שאלות פתוחות: נקודות חיתוך של ישר עם הצירים ושל שני ישרים - כיתה י' 5 יח"ל

תרגול בשאלות פתוחות על נקודות חיתוך של ישר עם הצירים ושל שני ישרים לכיתה י' 5 יחידות, ועל השטחים שהם יוצרים. יש מציאת שטח של משולש שנוצר מישר והצירים, מרובע שחוסמים ארבעה ישרים, ישר שחותך ישר אופקי, טרפז ישר זווית עם קודקוד בראשית, ונקודה משתנה על ציר x. רוב השאלות ברמה בינונית, ויש גם קלות וקשות. אפשר לבנות מהן מבחן או דף עבודה, עם פתרון מלא לכל שאלה וייצוא ל-Word.

26 שאלותקלה: 3בינונית: 17קשה: 6

שאלה 1 · צלע של טרפז המקבילה לצלע אחרת שמשוואתה נתונהשאלה קצרה · קלה

המרובע ABCOABCOABCO הוא טרפז ישר זווית (∠C=90∘\angle C=90^\circ∠C=90∘, AB∥OCAB\parallel OCAB∥OC). OOO ראשית הצירים, הקודקוד B(0,6)B(0,6)B(0,6) נמצא על ציר ה-yyy, והקודקוד AAA נמצא על ציר ה-xxx. משוואת הצלע OCOCOC היא y=−xy=-xy=−x (כמתואר באיור).
OABCxy

מצאו את משוואת הצלע ABABAB ואת שיעורי הקודקוד AAA.

שאלה 2 · ישר בשיפוע נתון דרך נקודה עם פרמטר, ושטחי משולשיםשאלת ביניים · בינונית

ישר ששיפועו −1-1−1 חותך את החלק החיובי של ציר ה-xxx בנקודה BBB, ואת החלק החיובי של ציר ה-yyy בנקודה AAA. הנקודה DDD נמצאת על הישר ABABAB ברביע הראשון, והנקודה EEE נמצאת על ציר ה-xxx כך שהקטע DEDEDE מקביל לציר ה-yyy. הנקודה OOO היא ראשית הצירים, כמתואר בסרטוט. נתון: DE=3DE=3DE=3. נסמן את אורך הקטע OEOEOE ב-ppp.
OABDE

א.

הביעו באמצעות ppp את משוואת הישר ABABAB ואת שיעורי הנקודות AAA ו-BBB.

ב.

הראו כי היחס בין שטח המשולש OEDOEDOED ובין שטח המשולש ABOABOABO הוא 3p(p+3)2\frac{3p}{(p+3)^2}(p+3)23p​.

שאלה 3 · משוואת ישר לפי נקודות החיתוך עם הציריםשאלת ביניים · קשה

הישר ABABAB עובר דרך הנקודות A(6,0)A(6,0)A(6,0) ו-B(0,−4)B(0,-4)B(0,−4).

א.

מצאו את משוואת הישר ABABAB בהצגה כללית עם מקדמים שלמים, והראו שאפשר לכתוב אותה גם בצורה x6+y−4=1\frac x6+\frac{y}{-4}=16x​+−4y​=1.

ב.

הכלילו את סעיף א: הישר עובר דרך הנקודות (p,0)(p,0)(p,0) ו-(0,q)(0,q)(0,q), כאשר p≠0p\ne0p=0 ו-q≠0q\ne0q=0. הראו שמשוואת הישר היא xp+yq=1\frac xp+\frac yq=1px​+qy​=1.

ג.

ישר עובר דרך הנקודה P(2,3)P(2,3)P(2,3), ושיעור ה-xxx של נקודת החיתוך שלו עם ציר ה-xxx שווה לשיעור ה-yyy של נקודת החיתוך שלו עם ציר ה-yyy (ושניהם שונים מ-0). היעזרו בסעיף ב, ומצאו את משוואת הישר בהצגה כללית.

שאלה 4 · חיתוך ישר עם ציר ה-x ועם ישר המקביל לציר ה-xשאלה קצרה · קלה

הישר y=2x−6y=2x-6y=2x−6 חותך את ציר ה-xxx בנקודה AAA ואת הישר y=8y=8y=8 בנקודה BBB.

מצאו את שיעורי הנקודות AAA ו-BBB.

שאלה 5 · ישר בהצגה כללית, ישר עם שיפוע נגדי, והמשולש שהם יוצרים עם ציר ה-xשאלת ביניים · בינונית

נתון הישר ℓ: 2x−5y+10=0\ell:\ 2x-5y+10=0ℓ: 2x−5y+10=0.

א.

כתבו את משוואת הישר ℓ\ellℓ בהצגה מפורשת. מהו השיפוע שלו, ומהי נקודת החיתוך BBB שלו עם ציר ה-yyy?

ב.

הישר kkk עובר דרך הנקודה BBB, והשיפוע שלו הוא המספר הנגדי לשיפוע של ℓ\ellℓ. כתבו את משוואת kkk בהצגה מפורשת ובהצגה כללית עם מקדמים שלמים.

