שאלות פתוחות: משוואת משיק לגרף פונקציה רציונלית - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות על משוואת משיק לגרף של פונקציה רציונלית, לכיתה י"א 4 יחידות. התלמידים מוצאים משיק בנקודת חיתוך עם הצירים, משיק שעובר דרך נקודה מחוץ לגרף, ומשיק שנתון ומשמש למציאת פרמטר. יש גם שאלות על המשולש שהמשיק יוצר עם הצירים או עם האסימפטוטות, למשל בפונקציה 2/x ברביע הראשון. השאלות ברמה קלה, בינונית וקשה, והמורה יכול לבחור מהן לבוחן או למבחן, וכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא שאפשר לייצא ל-Word.

32 שאלותקלה: 7בינונית: 15קשה: 10

שאלה 1 · משוואת משיק לגרף פונקציה רציונליתשאלה קצרה · קלה

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x)=x−4xf(x)=x-\frac{4}{x}f(x)=x−x4​. בנקודת החיתוך של הגרף עם החלק החיובי של ציר ה-xxx העבירו משיק לגרף.
y=f(x)

א.

מצאו את משוואת המשיק.

ב.

חשבו את שטח המשולש שהמשיק יוצר עם הצירים.

שאלה 2 · משוואת משיק לגרף פונקציה רציונליתשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x+1xf(x)=x+\frac{1}{x}f(x)=x+x1​ בתחום x>0x>0x>0. מהנקודה (0,4)(0,4)(0,4) העבירו משיק לגרף הפונקציה.

מצאו את שיעורי נקודת ההשקה ואת משוואת המשיק.

שאלה 3 · משוואת משיק לגרף פונקציה רציונליתשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x+1x−1f(x)=\frac{x+1}{x-1}f(x)=x−1x+1​. גרף הפונקציה ושתי האסימפטוטות שלה מתוארים בסרטוט שלפניכם. מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=tx=tx=t (t≠1t\ne1t=1). המשיק ושתי האסימפטוטות של הפונקציה יוצרים משולש.
-4-2246-6-4-22468

הביעו באמצעות ttt את שטח המשולש. האם השטח תלוי בבחירת נקודת ההשקה? נמקו.

שאלה 4 · משוואת משיק לגרף פונקציה רציונליתשאלה קצרה · קלה

נתונות הפונקציות f(x)=x2+1f(x)=x^2+1f(x)=x2+1 ו-g(x)=2x−1g(x)=2x-1g(x)=2x−1, ונתונה הפונקציה h(x)=f(x)g(x)h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}h(x)=g(x)f(x)​.

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה h(x)h(x)h(x) בנקודה שבה x=1x=1x=1.

שאלה 5 · משוואת משיק לגרף פונקציה רציונליתשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x2+3x−1f(x)=\frac{x^2+3}{x-1}f(x)=x−1x2+3​. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה.
y=f(x)

מצאו את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה המקבילים לישר y=−3x+1y=-3x+1y=−3x+1.

שאלה 6 · משוואת משיק לגרף פונקציה רציונליתשאלת ביניים · קשה

הנקודה AAA נמצאת על גרף הפונקציה f(x)=2xf(x)=\frac{2}{x}f(x)=x2​ ברביע הראשון, ושיעור ה-xxx שלה הוא aaa. המשיק לגרף בנקודה AAA חותך את ציר ה-xxx בנקודה PPP ואת ציר ה-yyy בנקודה QQQ.

א.

הביעו באמצעות aaa את משוואת המשיק ואת שיעורי הנקודות PPP ו-QQQ.

ב.

נתון: PQ=25PQ=2\sqrt{5}PQ=25​. מצאו את הערכים האפשריים של aaa.

שאלה 7 · חקירת $f (x) = x + \frac{4}{x}$ ומשיקשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=x+4xf(x)=x+\frac{4}{x}f(x)=x+x4​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

ב.

הראו כי f′(x)=x2−4x2f'(x)=\frac{x^2-4}{x^2}f′(x)=x2x2−4​, ומצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגן.

ג.

הסבירו מדוע אין לגרף הפונקציה נקודות חיתוך עם הצירים, וסרטטו סקיצה של הגרף.

ד.

נתונה הפונקציה g(x)=f(x)−4g(x)=f(x)-4g(x)=f(x)−4. מצאו את הנקודה שבה גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x) משיק לציר ה-xxx.

ה.

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) בנקודה שבה x=4x=4x=4, ואת השטח שהוא יוצר עם הצירים.

שאלה 8 · משוואת משיק לגרף פונקציה רציונליתשאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=ax−1x−2f(x)=\frac{ax-1}{x-2}f(x)=x−2ax−1​, כאשר aaa פרמטר. הישר y=−x+5y=-x+5y=−x+5 משיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=3x=3x=3.

א.

מצאו את aaa.

ב.

לגרף הפונקציה יש משיק נוסף המקביל לישר y=−x+5y=-x+5y=−x+5. מצאו את משוואתו.

שאלה 9 · הפונקציה $\frac{1}{f ( x )}$ עם פרמטר: משיקים ושטחשאלה מלאה · קשה

נתונות הפונקציות: f(x)=(x−a)2f(x)=(x-a)^2f(x)=(x−a)2, g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}g(x)=f(x)1​, a>1a>1a>1 הוא פרמטר.

א.

הביעו באמצעות aaa את תחום ההגדרה של g(x)g(x)g(x), את האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים ואת תחומי העלייה והירידה שלה.

ב.

מצאו באמצעות aaa את נקודות המפגש של הגרפים של f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x).

ג.

