שאלות פתוחות: נגזרת של סכום והפרש של פונקציה רציונלית ופולינום - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות על נגזרת של סכום והפרש של פונקציה רציונלית ופולינום, לכיתה י"א 4 יחידות. הפונקציות הן מהסוג x+4/x, 2x+18/x-3 ו-x³+48/x², וגוזרים אותן איבר אחר איבר כדי למצוא קיצון, משיק או תחומי עלייה. יש גם בעיות קיצון: נקודה על הגרף שממנה מורידים אנכים לאסימפטוטות, ומתחם שבנוי ממלבנים וריבוע שאורכו הכולל נתון. הרמות: קלה, בינונית וקשה, ומתאים להרכבת מבחן או דף עבודה, עם פתרונות מלאים וייצוא ל-Word.

33 שאלותקלה: 8בינונית: 18קשה: 7

שאלה 1 · נגזרת של סכום והפרש של פונקציה רציונלית ופולינוםשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=1(2x−1)2+3xf(x)=\frac{1}{(2x-1)^2}+3xf(x)=(2x−1)21​+3x.

א.

מצאו את f′(x)f'(x)f′(x).

ב.

לגרף הפונקציה העבירו משיק המקביל לישר y=−xy=-xy=−x. מצאו את נקודת ההשקה ואת משוואת המשיק.

שאלה 2 · חקירת פונקציה רציונלית, הזזה אנכית ומשיקשאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה: f(x)=2x+18x−3f(x)=2x+\frac{18}{x}-3f(x)=2x+x18​−3.

א.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

(2)

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

(3)

הסבירו מדוע אין לגרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) נקודות חיתוך עם הצירים.

(4)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ב.

נתונה הפונקציה: g(x)=f(x)+cg(x)=f(x)+cg(x)=f(x)+c, ccc הוא פרמטר. נתון שגרף הפונקציה g(x)g(x)g(x) משיק לציר ה-xxx.

מצאו את הערך של ccc (מצאו את שתי האפשרויות). נמקו.

ג.

הציבו: c=−9c=-9c=−9.

(1)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x).

(2)

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה g(x)g(x)g(x) בנקודה שבה x=1x=1x=1.

(3)

חשבו את השטח שיוצר המשיק עם הצירים.

שאלה 3 · מלבן בין היפרבולה לאסימפטוטות: פרמטר ושטח קבועשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=a1−x+2f(x)=\frac{a}{1-x}+2f(x)=1−xa​+2, המוגדרת לכל x≠1x\neq1x=1, כאשר aaa פרמטר חיובי. מנקודה AAA, הנמצאת על גרף הפונקציה ברביע השני, העבירו אנכים לאסימפטוטות של הפונקציה, כך שהאסימפטוטות והאנכים יוצרים מלבן (בסרטוט - דוגמה לגרף כזה).
A

א.

הוכיחו כי שטח המלבן אינו תלוי במיקום הנקודה AAA, והביעו אותו באמצעות aaa.

ב.

מצאו באמצעות aaa את שיעור ה-xxx של הנקודה AAA שבעבורה היקף המלבן מינימלי, ומצאו לאילו ערכים של aaa נקודה זו נמצאת ברביע השני.

ג.

נתון כי ההיקף המינימלי של המלבן הוא 24. מצאו את aaa ואת שיעורי הנקודה AAA.

ד.

נתון כי a=14a=\frac14a=41​. האם יש נקודה AAA ברביע השני שבעבורה היקף המלבן מינימלי? נמקו.

שאלה 4 · חקירת $f (x) = x + \frac{4}{x}$ ומשיקשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=x+4xf(x)=x+\frac{4}{x}f(x)=x+x4​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

ב.

הראו כי f′(x)=x2−4x2f'(x)=\frac{x^2-4}{x^2}f′(x)=x2x2−4​, ומצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגן.

ג.

הסבירו מדוע אין לגרף הפונקציה נקודות חיתוך עם הצירים, וסרטטו סקיצה של הגרף.

ד.

