, כל איבר):

$10\cdot2x-10\cdot\frac{3x}{10}-10\cdot\frac{4}{5}=10\cdot6$

$20x-3x-8=60$

שלב 2 – מכנסים איברים דומים:

$17x-8=60$

שלב 3 – מוסיפים 8 לשני האגפים ומחלקים ב-17:

$17x=68$

$x=4$

בדיקה: $2\cdot4-\frac{3\cdot4}{10}-\frac{4}{5}=8-1.2-0.8=6$ ✓

מה הבודק מחפש: כפל של כל האיברים במכנה המשותף (גם של $2x$ וגם של 6), כינוס נכון ובידוד נכון של $x$.

התשובה הנכונה: השיפוע של הישר גדול מ-0 וקטן מ-1.

• הישר עולה משמאל לימין, ולכן השיפוע שלו חיובי (גדול מ-0).

• הישר חותך את ציר $y$ בנקודה $(0,3)$, ואת ציר $x$ בנקודה שנמצאת משמאל ל-$(-3)$.

אילו הישר היה עובר בנקודה $(-3,0)$, השיפוע שלו היה $\frac{3-0}{0-(-3)}=\frac{3}{3}=1$.

אבל הישר שלנו חותך את ציר $x$ רחוק יותר משמאל, כלומר כדי לעלות 3 יחידות הוא צריך להתקדם יותר מ-3 יחידות ימינה. שיפוע = עלייה חלקי התקדמות, ולכן השיפוע הוא 3 חלקי מספר גדול מ-3, כלומר קטן מ-1.

(במילים אחרות: הישר "מתון" יותר מישר ששיפועו 1.)

למה לא "גדול מ-1"? ישר ששיפועו גדול מ-1 תלול יותר: הוא היה חותך את ציר $x$ בין $-3$ ל-0.

למה לא "שווה ל-1"? אז הישר היה עובר בדיוק בנקודה $(-3,0)$, אבל הוא עובר משמאל לה.

למה לא "קטן מ-0"? ישר עם שיפוע שלילי יורד משמאל לימין, וזה לא המצב כאן.

התשובה: $m^2+4m-14$

שלב 1 – פותחים את הסוגריים הראשונים: $m\cdot m-m\cdot3=m^2-3m$

שלב 2 – פותחים את הסוגריים השניים: $7\cdot m-7\cdot2=7m-14$

שלב 3 – כותבים הכול יחד: $m^2-3m+7m-14$

שלב 4 – מכנסים איברים דומים: $-3m+7m=4m$. אין איבר נוסף עם $m^2$ ואין מספר נוסף.

$m^2+4m-14$

בדיקה עם מספר, למשל $m=2$: בביטוי המקורי $2\cdot(2-3)+7\cdot(2-2)=-2+0=-2$; בתוצאה $4+8-14=-2$ ✓

שימו לב: זה ביטוי, לא משוואה. אין "לפתור" אותו ואין למצוא את $m$. מסיימים כשמגיעים ל-$m^2+4m-14$.

שיפוע 3 אומר: כשמתקדמים יחידה אחת ימינה, הישר עולה 3 יחידות.

דוגמה: מתחילים בנקודה $(0,-1)$.

• יחידה ימינה ו-3 למעלה: $(1,2)$.

• עוד יחידה ימינה ו-3 למעלה: $(2,5)$.

מעבירים ישר דרך הנקודות האלה. זה הישר $y=3x-1$.

אפשר להתחיל מכל נקודה אחרת: כל ישר מהצורה $y=3x+b$ הוא תשובה נכונה (למשל $y=3x$ שעובר בראשית הצירים).

מה הבודק מחפש: רק את השיפוע של הישר, ולא את המקום שלו או את האורך שלו.

התשובה: 1 נכון, 2 לא נכון, 3 אי-אפשר לקבוע, 4 נכון.

היחס $5:2$ אומר שעל כל 5 בנות יש 2 בנים. אפשר לחלק את המשתתפים לקבוצות של 7 ($5+2$): בכל קבוצה 5 בנות ו-2 בנים.

היגד 1: בכל קבוצה של 7 משתתפים יש 2 בנים, ולכן הבנים הם $\frac{2}{7}$ מכל המשתתפים. נכון.

היגד 2: מספר המשתתפים חייב להתחלק ב-7 (7, 14, 21, ...). 15 לא מתחלק ב-7 ($15:7$ אינו מספר שלם), ולכן לא נכון.

היגד 3: ייתכן שיש 5 בנות ו-2 בנים, אבל ייתכן גם שיש 10 בנות ו-4 בנים, או 15 בנות ו-6 בנים – בכל המקרים היחס הוא $5:2$. היחס לא מגלה את המספרים עצמם, ולכן אי-אפשר לקבוע.

היגד 4: $5:2=2.5$, כלומר על כל בן יש 2.5 בנות. מספר הבנות גדול פי 2.5 ממספר הבנים. נכון.

(טעות נפוצה בהיגד 3: לחשוב שהיחס $5:2$ אומר שיש בדיוק 5 בנות ו-2 בנים.)

התשובה: $x=9$

תחום ההצבה: המכנה לא יכול להיות 0, ולכן $x\neq-7$.

שלב 1 – כופלים "בהצלבה" (כופלים את שני האגפים במכנה המשותף $4(x+7)$):

$4\cdot2(x-3)=3(x+7)$

שלב 2 – פותחים סוגריים:

$8x-24=3x+21$

שלב 3 – מעבירים אגפים (מחסרים $3x$ ומוסיפים 24):

$8x-3x=21+24$

$5x=45$

$x=9$

$x=9$ שונה מ-$-7$, ולכן הוא פתרון.

בדיקה: $\frac{2(9-3)}{9+7}=\frac{2\cdot6}{16}=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$ ✓

מה הבודק מחפש: הכפלה נכונה במכנה המשותף של שני הצדדים (גם ב-4 וגם ב-$x+7$) ופתיחת סוגריים נכונה, כינוס ובידוד $x$.