שאלות פתוחות: הגרף של tan x והמחזור π - כיתה י' 5 יח"ל

בדף הזה 7 שאלות פתוחות במתמטיקה על הגרף של tan x והמחזור π, לתלמידי כיתה י' 5 יח"ל, מתוך הנושא "הגרפים של הפונקציות הטריגונומטריות". השאלות בכמה רמות (קלה, בינונית, קשה), משאלות קצרות לתרגול מיומנות אחת ועד שאלות עם כמה סעיפים. מורים יכולים לבחור מהן שאלות, לבנות מבחן או דף עבודה, להוסיף פתרונות ולהוריד ל-Word.

7 שאלותקלה: 2בינונית: 3קשה: 2

שאלה 1 · אסימפטוטות, אפסים וערכים של tan x לפי המחזורשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=tan⁡xf(x)=\tan xf(x)=tanx.

א.

מצאו את משוואות האסימפטוטות של גרף הפונקציה ואת נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה-xxx בתחום −π≤x≤2π-\pi\le x\le2\pi−π≤x≤2π.

ב.

היעזרו במחזור של tan⁡x\tan xtanx וחשבו בלי מחשבון: tan⁡4π3\tan\frac{4\pi}{3}tan34π​ ו-tan⁡(−3π4)\tan\left(-\frac{3\pi}{4}\right)tan(−43π​).

שאלה 2 · תחומי עלייה ושליליות של tan x בקטעשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=tan⁡xf(x)=\tan xf(x)=tanx בתחום −π≤x≤π-\pi\le x\le\pi−π≤x≤π, x≠±π2x\neq\pm\frac{\pi}{2}x=±2π​.

א.

מצאו את תחומי העלייה של f(x)f(x)f(x) בתחום הנתון.

ב.

מצאו את התחומים שבהם f(x)<0f(x)<0f(x)<0 בתחום הנתון.

שאלה 3 · השוואת ערכי tan בעזרת המחזור והעלייה בענףשאלה קצרה · קשה

נתונים ארבעה מספרים: tan⁡1\tan1tan1, tan⁡2\tan2tan2, tan⁡3\tan3tan3, tan⁡4\tan4tan4 (הזוויות ברדיאנים).

סדרו את ארבעת המספרים מהקטן לגדול בלי לחשב אותם במחשבון. נמקו (אפשר להשתמש ב-π≈3.14\pi\approx3.14π≈3.14).

שאלה 4 · המחזור של tan x ותחום הערכים בענףשאלה קצרה · קלה

לפניכם הגרף של הפונקציה f(x)=tan⁡xf(x)=\tan xf(x)=tanx בתחום −π2<x<3π2-\frac{\pi}{2}<x<\frac{3\pi}{2}−2π​<x<23π​, x≠π2x\ne\frac{\pi}{2}x=2π​. הנקודה A(1, 1.557)A(1,\ 1.557)A(1, 1.557) נמצאת על הגרף (הערכים מעוגלים).
A

א.

היעזרו במחזור של tan⁡x\tan xtanx, ומצאו נקודה נוספת על הגרף בתחום הנתון שיש לה אותו שיעור yyy כמו לנקודה AAA.

ב.

מצאו את תחום הערכים של fff בתחום 0≤x<π20\le x<\frac{\pi}{2}0≤x<2π​.

שאלה 5 · תחום, אסימפטוטות ותחומי סימן של tan x − 2xשאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה k(x)=tan⁡(x)−2xk(x)=\tan(x)-2xk(x)=tan(x)−2x בתחום 0≤x≤3π20\le x\le\frac{3\pi}{2}0≤x≤23π​. ידוע כי בתחום 0<x<3π20<x<\frac{3\pi}{2}0<x<23π​ גרף k(x)k(x)k(x) חותך את ציר ה-xxx בשתי נקודות בלבד, ששיעורי ה-xxx שלהן הם 1.1661.1661.166 ו-4.6044.6044.604 בקירוב.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של k(x)k(x)k(x) ואת משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לציר ה-xxx.

ב.

מצאו את תחומי החיוביות ואת תחומי השליליות של k(x)k(x)k(x).

שאלה 6 · מקבילית שקודקודיה על הגרף של tan xשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=tan⁡xf(x)=\tan xf(x)=tanx. הנקודות AAA, BBB, CCC, DDD נמצאות על הגרף של הפונקציה, ושיעורי ה-xxx שלהן הם xA=π3x_A=\frac{\pi}{3}xA​=3π​, xB=4π3x_B=\frac{4\pi}{3}xB​=34π​, xC=−π3x_C=-\frac{\pi}{3}xC​=−3π​, xD=2π3x_D=\frac{2\pi}{3}xD​=32π​ (ראו סרטוט).
f(x)
ABCD

א.

מצאו את שיעורי ה-yyy של ארבע הנקודות.

ב.

הוכיחו שהמרובע ABDCABDCABDC הוא מקבילית.

ג.

מצאו את שטח המקבילית ואת נקודת החיתוך של האלכסונים שלה.

שאלה 7 · נקודות החיתוך של ישר אופקי עם הגרף של tan xשאלה קצרה · בינונית

הישר y=3y=3y=3 חותך את הגרף של f(x)=tan⁡xf(x)=\tan xf(x)=tanx בתחום 0<x<π20<x<\frac{\pi}{2}0<x<2π​ בנקודה אחת, ששיעור ה-xxx שלה הוא x0x_0x0​.

בכמה נקודות חותך הישר y=3y=3y=3 את הגרף של fff בתחום −π<x<2π-\pi<x<2\pi−π<x<2π? הביעו באמצעות x0x_0x0​ את שיעורי ה-xxx של כל נקודות החיתוך בתחום, ונמקו בלי מחשבון.