שאלות פתוחות: משוואת המשיק בנקודה שעל גרף פולינום - כיתה י' 5 יח"ל

שאלות פתוחות בנושא משוואת המשיק בנקודה שעל גרף פולינום לכיתה י' 5 יחידות. יש מציאת משיק בנקודה נתונה, משיק שחותך את הגרף בנקודה נוספת, משיק בנקודה משתנה עם פרמטר, משיק שעובר בראשית הצירים ושטח של משולש שהמשיק יוצר עם הצירים. השאלות עוסקות בפרבולות ובפולינומים ממעלה שלישית ברמה קלה, בינונית וקשה. בחרו שאלות למבחן או לבוחן על המשיק, עם פתרונות מלאים וייצוא ל-Word.

7 שאלותקלה: 1בינונית: 3קשה: 3

שאלה 1 · משוואת המשיק לפרבולה בנקודה נתונהשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=x2+1f(x)=x^2+1f(x)=x2+1. בנקודה AAA שעל גרף הפונקציה, שבה x=2x=2x=2, מעבירים משיק לגרף.

מצאו את משוואת המשיק.

שאלה 2 · שטח מקסימלי של משולש בין משיק, ציר ה-y והראשיתשאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x3+x+8f(x)=x^3+x+8f(x)=x3+x+8. הנקודה B נמצאת על גרף הפונקציה ברביע הראשון, ושיעור ה-xxx שלה הוא ttt. מן הנקודה B מעבירים משיק לגרף הפונקציה, והמשיק חותך את ציר ה-yyy בנקודה C. הנקודה O היא ראשית הצירים. בסרטוט מתואר מקרה אחד לדוגמה.
BCO

א.

הביעו באמצעות ttt את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה B.

ב.

ידוע כי הנקודה C נמצאת מעל ציר ה-xxx. מהו תחום הערכים של ttt?

ג.

מצאו את השטח המקסימלי של המשולש OBC.

שאלה 3 · נקודות שבהן שיפוע המשיק שווה לשיעור ה-yשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x3−x2+x+1f(x)=x^3-x^2+x+1f(x)=x3−x2+x+1.

א.

מצאו את שיעורי כל הנקודות על גרף הפונקציה שבהן שיפוע המשיק לגרף שווה לשיעור ה-yyy של הנקודה.

ב.

הראו שבכל אחת מהנקודות שמצאתם בסעיף א, המשיק לגרף חותך את ציר ה-xxx בנקודה ששיעור ה-xxx שלה קטן ב-1 משיעור ה-xxx של נקודת ההשקה.

שאלה 4 · משיקים בנקודות החיתוך עם ציר ה-xשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x3+x2−x−1f(x)=x^3+x^2-x-1f(x)=x3+x2−x−1.

מצאו את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה בכל נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה-xxx.

שאלה 5 · נקודת החיתוך הנוספת של המשיק עם הגרףשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x3+x2−2x+1f(x)=x^3+x^2-2x+1f(x)=x3+x2−2x+1. המשיק לגרף הפונקציה בנקודה AAA, שבה x=1x=1x=1, חותך את הגרף בנקודה נוספת BBB.

מצאו את משוואת המשיק בנקודה AAA ואת שיעורי הנקודה BBB.

שאלה 6 · משוואת משיק, חיתוך עם הצירים ושטח משולששאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x3−4x2+5x+6f(x)=x^3-4x^2+5x+6f(x)=x3−4x2+5x+6. הנקודה AAA נמצאת על גרף הפונקציה, ושיעור ה-xxx שלה הוא 2. OOO היא ראשית הצירים.

א.

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה AAA.

ב.

המשיק חותך את ציר ה-xxx בנקודה BBB ואת ציר ה-yyy בנקודה CCC. מצאו את שיעורי BBB ו-CCC.

ג.

חשבו את שטח המשולש OABOABOAB.

שאלה 7 · משיק בנקודה כללית ומשיק העובר דרך נקודה נתונהשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x3−6xf(x)=x^3-6xf(x)=x3−6x.

א.

הביעו באמצעות ttt את משוואת המשיק לגרף f(x)f(x)f(x) בנקודה שבה x=tx=tx=t.

ב.

מצאו את ttt שבעבורו המשיק עובר דרך הנקודה (0,16)(0,16)(0,16), ואת משוואת המשיק.