מבחן מיצ"ב במתמטיקה לכיתה ח' (נוסח 2018) - עם פתרונות מלאים

התשובה הנכונה: $1:4$.

קוראים את המשקלים: המחוג של השקדים מצביע על 200, כלומר 200 גרם. המחוג של הסוכר מצביע על 800, כלומר 800 גרם.

היחס בין משקל השקדים ובין משקל הסוכר הוא $200:800$.

מצמצמים (מחלקים את שני המספרים ב-200): $200:800=1:4$.

אפשר לבדוק: $800:200=4$, כלומר הסוכר כבד פי 4 מהשקדים.

למה לא $1:8$? זה פי 2 מהיחס הנכון. כך מקבלים אם קוראים את משקל השקדים כ-100 גרם (חצי מהערך האמיתי), למשל אם סופרים כל שנתה קטנה כ-100 גרם.

למה לא $1:3$? כאן השוו את משקל השקדים להפרש בין המשקלים ($800-200=600$), כלומר $200:600$, ולא למשקל הסוכר.

למה לא $1:5$? כאן השוו את משקל השקדים למשקל של שני המצרכים יחד ($200+800=1{,}000$), כלומר $200:1{,}000$, ולא למשקל הסוכר.

התשובה: $x=9$.

מעבירים את $4x$ לאגף השמאלי (מחסרים $4x$ משני האגפים):

$11x-4x=63$

$7x=63$

מחלקים את שני האגפים ב-7:

$x=63:7=9$

בדיקה: אגף שמאל $11\cdot9=99$; אגף ימין $4\cdot9+63=36+63=99$ ✓

מציבים $4$ במקום $x$:

$5\cdot4-23=20-23=-3$

הערך של הביטוי הוא $-3$.

מהגרף: $A(0,9)$ על ציר ה-$y$, ו-$B(-3,0)$ על ציר ה-$x$.

1. אינה נכונה. כשמתקדמים ימינה (ערכי $x$ גדלים), הגרף עולה. לכן הפונקציה עולה ולא יורדת. (השיפוע: מ-$B$ ל-$A$ מתקדמים 3 ימינה ועולים 9, כלומר $m=\frac{9}{3}=3>0$.)

2. אינה נכונה. הגרף חותך את ציר ה-$y$ בנקודה $A$, שבה $x=0$ ו-$y=9$, כלומר בנקודה $(0,9)$. בנקודה $(9,0)$ השיעורים הפוכים: היא נמצאת על ציר ה-$x$, ולא על ציר ה-$y$.

3. נכונה. משוואת הישר היא $y=3x+9$ (שיפוע 3, חותך את ציר ה-$y$ ב-9). מציבים $x=-4$: $y=3\cdot(-4)+9=-12+9=-3$. לכן הנקודה $(-4,-3)$ נמצאת על הגרף. אפשר לראות זאת גם בסרטוט: הישר עובר במשבצת של $x=-4$ ו-$y=-3$.

4. נכונה. $O$ היא ראשית הצירים $(0,0)$, ו-$B$ היא $(-3,0)$. המרחק ביניהן הוא 3 יחידות. (9 יחידות הוא אורך הקטע $OA$.)

התשובה הנכונה: סרטוט 3.

זוויות מתחלפות הן שתי זוויות שנמצאות בין שני הישרים המקבילים, משני הצדדים של הישר החותך.

בסרטוט 3 הזווית $\alpha$ נמצאת מתחת לישר העליון, מימין לחותך, והזווית $\beta$ נמצאת מעל הישר התחתון, משמאל לחותך. שתיהן בין הישרים ומשני צדי החותך, ולכן הן מתחלפות.

(המספרים שליד הסרטוטים קבועים, כי כל מספר שייך לסרטוט שלו.)

למה לא סרטוט 1? שתי הזוויות נמצאות מעל הישר שלהן ומימין לחותך. הן באותו מקום בכל צומת, ולכן הן זוויות מתאימות.

למה לא סרטוט 2? שתי הזוויות נמצאות בין הישרים, אבל שתיהן באותו צד של החותך (משמאל). אלה זוויות חד-צדדיות פנימיות.

למה לא סרטוט 4? שתי הזוויות נמצאות מתחת לישר שלהן ומשמאל לחותך, כלומר באותו מקום בכל צומת. אלה זוויות מתאימות.