בנקודת המפגש שבה x>ax>ax>a העבירו משיק לגרף של f(x)f(x)f(x) ומשיק לגרף של g(x)g(x)g(x). הראו כי שני המשיקים וציר ה-xxx יוצרים משולש ששטחו אינו תלוי ב-aaa, ומצאו את שטחו.

ד.

הביעו באמצעות aaa את השטח המוגבל על ידי הגרפים של f(x)f(x)f(x), g(x)g(x)g(x) וציר ה-yyy.

שאלה 10 · משיק ושטח: פירוק לשני שלביםשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=2x2+1f(x)=\frac{2}{x^2}+1f(x)=x22​+1 בתחום x>0x>0x>0.

א.

רשמו את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים.

ב.

הראו כי הפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה.

ג.

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=1x=1x=1.

ד.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, ציר ה-xxx והישרים x=1x=1x=1 ו-x=4x=4x=4.

ה.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, המשיק מסעיף ג', ציר ה-xxx והישר x=4x=4x=4. היעזרו בסעיף ד'.

עוד 14 שאלות על משוואת משיק לגרף פונקציה רציונלית

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

חקירת פונקציה רציונלית, הזזה אנכית ומשיק (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=2x+\frac{18}{x}-3$ .
משיק ושטח עם פרמטר (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{x^2}+3$ בתחום $x>0$ , $a$ הוא פרמטר חיובי. דרך הנקודה שעל גרף הפונקציה שבה $x=2$ העבירו משיק לגרף.
היפרבולה ומשיק: קטע אנכי מינימלי (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\frac{8}{x-2}$ , המוגדרת בתחום $x\neq2$ . הנקודה $A$ היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה- $y$ .
משוואת משיק לגרף פונקציה רציונלית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{6}{x}-x$ .
היפרבולה עם פרמטר: הקטע האנכי הקצר ביותר ומשיקים מקבילים (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{x-4}$ , $x\neq4$ , ו- $a>0$ הוא פרמטר. הנקודה $A$ היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה- $y$ . הנקודה $B$ נמצאת…
חקירה, משיק ושטח של פונקציה רציונלית פשוטה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{1}{(x-1)^2}+2$ .
פונקציה עם אסימפטוטה נתונה, משיק ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{8}{x^2}+b$ בתחום: $x>0$ , $b$ הוא פרמטר. הישר $y=2$ הוא אסימפטוטה של הפונקציה.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מספר פתרונות ומשיקים (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{ax}{(x+4)^2}$ , ו- $a>0$ הוא פרמטר.
משוואת משיק לגרף פונקציה רציונלית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=3-\frac{1}{x^2}$ בתחום $x>0$ . לגרף הפונקציה העבירו משיק ששיפועו $\frac14$ .
משיק מהראשית לגרף רציונלי, שטח והזזה (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{1}{(x+2)^2}$ . מראשית הצירים $O$ העבירו ישר המשיק לגרף $f(x)$ .
היפרבולה, משיק ובעיית קיצון של קטע אנכי (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\frac{a}{x-3}$ המוגדרת בתחום $x\neq3$ . $a$ הוא פרמטר שונה מ-0. הנקודה $A$ היא נקודת החיתוך של גרף…
משיק מהראשית לגרף 1/(x+2)² והשטח שהוא יוצר, כולל הזזה (שאלת ביניים · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{1}{(x+2)^2}$ . מראשית הצירים $O$ העבירו ישר המשיק לגרף $f(x)$ .
שיקוף והזזה של 1/x²: חקירה, משיק ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $g(x)=-\frac{1}{x^2}$ .
פרמטר שבעבורו המשיקים בנקודות החיתוך עם ציר ה-x מקבילים (שאלה קצרה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{(x-1)(x+a)}{x+3}$ , כאשר $a$ פרמטר. לגרף הפונקציה יש שתי נקודות חיתוך שונות עם ציר ה- $x$ , והמשיקים לגרף בשתי…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

חקירת $f (x) = \frac{12}{x} + 3 x$ , הזזה אנכית ומשיק · בגרות 471 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{12}{x}+3x$ .
פונקציה עם אסימפטוטה נתונה, משיק ושטח · בגרות 471 חורף 2021, שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{2}{x^2}+b$ בתחום: $x>0$ , $b$ הוא פרמטר. הישר $y=4$ הוא אסימפטוטה של הפונקציה.
היפרבולה, משיק ובעיית קיצון של קטע אנכי · בגרות 471 קיץ 2025 מועד א', שאלה 8
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\frac{a}{x-4}$ המוגדרת בתחום $x\neq4$ . $a$ הוא פרמטר שונה מ-0. הנקודה $A$ היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר…
הפונקציה 1/x² והזזות שלה: חקירה, משיק ושטח · מבחן לדוגמה 6 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 7
נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{1}{x^2}$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (4)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

פונקציה רציונלית עם פרמטר: משיק ושטח מינימלי של משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\frac{a}{(x-1)^2}+6$ . הפונקציה $f(x)$ מוגדרת בתחום $x\ne1$ . $a$ הוא…
פונקציה רציונלית עם פרמטר: משיק ושטח מינימלי של משולש (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\frac{a}{x+1}+4$ . הפונקציה $f(x)$ מוגדרת בתחום $x\ne-1$ . $a$ הוא פרמטר…
היפרבולה עם פרמטר: משיק ומשולש מינימלי עם הצירים (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\frac ax+2$ , המוגדרת בתחום $x\ne0$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
משיק לפונקציה רציונלית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x+a}{x-1}$ , כאשר $a\ne-1$ הוא פרמטר. הנקודה $C$ נמצאת על גרף הפונקציה, ושיעור ה- $x$ …