נתונה הפונקציה g(x)=f(x)−4g(x)=f(x)-4g(x)=f(x)−4. מצאו את הנקודה שבה גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x) משיק לציר ה-xxx.

ה.

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) בנקודה שבה x=4x=4x=4, ואת השטח שהוא יוצר עם הצירים.

שאלה 5 · פונקציה רציונלית: חקירה, זיהוי גרף ושטחשאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה: f(x)=x3+48x2f(x)=x^3+\frac{48}{x^2}f(x)=x3+x248​.

א.

מהו תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x)?

ב.

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם ציר ה-xxx. בתשובתכם דייקו 2 ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

ג.

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגה.

ד.

אחד מן הגרפים I-III שלפניכם מתאר את הפונקציה f(x)f(x)f(x). קבעו איזה מהם, ונמקו את קביעתכם.
גרף I
גרף II
גרף III

ה.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x), על ידי הישר x=1x=1x=1, על ידי הישר x=2x=2x=2 ועל ידי ציר ה-xxx.

שאלה 6 · בעיית קיצון עם פרמטר: מהשטח המינימלי לאורךשאלה מלאה · קשה

מתחם מורכב משלושה חלקים: מלבן ABCDABCDABCD, מלבן BEFCBEFCBEFC וריבוע EGHKEGHKEGHK. הנקודות A,B,E,GA, B, E, GA,B,E,G על ישר אחד, כמתואר בסרטוט. אורך הקטע AGAGAG הוא LLL מטרים (LLL פרמטר חיובי). אורך הצלע EGEGEG גדול פי 3 מאורך הצלע ABABAB, ושטח המלבן ABCDABCDABCD הוא 2 מ"ר. נסמן AB=xAB=xAB=x.
ABEGDCFKH

א.

הביעו באמצעות xxx ו-LLL את השטח הכולל של המתחם.

ב.

הביעו באמצעות LLL את הערך של xxx שבעבורו השטח מינימלי, והראו שהשטח המינימלי הוא 27x2−627x^2-627x2−6 עבור xxx זה.

ג.

נתון כי השטח המינימלי של המתחם הוא 21 מ"ר. מצאו את LLL.

ד.

עבור הערך של LLL שמצאתם, כמה ערכים של xxx נותנים שטח כולל של 30 מ"ר? וכמה נותנים 50 מ"ר?

שאלה 7 · פונקציה רציונלית: נגזרת, קיצון, זיהוי גרף ושטחשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=2x+1x2f(x)=2x+\frac{1}{x^2}f(x)=2x+x21​.

א.

מהו תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x)?

ב.

(1)

הראו כי f′(x)=2−2x3f'(x)=2-\frac{2}{x^3}f′(x)=2−x32​.

(2)

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגה.

ג.

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם ציר ה-xxx. דייקו 2 ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

ד.

אחד מן הגרפים I-III שלפניכם מתאר את הפונקציה f(x)f(x)f(x). קבעו איזה מהם, ונמקו.
גרף I
גרף II
גרף III

ה.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x), על ידי הישרים x=1x=1x=1 ו-x=3x=3x=3 ועל ידי ציר ה-xxx.

שאלה 8 · בעיית קיצון: מלבן בין היפרבולה לאסימפטוטותשאלה מלאה · בינונית

לפניכם סרטוט של גרף הפונקציה f(x)=16x+1−3f(x)=\frac{16}{x+1}-3f(x)=x+116​−3, המוגדרת לכל x≠−1x\neq-1x=−1.
A

א.

מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x)f(x)f(x) המאונכות לצירים.

ב.

מנקודה AAA, הנמצאת על גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) ברביע הראשון, העבירו אנכים לאסימפטוטות של הפונקציה f(x)f(x)f(x), כך שהאסימפטוטות והאנכים יוצרים מלבן.

מצאו את שיעורי הנקודה AAA שבעבורה היקף המלבן מינימלי.

ג.

חשבו את שטח המלבן בעבור שיעורי הנקודה AAA שמצאתם בסעיף ב.