פותחים סוגריים (כופלים את 3 בכל אחד מהאיברים שבתוך הסוגריים):

$5x+6x-12=15x-4$

מכנסים איברים דומים באגף שמאל:

$11x-12=15x-4$

מעבירים את $15x$ לאגף שמאל ואת $-12$ לאגף ימין (עם סימן הפוך):

$11x-15x=-4+12$

$-4x=8$

מחלקים את שני האגפים ב-$(-4)$. שימו לב: מספר חיובי חלקי מספר שלילי הוא מספר שלילי:

$x=\frac{8}{-4}=-2$

בדיקה: אגף שמאל $5\cdot(-2)+3(2\cdot(-2)-4)=-10+3\cdot(-8)=-10-24=-34$; אגף ימין $15\cdot(-2)-4=-30-4=-34$ ✓

מחלקים את החץ לשני חלקים: מלבן (ה"גוף" של החץ) ומשולש (ה"ראש" של החץ).

שטח המלבן: הרוחב 4 ס"מ והאורך 9 ס"מ:

$4\cdot9=36$ סמ"ר

שטח המשולש: זה משולש ישר-זווית, והניצבים שלו 8 ס"מ ו-8 ס"מ:

$\frac{8\cdot8}{2}=\frac{64}{2}=32$ סמ"ר

$36+32=68$ סמ"ר

בקיצור: $4\cdot9+\frac{8\cdot8}{2}=36+32=68$

התשובה: שטח פני הירח קטן יותר.

מחשבים את שטח אסיה (במיליוני קמ"ר):

$0.3\cdot149=44.7$

כלומר שטח אסיה הוא כ-44.7 מיליון קמ"ר, ושטח פני הירח הוא כ-38 מיליון קמ"ר.

$38<44.7$, ולכן שטח פני הירח קטן יותר.

דרך אחרת: 10% מ-149 הם בערך 15. לכן 30% הם בערך $3\cdot15=45$ מיליון קמ"ר, וזה יותר מ-38.

דרך אחרת: מחשבים כמה אחוזים מהווה שטח פני הירח משטח כל היבשות: $\frac{38}{149}\cdot100\%\approx25.5\%$. זה פחות מ-30%, ולכן שטח פני הירח קטן משטח אסיה.

למה לא "שטח אסיה"? מי שמחשב 30% מ-38 (ומקבל 11.4) משווה לגודל הלא נכון: האחוז מתייחס לשטח היבשות (149), ולא לשטח הירח.

כדי ששני משולשים יהיו דומים, מספיק ששתי זוויות של משולש אחד יהיו שוות לשתי זוויות של המשולש השני (ואז גם הזווית השלישית שווה). סכום הזוויות במשולש הוא $180^\circ$.

1. דומים. ב-$\triangle ABC$: $\angle B=90^\circ$, $\angle C=35^\circ$, ולכן $\angle A=180^\circ-90^\circ-35^\circ=55^\circ$. ב-$\triangle DEF$: $\angle D=90^\circ$, $\angle E=55^\circ$, ולכן $\angle F=35^\circ$. בשני המשולשים הזוויות הן $90^\circ$, $55^\circ$, $35^\circ$.

2. אינם דומים. ב-$\triangle ABC$: $\angle C=180^\circ-40^\circ-60^\circ=80^\circ$, כלומר הזוויות הן $40^\circ$, $60^\circ$, $80^\circ$. ב-$\triangle DEF$: $\angle F=180^\circ-80^\circ-50^\circ=50^\circ$, כלומר הזוויות הן $80^\circ$, $50^\circ$, $50^\circ$. הזוויות אינן שוות (למשל אין ב-$\triangle DEF$ זווית של $40^\circ$), ולכן המשולשים אינם דומים.

3. אי-אפשר לקבוע. $\triangle ABC$ שווה-צלעות (כל זוויותיו $60^\circ$). ב-$\triangle DEF$ ידועות רק שתי צלעות שוות, $DE=DF=4$, והצלע השלישית לא ידועה. אם $EF=4$, המשולש שווה-צלעות והמשולשים דומים; אחרת הם אינם דומים. לכן אי-אפשר לקבוע לפי הנתונים.

4. דומים. ב-$\triangle ABC$: $\angle C=180^\circ-70^\circ-45^\circ=65^\circ$, כלומר הזוויות הן $70^\circ$, $45^\circ$, $65^\circ$. ב-$\triangle DEF$ נתונות $\angle D=65^\circ$ ו-$\angle F=45^\circ$, ולכן $\angle E=70^\circ$. הזוויות שוות, ולכן המשולשים דומים.

