שאלות פתוחות: הגרף של cos x - כיתה י' 5 יח"ל

בדף הזה 7 שאלות פתוחות במתמטיקה על הגרף של cos x, לתלמידי כיתה י' 5 יח"ל, מתוך הנושא "הגרפים של הפונקציות הטריגונומטריות". השאלות בכמה רמות (קלה, בינונית, קשה), משאלות קצרות לתרגול מיומנות אחת ועד שאלות עם כמה סעיפים. מורים יכולים לבחור מהן שאלות, לבנות מבחן או דף עבודה, להוסיף פתרונות ולהוריד ל-Word.

7 שאלותקלה: 2בינונית: 3קשה: 2

שאלה 1 · הטווח של cos x ונקודות חיתוך עם ציר ה-xשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=(cos⁡x−2)(cos⁡x+3)f(x)=(\cos x-2)(\cos x+3)f(x)=(cosx−2)(cosx+3), המוגדרת בתחום −π≤x≤π-\pi\le x\le\pi−π≤x≤π.

הראו שלגרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) אין נקודות חיתוך עם ציר ה-xxx.

שאלה 2 · הערך הגדול והקטן של cos x בקטעשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=cos⁡xf(x)=\cos xf(x)=cosx. שני הסעיפים שלפניכם אינם תלויים זה בזה.

א.

מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של f(x)f(x)f(x) בתחום −π3≤x≤2π3-\frac{\pi}{3}\le x\le\frac{2\pi}{3}−3π​≤x≤32π​, ואת ערכי xxx שבהם הם מתקבלים.

ב.

מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של f(x)f(x)f(x) בתחום π2≤x≤7π4\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{7\pi}{4}2π​≤x≤47π​, ואת ערכי xxx שבהם הם מתקבלים.

שאלה 3 · תחום הגדרה ונקודות אפס בעזרת sin x ו-cos xשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=cos⁡(x)sin⁡(x)+kf(x)=\frac{\cos(x)}{\sqrt{\sin(x)+k}}f(x)=sin(x)+k​cos(x)​, כאשר k>1k>1k>1 הוא פרמטר, בתחום: 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π.

הסבירו מדוע f(x)f(x)f(x) מוגדרת בכל התחום 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π, ומצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף f(x)f(x)f(x) עם ציר ה-xxx.

שאלה 4 · cos x: חיתוך עם הצירים וערכים גדול וקטן ביותרשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=cos⁡xf(x)=\cos xf(x)=cosx.

א.

מצאו את נקודת החיתוך של הגרף של f(x)f(x)f(x) עם ציר ה-yyy, ואת נקודות החיתוך שלו עם ציר ה-xxx בתחום 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π.

ב.

מצאו את הנקודות בתחום −π≤x≤π-\pi\le x\le\pi−π≤x≤π שבהן f(x)f(x)f(x) מקבלת את הערך הגדול ביותר שלה, ואת הנקודות שבהן היא מקבלת את הערך הקטן ביותר שלה.

שאלה 5 · תחום הגדרה, זוגיות ונקודות חיתוך של פונקציה עם cos xשאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה: f(x)=cos⁡2x−cos⁡xf(x)=\cos^2x-\sqrt{\cos x}f(x)=cos2x−cosx​, בתחום: −π≤x≤π-\pi\le x\le\pi−π≤x≤π.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ב.

הראו כי הפונקציה f(x)f(x)f(x) היא פונקציה זוגית.

ג.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם הצירים.

שאלה 6 · תחום הגדרה לפי cos x ונקודות חיתוך עם ציר ה-xשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=sin⁡(x)1−2cos⁡(x)f(x)=\frac{\sin(x)}{\sqrt{1-2\cos(x)}}f(x)=1−2cos(x)​sin(x)​. ענו על הסעיפים הבאים עבור התחום: 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ב.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם ציר ה-xxx (אם יש כאלה).

שאלה 7 · ישר אופקי החותך את הגרף של cos x בשתי נקודותשאלה קצרה · בינונית

הישר y=ky=ky=k, כאשר 0<k<10<k<10<k<1, חותך את הגרף של f(x)=cos⁡xf(x)=\cos xf(x)=cosx בתחום 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π בשתי נקודות, AAA ו-BBB. שיעור ה-xxx של AAA קטן משיעור ה-xxx של BBB.

נתון: AB=4π3AB=\frac{4\pi}{3}AB=34π​. מצאו את kkk ואת שיעורי הנקודות AAA ו-BBB.