שאלה 9 · פונקציה רציונלית עם פרמטר: מלבן בהיקף מינימלי ומספר מלבניםשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=4x−8x−kf(x)=\frac{4x-8}{x-k}f(x)=x−k4x−8​, ו-k>2k>2k>2 הוא פרמטר. AAA היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה-xxx. הנקודה CCC נמצאת על גרף הפונקציה בתחום x>kx>kx>k; BBB היא היטל CCC על ציר ה-xxx, ו-ABCDABCDABCD מלבן שהקודקוד DDD שלו ברביע הראשון. נסמן ב-ttt את שיעור ה-xxx של CCC. בסרטוט מתואר המצב עבור ערך מסוים של kkk.
ABCD

א.

הביעו באמצעות kkk את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים, ומצאו את שיעורי AAA.

ב.

הביעו באמצעות ttt ו-kkk את היקף המלבן, ואת הנגזרת של ההיקף לפי ttt.

ג.

נתון כי היקף המלבן מינימלי כאשר t=10t=10t=10. מצאו את kkk.

ד.

הציבו k=6k=6k=6. לכל ערך של mmm, כמה מלבנים ABCDABCDABCD כאלה יש שהיקפם mmm?

שאלה 10 · בעיית קיצון: היקף מלבן ליד היפרבולהשאלה מלאה · קלה

לפניכם סרטוט של גרף הפונקציה f(x)=41−x+1f(x)=\frac{4}{1-x}+1f(x)=1−x4​+1, המוגדרת לכל x≠1x\neq1x=1. מנקודה AAA, הנמצאת על גרף הפונקציה ברביע השני, העבירו אנכים לאסימפטוטות של הפונקציה, כך שהאסימפטוטות והאנכים יוצרים מלבן.
A

א.

מצאו את משוואות האסימפטוטות של f(x)f(x)f(x) המאונכות לצירים.

ב.

נסמן את שיעור ה-xxx של AAA ב-xxx (x<0x<0x<0). הראו כי היקף המלבן הוא P(x)=2(1−x)+81−xP(x)=2(1-x)+\frac{8}{1-x}P(x)=2(1−x)+1−x8​.

ג.

מצאו את שיעורי הנקודה AAA שבעבורה היקף המלבן מינימלי.

ד.

חשבו את שטח המלבן בעבור הנקודה AAA שמצאתם.