פותחים את הסוגריים הראשונים: $6(x-2)=6x-12$.

פותחים את הסוגריים השניים (שימו לב לסימן המינוס לפני 2): $-2\left(x+\frac{1}{2}\right)=-2x-1$.

$y=6x-12-2x-1$

מכנסים איברים דומים: $6x-2x=4x$ ו-$-12-1=-13$.

$y=4x-13$

לכן $m=4$ ו-$b=-13$.

מהמשבצת 9, בהטלת הקובייה הכלי יכול להגיע לאחת מ-6 המשבצות: 10, 11, 12, 13, 14, 15 (לכל אחת מהן אותה הסתברות).

בודקים מה יש בכל משבצת:

• 10 – מתחיל סולם (עד 20) ✓

• 11 – אין סולם (הסולם רק עובר דרכה)

• 12 – ראש של נחש (יורדים, לא עולים)

• 13 – מתחיל סולם (עד 23) ✓

• 14 – כאן מסתיים סולם (הקצה העליון של הסולם שמתחיל ב-5), ולכן לא עולים בו

• 15 – מתחיל סולם (עד 25) ✓

יש 3 תוצאות מתוך 6 שבהן הכלי עולה בסולם:

$P=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

שלב 1: זוויות הבסיס. במשולש שווה-שוקיים זוויות הבסיס שוות. $AB=AC$, ולכן $\angle ACB=\angle B$.

סכום הזוויות במשולש הוא $180^\circ$:

$\angle ACB=\angle B=\frac{180^\circ-100^\circ}{2}=\frac{80^\circ}{2}=40^\circ$

שלב 2: הזווית $DCB$. הזוויות $DCB$ ו-$ACB$ צמודות (הנקודות $D$, $C$, $A$ על ישר אחד), וסכומן $180^\circ$:

$\angle DCB=180^\circ-40^\circ=140^\circ$

שלב 3: חוצה הזווית. $CE$ חוצה את הזווית $DCB$, ולכן הוא מחלק אותה לשתי זוויות שוות:

$\alpha=\angle DCE=\angle ECB=\frac{140^\circ}{2}=70^\circ$

נסמן ב-$x$ את מספר השולחנות הארוכים.

מספר השולחנות הקטנים גדול ב-7, ולכן הוא $x+7$.

ליד השולחנות הארוכים יושבים $10x$ אורחים, וליד השולחנות הקטנים יושבים $4(x+7)$ אורחים.

בסך הכול 210 אורחים:

$10x+4(x+7)=210$

$10x+4x+28=210$

$14x+28=210$

$14x=182$

$x=13$

יש 13 שולחנות ארוכים (ו-$13+7=20$ שולחנות קטנים).

בדיקה: $10\cdot13+4\cdot20=130+80=210$ ✓

דרך חשבונית: 7 השולחנות הקטנים ה"עודפים" מושיבים $4\cdot7=28$ אורחים. נשארים $210-28=182$ אורחים. אותם מושיבים בזוגות של שולחן ארוך ושולחן קטן, וכל זוג מושיב $10+4=14$ אורחים. מספר הזוגות: $182:14=13$. לכן יש 13 שולחנות ארוכים.

בקיצור: $\frac{210-4\cdot7}{14}=\frac{182}{14}=13$

הסבר: בכל אחד משני המשולשים יש צלע ($QS$ או $RS$) ושתי הזוויות שליד הצלע הזאת ($\angle Q$ ו-$\angle S_1$, או $\angle R$ ו-$\angle S_2$). הצלעות שוות והזוויות שלידן שוות בהתאמה, ולכן המשולשים חופפים לפי ז.צ.ז.

מה הבודק מחפש: שלוש הטענות ($\angle Q=\angle R$, $QS=RS$, $\angle S_1=\angle S_2$), הנימוק של $\angle Q=\angle R$ (זוויות בסיס במשולש שווה-שוקיים) ושם משפט החפיפה (ז.צ.ז).

נפח המכל: נפח קובייה הוא צלע בחזקת 3:

$4^3=4\cdot4\cdot4=64$ מ"ק

נפח המים: 75% מ-64:

$0.75\cdot64=48$ מ"ק

(אפשר גם: $75\%=\frac{3}{4}$, ו-$\frac{3}{4}\cdot64=48$.)

דרך אחרת: גובה המים הוא 75% מ-4 מ', כלומר $0.75\cdot4=3$ מ'. נפח המים הוא נפח של תיבה: $4\cdot4\cdot3=48$ מ"ק.