שאלות פתוחות: תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון - כיתה י' 5 יח"ל

בעמוד זה שאלות פתוחות על תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון של פונקציה רציונלית לכיתה י' 5 יחידות. התלמידים גוזרים בכלל המנה, בונים טבלת סימנים שמתחשבת באסימפטוטה האנכית, מוצאים מקסימום ומינימום, ומתאימים בין פונקציה לאחד מכמה גרפים. הפונקציות כוללות שברים עם מכנה ריבועי, עם מכנה בריבוע ועם מונה ממעלה שלישית. רוב השאלות ברמה בינונית וקשה. בחרו שאלות למבחן, עם פתרונות מלאים וייצוא ל-Word.

8 שאלותקלה: 1בינונית: 3קשה: 4

שאלה 1 · נקודת הקיצון של $\frac{3 - x}{x ^{2}}$ שאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=3−xx2f(x)=\frac{3-x}{x^2}f(x)=x23−x​.

מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה.

שאלה 2 · תחומי עלייה וירידה משני צדי אסימפטוטה: $\frac{x ^{2} - 3}{x - 2}$ שאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x2−3x−2f(x)=\frac{x^2-3}{x-2}f(x)=x−2x2−3​.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה ואת שיעורי נקודות הקיצון שלה.

שאלה 3 · נגזרת מתאפסת בלי קיצון: $\frac{x ^{3}}{x ^{2} - 3}$ שאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x3x2−3f(x)=\frac{x^3}{x^2-3}f(x)=x2−3x3​.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. מצאו את כל הנקודות על גרף הפונקציה שבהן f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0, וקבעו לגבי כל אחת מהן אם היא נקודת קיצון, ואם כן - מאיזה סוג.

שאלה 4 · נגזרת ונקודות קיצון של $(x + 1) \cdot \frac{x}{x - 2}$ שאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=(x+1)⋅xx−2f(x)=(x+1)\cdot\frac{x}{x-2}f(x)=(x+1)⋅x−2x​.

א.

מצאו את הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x).

ב.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגן.

שאלה 5 · קיצון של $\frac{8 x}{x ^{2} + 4}$ ומספר נקודות החיתוך עם $y = k$ שאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=8xx2+4f(x)=\frac{8x}{x^2+4}f(x)=x2+48x​.

א.

מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגן, ומצאו את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה.

ב.

מצאו את ערכי kkk שעבורם לישר y=ky=ky=k אין אף נקודת חיתוך עם גרף הפונקציה, ואת ערכי kkk שעבורם לישר y=ky=ky=k יש נקודת חיתוך אחת בלבד עם גרף הפונקציה.

שאלה 6 · נגזרת של מנה וזיהוי גרף הנגזרתשאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה: f(x)=x2+3x−1f(x)=\frac{x^2+3}{x-1}f(x)=x−1x2+3​.
לפניכם ארבעה גרפים I-IV:
גרף I
גרף II
גרף III
גרף IV

א.

מצאו את f′(x)f'(x)f′(x), ואת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ב.

אחד מן הגרפים I-IV מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x). קבעו איזה מהם, ונמקו.

שאלה 7 · חקירה והתאמת גרף לפונקציה עם אסימפטוטה כפולהשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=8x(x+2)2f(x)=\frac{8x}{(x+2)^2}f(x)=(x+2)28x​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה, את משוואות האסימפטוטות שלה המקבילות לצירים ואת נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים. קבעו לאן שואפת f(x)f(x)f(x) כאשר xxx מתקרב לאסימפטוטה האנכית משמאל ומימין.

ב.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה ואת נקודת הקיצון שלה, וקבעו את סוגה.

ג.

לפניכם ארבעה גרפים I-IV, ובכל אחד מהם מסומנות האסימפטוטות. אחד מהם הוא הגרף של f(x)f(x)f(x). קבעו איזה מהם, ונמקו לפי התוצאות של סעיפים א-ב.
גרף I
גרף II
גרף III
גרף IV

שאלה 8 · פרמטר חיבורי: אסימפטוטות, קיצון וחיתוך עם ציר ה-xשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=x2x2−4+kf(x)=\frac{x^2}{x^2-4}+kf(x)=x2−4x2​+k, כאשר kkk הוא פרמטר.

א.

מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה (הביעו באמצעות kkk במידת הצורך).

ב.

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה.

ג.

מצאו את כל ערכי kkk שבעבורם לגרף הפונקציה אין נקודות חיתוך עם ציר ה-xxx.

שאלה 1 · נקודת הקיצון של x23−x​שאלה קצרה · קלה

שאלה 2 · תחומי עלייה וירידה משני צדי אסימפטוטה: x−2x2−3​שאלה קצרה · בינונית

שאלה 3 · נגזרת מתאפסת בלי קיצון: x2−3x3​שאלה קצרה · קשה

שאלה 4 · נגזרת ונקודות קיצון של (x+1)⋅x−2x​שאלת ביניים · בינונית

שאלה 5 · קיצון של x2+48x​ ומספר נקודות החיתוך עם y=kשאלת ביניים · קשה