מבחן לדוגמה: נגזרת של פונקציה רציונלית - כיתה י"א 4 יח"ל

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה ואת משוואת האסימפטוטה האנכית שלה.

הראו כי $f'(x)=\frac{(x+3)(x-1)}{(x+1)^2}$.

מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגן.

אחד מהגרפים I, II הוא הגרף של $f'(x)$. קבעו איזה, ונמקו.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$.

הוכיחו כי הפונקציה $f(x)$ היא זוגית.

נתון כי גרף הפונקציה $f(x)$ חותך את ציר ה-$x$ בנקודה שבה $x=1$.

מצאו את הערך של $a$.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

נתונה הפונקציה: $g(x)=f(x+5)$.

מצאו את $f'(x)$.

מצאו את שיעורי הנקודות שעל גרף הפונקציה שבהן שיפוע המשיק לגרף הוא $3$.

מצאו את משוואת הישר העובר דרך שתי הנקודות שמצאתם בסעיף ב.

מצאו את $f'(x)$ ואת $g'(x)$.

הראו כי לכל $x\ne0$ מתקיים $f'(x)\cdot g'(x)=\frac{81}{x^4}-1$.

מעבירים משיק לגרף $f(x)$ ומשיק לגרף $g(x)$ בנקודות שיש להן אותו שיעור $x$.

(1) הראו שאין ערך של $x$ שעבורו שני המשיקים מאונכים זה לזה.

(2) מצאו את ערכי $x$ שעבורם מכפלת השיפועים של שני המשיקים היא $80$.

מצאו את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה המקבילים לישר $y=-3x+1$.

הביעו באמצעות $t$ את שטח המשולש. האם השטח תלוי בבחירת נקודת ההשקה? נמקו.

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של $f(x)$ (הביעו באמצעות $a$), וקבעו את סוגה לפי הסימן של $a$.

נתון: השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$, על ידי ציר ה-$x$ ועל ידי הישר $x=1$ הוא 2, והפונקציה $f(x)$ עולה בתחום $0<x<2$.

מצאו את $a$.

בעבור $a$ שמצאתם, קבעו את מספר הפתרונות של המשוואה $f(x)=k$ לכל ערך של $k$.

חשבו את $\int_{-1}^{1}f'(x)\,dx$, ואת השטח המוגבל על ידי גרף $f'(x)$, ציר ה-$x$ והישרים $x=-1$, $x=1$. הסבירו מדוע התוצאות שונות.

מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של הפונקציה בתחום זה.