מבחן מיצ"ב במתמטיקה לכיתה ח' (נוסח 2013) - עם פתרונות מלאים

מעבירים את $4x$ לאגף השמאלי (מחסרים $4x$ משני האגפים):

$9x-4x=35$

$5x=35$

מחלקים את שני האגפים ב-5:

$x=35:5=7$

בדיקה: $9\cdot7=63$, ו-$4\cdot7+35=28+35=63$ ✓

התשובה הנכונה: $4:7$.

היחס בין הקולות של יובל לקולות של מאיה הוא $400:700$.

מחלקים את שני המספרים ב-100 (המחלק המשותף הגדול ביותר):

$400:700=4:7$

למה לא $7:11$? $11$ הוא מספר כל הקולות במאות ($400+700=1100$). זה היחס בין הקולות של מאיה לכל הקולות, ולא היחס שנשאל.

למה לא $3:7$? $3$ הוא ההפרש בין הקולות במאות ($700-400=300$). השאלה לא שואלת על ההפרש.

למה לא $4:11$? זה היחס בין הקולות של יובל לכל הקולות ($400:1100$), ולא לקולות של מאיה.

הזווית $ABC$ היא זווית ישרה, כלומר $90^\circ$.

הקרן שיוצאת מ-$B$ מחלקת אותה לשתי זוויות: $\alpha$ והזווית של $32^\circ$.

לכן:

$\alpha+32^\circ=90^\circ$

$\alpha=90^\circ-32^\circ=58^\circ$

התשובה הנכונה: $\frac{7}{32}$.

הסתברות = מספר התוצאות הרצויות חלקי מספר כל התוצאות האפשריות.

• התוצאות הרצויות: 7 תלמידים שמגיעים באופניים.

• כל התוצאות האפשריות: 32 תלמידים בכיתה.

לכן ההסתברות היא $\frac{7}{32}$.

למה לא $\frac{1}{32}$? זו ההסתברות לבחור תלמיד מסוים אחד. אבל יש 7 תלמידים שמגיעים באופניים, וכל אחד מהם מתאים.

למה לא $\frac{7}{25}$? 25 הוא מספר התלמידים שלא מגיעים באופניים ($32-7=25$). במכנה צריך לשים את כל התלמידים, כי בוחרים מתוך כל הכיתה.

למה לא $\frac{1}{25}$? כאן יש שתי טעויות: המונה צריך להיות 7, והמכנה צריך להיות 32.

קוראים כל גרף משמאל לימין (כש-$x$ גדל):

• גרף 1: הקו עולה ככל שמתקדמים ימינה, כלומר $y$ גדל כש-$x$ גדל. הפונקציה עולה. (העובדה שהקו מתחיל מתחת לציר $x$ לא משנה את זה.)

• גרף 2: הקו יורד ככל שמתקדמים ימינה. הפונקציה יורדת.

• גרף 3: הקו מקביל לציר $x$, כלומר $y$ לא משתנה. הפונקציה קבועה.

• גרף 4: הקו עובר בראשית הצירים ויורד ככל שמתקדמים ימינה. הפונקציה יורדת. (מעבר דרך הראשית לא קובע אם פונקציה עולה או יורדת.)

הדמיון כתוב לפי הסדר $ABC\sim DEF$, ולכן:

$A\leftrightarrow D$, $B\leftrightarrow E$, $C\leftrightarrow F$.

לכן הצלע $AC$ מתאימה לצלע $DF$, והצלע $AB$ מתאימה לצלע $DE$.

יחס הדמיון: $\frac{DF}{AC}=\frac{20}{5}=4$

כלומר כל צלע במשולש $DEF$ גדולה פי 4 מהצלע המתאימה במשולש $ABC$.

$DE=4\cdot AB=4\cdot1.5=6$ ס"מ

קוראים מהדיאגרמה: ארנבון א' – 12 קפיצות, ארנבון ב' – 30, ארנבון ג' – 18, ארנבון ד' – 36.

טענה 1 – לא נכונה.

הממוצע = סכום הקפיצות חלקי מספר הארנבונים:

$\frac{12+30+18+36}{4}=\frac{96}{4}=24$

הממוצע הוא 24 ולא 30. (30 הוא מספר הקפיצות של ארנבון ב' בלבד.)

טענה 2 – נכונה.

כל הארנבונים עברו אותו מרחק (180 מטר). מי שעשה הכי מעט קפיצות, עבר הכי הרבה בכל קפיצה.

ארנבון א' עשה הכי מעט קפיצות (12), ולכן כל קפיצה שלו הייתה הארוכה ביותר: $180:12=15$ מטר.

(לשם השוואה: ב' – $180:30=6$ מ', ג' – $180:18=10$ מ', ד' – $180:36=5$ מ'.)

טענה 3 – נכונה.

ארנבון ד' עבר 180 מטר ב-36 קפיצות, ולכן כל קפיצה שלו היא $180:36=5$ מטר.

ב-70 קפיצות הוא יעבור $70\cdot5=350$ מטר.

דרך א (משוואה): נסמן ב-$x$ את אורך הבסיס (בס"מ). אז אורך כל שוק הוא $x+10$.

במשולש שווה-שוקיים יש שתי שוקיים ובסיס אחד, ולכן ההיקף הוא:

$x+2(x+10)=74$

$x+2x+20=74$

$3x+20=74$

$3x=54$

$x=18$

הבסיס הוא 18 ס"מ, ולכן השוק היא $18+10=28$ ס"מ.