ג.

הישר ℓ\ellℓ חותך את ציר ה-xxx בנקודה AAA, והישר kkk חותך את ציר ה-xxx בנקודה CCC. מצאו את שיעורי AAA ו-CCC, חשבו את שטח המשולש ABCABCABC, והראו שהמשולש ABCABCABC שווה שוקיים.

שאלה 6 · ישר אנכי החותך משולש מתוך המשולש שישר יוצר עם הציריםשאלת ביניים · קשה

הישר ℓ: 3x+4y=24\ell:\ 3x+4y=24ℓ: 3x+4y=24 חותך את ציר ה-xxx בנקודה AAA ואת ציר ה-yyy בנקודה BBB. OOO היא ראשית הצירים. הנקודה P(t,0)P(t,0)P(t,0) נמצאת על ציר ה-xxx, כאשר 0<t<80<t<80<t<8. דרך PPP מעבירים ישר המקביל לציר ה-yyy, והוא חותך את ℓ\ellℓ בנקודה QQQ (הסרטוט סכמטי).
ℓ
PQABO

א.

כתבו את משוואת הישר PQPQPQ, והביעו באמצעות ttt את שיעורי הנקודה QQQ.

ב.

מצאו את שיעורי AAA, והראו ששטח המשולש PQAPQAPQA הוא S(t)=38(8−t)2S(t)=\frac38(8-t)^2S(t)=83​(8−t)2.

ג.

מצאו את ttt שעבורו שטח המשולש PQAPQAPQA הוא רבע משטח המשולש AOBAOBAOB. מה אפשר לומר על הנקודה QQQ במקרה זה?

שאלה 7 · שטח טרפז שבסיסיו על ישרים המקבילים לציר ה-yשאלה קצרה · בינונית

הישרים x=−2x=-2x=−2, x=4x=4x=4, y=−1y=-1y=−1 והישר y=12x+3y=\frac12x+3y=21​x+3 חוסמים מרובע, כמתואר בסרטוט.

הסבירו מדוע המרובע הוא טרפז, ומצאו את שטחו.

שאלה 8 · נקודה סימטרית לנקודה נתונה ביחס לישרשאלה קצרה · קשה

נתונים הישר ℓ: y=3x−4\ell:\ y=3x-4ℓ: y=3x−4 והנקודה P(7,−3)P(7,-3)P(7,−3), שאינה נמצאת על הישר ℓ\ellℓ.

הנקודה P′P'P′ סימטרית לנקודה PPP ביחס לישר ℓ\ellℓ, כלומר הישר ℓ\ellℓ הוא האנך האמצעי של הקטע PP′PP'PP′. מצאו את שיעורי הנקודה P′P'P′.

שאלה 9 · ריבוע שצלעותיו מקבילות לצירים וקודקוד על ישר נתוןשאלת ביניים · בינונית

צלעות הריבוע ABCDABCDABCD מקבילות לצירים. הקודקוד A(−1,−2)A(-1,-2)A(−1,−2) הוא הקודקוד השמאלי התחתון, והקודקוד CCC (הנגדי ל-AAA) נמצא על הישר y=−2x+8y=-2x+8y=−2x+8, כמתואר בסרטוט.
ABCD

א.

נסמן את אורך צלע הריבוע ב-sss. הביעו באמצעות sss את שיעורי CCC, והסבירו מדוע CCC נמצאת על הישר y=x−1y=x-1y=x−1.

ב.

מצאו את שיעורי CCC ואת אורך הצלע sss.

ג.

מצאו את שיעורי הקודקודים BBB ו-DDD, וכתבו את משוואות ארבע הצלעות של הריבוע. אילו מארבעת הישרים האלה אינם גרפים של פונקציות?

שאלה 10 · טרפז ישר זווית: שוק מאונכת לבסיסים וקודקודים על הציריםשאלת ביניים · קשה

בסרטוט שלפניכם טרפז ישר זווית ABCDABCDABCD (AB∥DCAB\parallel DCAB∥DC, ∠D=90∘\angle D=90^\circ∠D=90∘). הקודקוד BBB נמצא על ציר ה-yyy, והקודקוד CCC נמצא על החלק השלילי של ציר ה-xxx. הנקודה E(2,5)E(2,5)E(2,5) נמצאת על הבסיס ABABAB. משוואת השוק ADADAD היא: y=−2x+14y=-2x+14y=−2x+14.
ABCDEO

א.

הסבירו מדוע AB⊥ADAB\perp ADAB⊥AD, ומצאו את משוואת הישר ABABAB.

ב.

נתון כי אורך השוק BCBCBC הוא 20\sqrt{20}20​.
מצאו את שיעורי הקודקודים BBB ו-CCC.

ג.

מצאו את משוואת הישר CDCDCD ואת שיעורי הקודקוד DDD.