עוד 15 שאלות על נגזרת של סכום והפרש של פונקציה רציונלית ופולינום

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

היפרבולה, משיק ובעיית קיצון של קטע אנכי (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\frac{a}{x-3}$ המוגדרת בתחום $x\neq3$ . $a$ הוא פרמטר שונה מ-0. הנקודה $A$ היא נקודת החיתוך של גרף…
פרמטר מתנאי של משיקים מאונכים (שאלה קצרה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2}{2}+2x+\frac{a}{x}$ , כאשר $a\ne0$ פרמטר. המשיקים לגרף הפונקציה בנקודות שבהן $x=1$ ו- $x=-1$ מאונכים זה לזה.
בעיית קיצון: שטח של חצר משלושה חלקים (שאלה מלאה · קלה)
חצר מורכבת משלושה חלקים: מלבן $ABCD$ , מלבן $BEFC$ וריבוע $EGHK$ . הנקודות $A, B, E, G$ על ישר אחד, כמתואר בסרטוט. אורך הקטע $AG$ הוא 16…
פונקציה רציונלית עם פרמטר, וקיצון של g כש-g'=f-0.5 (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2+4x+a}{x^2}$ , $a\neq0$ הוא פרמטר.
מכפלת שיפועי המשיקים לשני גרפים (שאלת ביניים · קשה)
נתונות הפונקציות $f(x)=\frac{9}{x}+x$ ו- $g(x)=\frac{9}{x}-x$ .
פונקציה רציונלית: היקף מינימלי של מלבן (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\frac{2x-2}{x-3}$ . $A$ היא נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה- $x$ . הנקודה $C(t,f(t))$ נמצאת על הגרף בתחום…
בעיית קיצון: שטח מתחם משלושה חלקים (שאלה מלאה · בינונית)
מתכנן עיר תכנן כיכר. הכיכר מורכבת משלושה חלקים המחוברים זה לזה: רחבת כניסה - המלבן $ABCD$ ; מדרחוב - המלבן $BEFC$ ; גן משחקים - הריבוע $EGHK$ .…
מציאת פרמטר מהמיקום של נקודת המינימום (שאלה קצרה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x+\frac{9}{x+a}$ , כאשר $a$ פרמטר. נקודת המינימום של הפונקציה נמצאת על ציר ה- $x$ .
מלבן בין נקודה על הגרף לאסימפטוטות (שאלה מלאה · קלה)
לפניכם ציור של גרף הפונקציה $f(x)=\frac9x+3$ ברביע הראשון. מנקודה $A(t,f(t))$ שעל הגרף ( $t>0$ ) העבירו אנכים לאסימפטוטות של הפונקציה, כך…
פונקציה רציונלית: מלבן מתחת לגרף והיקף מינימלי (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\frac{3x-3}{x-4}$ .
חיתוך עם ציר ה-x, נקודת קיצון וזיהוי הגרף של סכום פולינום ופונקציה רציונלית (שאלת ביניים · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^3+\frac{48}{x^2}$ , המוגדרת בתחום $x\ne0$ .
נגזרת של סכום של פולינום ושבר (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=2x+\frac{1}{x^2}$ .
מלבן בין נקודה על הגרף לאסימפטוטות: היקף מינימלי (שאלה מלאה · בינונית)
לפניכם ציור של גרף הפונקציה $f(x)=\frac{4}{(x+1)^2}+2$ . מנקודה $A$ , הנמצאת על גרף הפונקציה $f(x)$ ברביע הראשון, העבירו אנכים לאסימפטוטות של…
נגזרת של שבר עם מכנה בריבוע ועוד פולינום (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{1}{(2x-1)^2}+3x$ .
נקודות על הגרף שבהן שיפוע המשיק נתון (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=2x-\frac{4}{x}+1$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

חקירת $f (x) = \frac{12}{x} + 3 x$ , הזזה אנכית ומשיק · בגרות 471 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{12}{x}+3x$ .
פונקציה רציונלית: חקירה, זיהוי גרף ושטח · בגרות 471 קיץ 2023 מועד א', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=x+\frac{4}{x^2}$ .
בעיית קיצון: מלבן בין היפרבולה לאסימפטוטות · בגרות 471 חורף 2024, שאלה 8
לפניכם סרטוט של גרף הפונקציה $f(x)=\frac{9}{1-x}+2$ , המוגדרת לכל $x\neq1$ .
היפרבולה, משיק ובעיית קיצון של קטע אנכי · בגרות 471 קיץ 2025 מועד א', שאלה 8
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\frac{a}{x-4}$ המוגדרת בתחום $x\neq4$ . $a$ הוא פרמטר שונה מ-0. הנקודה $A$ היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר…
פונקציה רציונלית עם פרמטר, וקיצון של g כש-g'=f-11 · בגרות 471 חורף 2025, שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2+x+a}{x}$ , $a\neq0$ הוא פרמטר.
בעיית קיצון: שטח מתחם משלושה חלקים · בגרות 471 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 8
אדריכלית נוף תכננה מתחם ציבורי. המתחם מורכב משלושה חלקים המחוברים זה לזה: מבואה - המלבן $ABCD$ ; שביל גישה - המלבן $BEFC$ ; גן פסלים - הריבוע $EGHK$ . הנקודות…
פונקציה רציונלית: מלבן מתחת לגרף והיקף מינימלי · בגרות 471 חורף 2026, שאלה 8
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\frac{4x-8}{x-6}$ .
מלבן בין נקודה על הגרף לאסימפטוטות: היקף מינימלי · מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 8
לפניכם ציור של גרף הפונקציה $f(x)=\frac{4}{x-1}+3$ ברביע הראשון. מנקודה $A$ , הנמצאת על גרף הפונקציה $f(x)$ ברביע הראשון, העבירו אנכים לאסימפטוטות של הפונקציה…