דרך ב (חשבון): אם מורידים מכל שוק את 10 הס"מ העודפים, נשארים שלושה קטעים שווים לבסיס:

$\frac{74-2\cdot10}{3}=\frac{54}{3}=18$ ס"מ (אורך הבסיס), ולכן השוק היא $18+10=28$ ס"מ.

דרך ג: נסמן ב-$x$ את אורך השוק. אז הבסיס הוא $x-10$:

$2x+x-10=74$

$3x=84$

$x=28$

בדיקה: $28+28+18=74$ ✓, ו-$28-18=10$ ✓.

תשובה לדוגמה לציון מלא: "$x$ – אורך הבסיס. $x+2(x+10)=74$, $3x+20=74$, $x=18$. אורך השוק הוא $18+10=28$ ס"מ."

הבודק מחפש: משוואה (או חישוב) נכונה, פתרון נכון שלה, והשלמת הצעד האחרון – מעבר מהבסיס לשוק.

המכנה המשותף של 3 ו-9 הוא 9. כופלים כל אגף (כל אחד מהאיברים) ב-9:

$9\cdot\frac{2x+1}{3}+9\cdot2=9\cdot\frac{1-4x}{9}$

$3(2x+1)+18=1-4x$

פותחים סוגריים:

$6x+3+18=1-4x$

$6x+21=1-4x$

מעבירים אגפים:

$6x+4x=1-21$

$10x=-20$

$x=-2$

בדיקה: אגף שמאל: $\frac{2\cdot(-2)+1}{3}+2=\frac{-3}{3}+2=-1+2=1$. אגף ימין: $\frac{1-4\cdot(-2)}{9}=\frac{1+8}{9}=1$ ✓

תשובה לדוגמה לציון מלא: הפתרון שלמעלה, עד $x=-2$.

הבודק מחפש: כפל של כל האיברים במכנה המשותף (כולל המספר 2), פתיחת סוגריים נכונה ובידוד $x$.

דרך השוואת מקדמים (שיטת המקדמים הנגדיים):

כופלים את המשוואה השנייה ב-$(-2)$, כדי שהמקדמים של $y$ יהיו נגדיים:

$5x-2y=13\ /\cdot(-2)$

$-10x+4y=-26$

מחברים את המשוואה הזאת עם המשוואה הראשונה:

$3x-4y=12$

$-10x+4y=-26$

$-7x=-14$

$x=2$

מציבים $x=2$ במשוואה הראשונה:

$3\cdot2-4y=12$

$6-4y=12$

$-4y=6$

$y=-\frac{6}{4}=-1\frac{1}{2}$

בדיקה במשוואה השנייה: $5\cdot2-2\cdot(-1.5)=10+3=13$ ✓

אפשר לפתור גם בשיטת ההצבה: מהמשוואה השנייה $2y=5x-13$, ולכן $y=\frac{5x-13}{2}$. מציבים בראשונה ומקבלים $3x-2(5x-13)=12$, כלומר $-7x+26=12$, $x=2$.

הבודק מחפש: מציאת המשתנה הראשון בדרך נכונה, הצבה נכונה ומציאת המשתנה השני.

נסמן את המספר החסר ב-$k$. המשוואה היא $3x=k+4$, והפתרון שלה הוא:

$x=\frac{k+4}{3}$

רוצים ש-$x<-2$. נמצא קודם את המספר שנותן בדיוק $x=-2$:

$3\cdot(-2)=-6$, ולכן $k+4=-6$, כלומר $k=-10$.

אם $k$ קטן מ-$-10$, אז $k+4$ קטן מ-$-6$, ו-$x$ קטן מ-$-2$.

לכן אפשר להשלים כל מספר הקטן מ-$-10$.

דוגמה: $k=-13$: $3x=-13+4=-9$, ולכן $x=-3$, ו-$-3<-2$ ✓.

שימו לב: $k=-10$ לא מתאים, כי אז $x=-2$ בדיוק, ו-$-2$ אינו קטן מ-$-2$.

דרך א (משוואה):

מספר כדורי הכדורגל: $0.35\cdot240=84$

נסמן ב-$x$ את מספר כדורי הכדורעף. אז מספר כדורי הכדורסל הוא $2x$.

$x+2x+84=240$

$3x=156$

$x=52$

דרך ב (חשבון):

כדורי כדורגל: $0.35\cdot240=84$.

כדורסל וכדורעף יחד: $240-84=156$.

כדורסל הם פי 2 מכדורעף, כלומר יש 3 "חלקים" שווים, ואחד מהם הוא כדורעף: $156:3=52$.

דרך ג: כדורסל וכדורעף יחד הם $65\%$ מהכדורים: $0.65\cdot240=156$. ואז $x+2x=156$, $x=52$.

בדיקה: כדורעף 52, כדורסל $2\cdot52=104$, כדורגל 84. $52+104+84=240$ ✓.

הבודק מחפש: חישוב נכון של $35\%$ מ-240, משוואה (או חלוקה ל-3 חלקים) נכונה, ותשובה למספר כדורי הכדורעף.

שלב 1 – מוצאים את $AC$ (משפט פיתגורס במשולש $ABC$, הזווית $B$ ישרה, $AC$ הוא היתר):

$AB^2+BC^2=AC^2$

$8^2+6^2=AC^2$