עוד 6 שאלות על נקודות חיתוך של ישר עם הצירים ושל שני ישרים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

אנך מראשית הצירים לישר וזוויות המשולש שנוצר (שאלת ביניים · בינונית)
הישר $\ell$ : $2x+3y=13$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $C$ . מראשית הצירים $O$ מורידים אנך $OD$ לישר $\ell$ ( $D$ על $\ell$ ).
נקודות החיתוך עם הצירים של ישר התלוי בפרמטר, ושטח המשולש עם הצירים (שאלה קצרה · קשה)
נתון הישר $y=-ax+2a+2$ , כאשר $a$ הוא פרמטר חיובי.
נקודות החיתוך של ישר עם הצירים ונקודת החיתוך של שני ישרים (שאלה קצרה · בינונית)
שני הסעיפים שלפניכם אינם תלויים זה בזה.
משולש בין שני ישרים לבין ישר אופקי: מציאת הישר לפי השטח (שאלת ביניים · קשה)
נתונים הישרים $\ell_1:\ y=2x-2$ ו- $\ell_2:\ y=-x+10$ . הישרים נחתכים בנקודה $A$ . הישר $y=k$ נמצא מתחת לנקודה $A$ . הוא חותך את הישר $\ell_1$ …
מרובע שנוצר משני ישרים ומהצירים (שאלת ביניים · בינונית)
הישר $\ell_1:\ y=-\frac32x+12$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $A$ , והישר $\ell_2:\ y=\frac34x+3$ חותך את ציר ה- $y$ בנקודה $C$ . הישרים $\ell_1$ …
ישר מהמשפחה המאונך לישר נתון ומרחק נקודה מישר (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה משפחת הישרים $\ell_k:\ (k-1)x+2y=k-2$ , כאשר $k$ פרמטר, ונתון הישר $m:\ y=2x+5$ . $O$ היא ראשית הצירים.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (10)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

ישר דרך שתי נקודות וחלוקת משולש עם הצירים לשלושה משולשים (שאלת ביניים · בינונית)
נתונות הנקודות $A(1,10)$ ו- $B(4,4)$ . הישר $AB$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $K$ ואת ציר ה- $y$ בנקודה $L$ . $O$ היא…
בניית מקבילית מישרים מקבילים, וישר מקביל לאלכסון (שאלת ביניים · בינונית)
שתי צלעות של המקבילית $ABCD$ מונחות על הישרים $AB:\ y=2x+3$ ו- $AD:\ y=-x+6$ . הקודקוד $C$ הוא הנקודה $C(7,5)$ .
ישר לפי יחס בין נקודות החיתוך עם הצירים (שאלת ביניים · בינונית)
ישר עובר דרך הנקודה $P(1,4)$ , וחותך את החלק החיובי של ציר ה- $x$ בנקודה $A$ ואת החלק החיובי של ציר ה- $y$ בנקודה…
דלתון שאלכסוניו על הצירים, ומלבן בתוכו (שאלה מלאה · בינונית)
במערכת צירים הנקודות $B$ ו- $D$ נמצאות על ציר ה- $x$ ( $B$ משמאל לראשית $O$ ו- $D$ מימינה), והנקודות $A$ ו- $C$ …
טרפז שנוצר מארבעה ישרים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונים ארבעה ישרים: $\ell_1:\ y=x+2$ , $\ell_2:\ y=x-6$ , $\ell_3:\ y=-x+4$ , $\ell_4:\ x=-3$ . נקודות החיתוך שלהם…
מעוין שצלע שלו על ישר אנכי (שאלת ביניים · בינונית)
$ABCD$ הוא מעוין שאורך צלעו $10$ יחידות. הצלע $BC$ מונחת על הישר $x=3$ , הקודקוד $B$ הוא $(3,6)$ , והקודקוד $C$ …
דלתון שאלכסוניו על ישרים נתונים (שאלת ביניים · בינונית)
$ABCD$ הוא דלתון: $AB=AD$ ו- $CB=CD$ . האלכסון הראשי $AC$ מונח על הישר $x=-2$ , והאלכסון $BD$ מונח על הישר $y=1$ .…
טרפז במערכת צירים: האלכסונים וארבעת המשולשים (שאלת ביניים · בינונית)
במערכת צירים נתון הטרפז $ABCD$ : $A(0,0)$ , $B(6,0)$ , $C(3,6)$ , $D(0,6)$ . הבסיסים הם $AB$ ו- $DC$ . האלכסונים $AC$ …
מקבילית בין שני ישרים מקבילים ושני ישרים אנכיים (שאלת ביניים · קלה)
האזור $ABCD$ תחום בין ארבעה ישרים: $\ell_1:\ y=0.5x+2$ , $\ell_2:\ y=0.5x+6$ , $x=-4$ ו- $x=2$ . הקודקודים: $A$ על…
מלבן נטוי: מפגש האלכסונים והמרחקים ממנו (שאלת ביניים · בינונית)
במערכת צירים נתון המרובע $ABCD$ : $A(0,1)$ , $B(4,3)$ , $C(3,5)$ , $D(-1,3)$ .