שאלות פתוחות: קיצון בקצה תחום ההגדרה - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות על קיצון בקצה תחום ההגדרה של פונקציה רציונלית, לכיתה י"א 4 יחידות. בשאלות הפונקציה מוגדרת בקטע סגור או בתחום כמו x≥3, ומוצאים את הערך הגדול והקטן ביותר בהשוואה בין נקודות הקיצון לקצוות הקטע. יש גם בעיה מילולית על עלות ממוצעת של יחידה במפעל, שבה כמות הייצור מוגבלת לקטע. רוב השאלות בינוניות, לצד שאלה קלה ושאלות קשות, ומתאים לבוחן קצר או לדף עבודה, עם פתרונות מלאים וייצוא ל-Word.

7 שאלותקלה: 1בינונית: 4קשה: 2

שאלה 1 · הערך הגדול והקטן ביותר של מנה בקטע סגורשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=xx2+4f(x)=\frac{x}{x^2+4}f(x)=x2+4x​ בתחום −1≤x≤4-1\le x\le4−1≤x≤4.

מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של הפונקציה בתחום זה.

שאלה 2 · קיצון בקצה תחום ההגדרהשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x2−4x+8x−1f(x)=\frac{x^2-4x+8}{x-1}f(x)=x−1x2−4x+8​ בקטע הסגור 2≤x≤52\le x\le52≤x≤5.

מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של הפונקציה בקטע.

שאלה 3 · קיצון בקצה תחום ההגדרהשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=2x−1x2f(x)=\frac{2x-1}{x^2}f(x)=x22x−1​ בקטע הסגור 12≤x≤4\frac{1}{2}\le x\le421​≤x≤4.

מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה בקטע, כולל נקודות הקיצון בקצות הקטע, וקבעו את סוגן.

שאלה 4 · קיצון בקצה תחום ההגדרהשאלה קצרה · בינונית

מפעל מייצר xxx מאות יחידות של מוצר ביום. בגלל מגבלות הייצור מתקיים 2≤x≤82\le x\le82≤x≤8. העלות הממוצעת של יחידה אחת (בשקלים) היא A(x)=x2+50xA(x)=\frac{x}{2}+\frac{50}{x}A(x)=2x​+x50​.

כמה יחידות ביום צריך המפעל לייצר כדי שהעלות הממוצעת ליחידה תהיה הנמוכה ביותר? מהי עלות זו?

שאלה 5 · קיצון בשני קצות קטע ושימוש בושאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=(x−1)2x+2f(x)=\frac{(x-1)^2}{x+2}f(x)=x+2(x−1)2​ בקטע הסגור −1≤x≤5-1\le x\le5−1≤x≤5.

א.

מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה בקטע, כולל נקודות הקיצון בקצות הקטע, וקבעו את סוגן.

ב.

מצאו את כל ערכי xxx בקטע שעבורם f(x)≥f(5)f(x)\ge f(5)f(x)≥f(5).

שאלה 6 · קיצון בקצה תחום ההגדרהשאלה קצרה · בינונית

הפונקציה f(x)=x+ax−2f(x)=\frac{x+a}{x-2}f(x)=x−2x+a​, כאשר a≠−2a\ne-2a=−2 פרמטר, מוגדרת בתחום x≥3x\ge3x≥3.

קבעו, לפי ערכי aaa, אם הנקודה (3,f(3))(3,f(3))(3,f(3)) היא נקודת מינימום או נקודת מקסימום של הפונקציה. נמקו.

שאלה 7 · קיצון בקצה תחום ההגדרהשאלת ביניים · בינונית

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x)=x+9x+1f(x)=x+\frac{9}{x+1}f(x)=x+x+19​ בתחום x≥0x\ge0x≥0, שבו היא מוגדרת.
y=f(x)

א.

מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה, כולל נקודות קיצון בקצה התחום, וקבעו את סוגן.

ב.

מצאו את ערכי kkk שעבורם למשוואה f(x)=kf(x)=kf(x)=k יש בדיוק שני פתרונות בתחום.