שאלות פתוחות: נקודת אי-רציפות סליקה ("חור") וצמצום הפונקציה - כיתה י' 5 יח"ל

כאן מרוכזות שאלות פתוחות על נקודת אי-רציפות סליקה ("חור") וצמצום פונקציה רציונלית לכיתה י' 5 יחידות. יש צמצום של שבר אחרי פירוק המונה והמכנה, מציאת השיעורים של החור, מכפלה של שתי פונקציות רציונליות, שבר בתוך שבר, ומשפחת פונקציות עם פרמטר שבה צריך לקבוע מתי יש חור ומתי אסימפטוטה. רוב השאלות ברמה קשה. מכאן מרכיבים מבחן או דף עבודה, עם פתרון מלא לכל שאלה וייצוא ל-Word.

7 שאלותקלה: 1בינונית: 2קשה: 4

שאלה 1 · צמצום ומציאת "חור" בגרףשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=2x2−8x+2f(x)=\frac{2x^2-8}{x+2}f(x)=x+22x2−8​.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה, צמצמו את הביטוי, ומצאו את שיעורי נקודת אי-הרציפות הסליקה ("החור") של הגרף.

שאלה 2 · "חורים" בגרף של מכפלת שתי פונקציותשאלה קצרה · בינונית

נתונות הפונקציות f(x)=x2−9x+1f(x)=\dfrac{x^2-9}{x+1}f(x)=x+1x2−9​ ו-g(x)=x+1x−3g(x)=\dfrac{x+1}{x-3}g(x)=x−3x+1​, ומגדירים h(x)=f(x)⋅g(x)h(x)=f(x)\cdot g(x)h(x)=f(x)⋅g(x).

מצאו את תחום ההגדרה של h(x)h(x)h(x), ואת נקודות אי-הרציפות הסליקות של הגרף שלה.

שאלה 3 · מציאת פרמטרים מאסימפטוטה ומ"חור"שאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x2+bx+cx2−5x+6f(x)=\dfrac{x^2+bx+c}{x^2-5x+6}f(x)=x2−5x+6x2+bx+c​, כאשר bbb ו-ccc פרמטרים. ידוע כי הישר x=2x=2x=2 הוא האסימפטוטה האנכית היחידה של גרף הפונקציה, וכי הנקודה (3,5)(3,5)(3,5) היא נקודת אי-רציפות סליקה ("חור") של הגרף.

מצאו את bbb ואת ccc.

שאלה 4 · שבר מורכב: תחום הגדרה, אסימפטוטה ו"חור"שאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=11−1xf(x)=\dfrac{1}{1-\frac{1}{x}}f(x)=1−x1​1​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

ב.

מצאו את האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה, אם יש כאלה. נמקו את תשובתכם לגבי כל אחת מהנקודות שאינן בתחום ההגדרה.

שאלה 5 · משפחת פונקציות עם "חור" ואסימפטוטהשאלת ביניים · קשה

נתונה משפחת הפונקציות f(x)=x2−a2x2−ax−2a2f(x)=\dfrac{x^2-a^2}{x^2-ax-2a^2}f(x)=x2−ax−2a2x2−a2​, כאשר a≠0a\ne0a=0 פרמטר.

א.

הראו כי לכל ערך של aaa יש לגרף הפונקציה נקודת אי-רציפות סליקה אחת ואסימפטוטה אנכית אחת, ומצאו אותן. הביעו באמצעות aaa.

ב.

מצאו את כל ערכי aaa שעבורם המרחק בין נקודת אי-הרציפות הסליקה לבין האסימפטוטה האנכית הוא 666.

שאלה 6 · סקיצה איכותנית של פונקציה עם "חור" על ציר ה-xשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x3−4x2+4xx2−x−2f(x)=\frac{x^3-4x^2+4x}{x^2-x-2}f(x)=x2−x−2x3−4x2+4x​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה, צמצמו את הביטוי שלה, ומצאו את משוואת האסימפטוטה האנכית ואת שיעורי נקודת אי-הרציפות הסליקה ("החור") של הגרף.

ב.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים, ואת תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה.

ג.

קבעו לאן שואפת f(x)f(x)f(x) משני הצדדים של האסימפטוטה האנכית, וכאשר x→∞x\to\inftyx→∞ וכאשר x→−∞x\to-\inftyx→−∞. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.

שאלה 7 · מספר האסימפטוטות האנכיות לפי ערכי הפרמטרשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x+2x2+ax+a+3f(x)=\dfrac{x+2}{x^2+ax+a+3}f(x)=x2+ax+a+3x+2​, כאשר aaa פרמטר.

מצאו את כל ערכי aaa שעבורם לגרף הפונקציה יש בדיוק אסימפטוטה אנכית אחת. לכל ערך כזה רשמו את משוואת האסימפטוטה.