דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

שאלות פתוחות: מציאת פונקציה לפי נגזרתה ונקודה על הגרף - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות על מציאת פונקציה לפי נגזרתה ונקודה על הגרף, לכיתה י"א 4 יחידות. בשאלות נתונה הנגזרת, למשל 3x²-4x+1, ונתון נוסף כמו נקודה שהגרף עובר בה, ערך המינימום המקומי או משיק שעובר בראשית, ומזה משחזרים את f(x). בכמה שאלות הנגזרת מוצגת כפרבולה בסרטוט, ובאחרות יש בה פרמטר. הרמות: קלה, בינונית וקשה, ואפשר לבחור מהן לבוחן קצר או למבחן, וכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא וייצוא ל-Word.

17 שאלותקלה: 4בינונית: 9קשה: 4

שאלה 1 · מציאת פונקציה לפי נגזרתה ונקודה על הגרףשאלה קצרה · קלה

נתונה הנגזרת של הפונקציה f(x)f(x): f′(x)=3x2−4x+1f'(x)=3x^2-4x+1. גרף הפונקציה f(x)f(x) עובר בנקודה (2,5)(2,5). בשרטוט שלפניכם מתואר גרף הנגזרת y=f′(x)y=f'(x).

-1123-22468

מצאו את f(x)f(x).

שאלה 2 · מציאת פונקציה לפי נגזרתה ונקודה על הגרףשאלה קצרה · בינונית

נתונה הנגזרת של הפונקציה f(x)f(x): f′(x)=3x2−6x−9f'(x)=3x^2-6x-9. ערך המינימום המקומי של f(x)f(x) הוא 22. בשרטוט שלפניכם מתואר גרף הנגזרת y=f′(x)y=f'(x).

-3-2-112345-10-551015
א.

מצאו את f(x)f(x).

ב.

מצאו את ערך המקסימום המקומי של f(x)f(x).

שאלה 3 · פולינום ממעלה רביעית עם פרמטר: מינימומים שווים ומספר פתרונותשאלה מלאה · קשה

הפונקציה f(x)f(x) ופונקציית הנגזרת שלה f′(x)f'(x) מוגדרות לכל xx. בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x).

נתון: f′(x)=12x(x+1)(x−a)f'(x)=12x(x+1)(x-a), a>0a>0 הוא פרמטר, ו-f(0)=0f(0)=0.

-1a
א.

הביעו באמצעות aa את הפונקציה f(x)f(x).

ב.

מה הם סוגי נקודות הקיצון של f(x)f(x)? הביעו באמצעות aa את שיעורי ה-yy של נקודות המינימום.

ג.

בעבור איזה ערך של aa שתי נקודות המינימום של f(x)f(x) נמצאות באותו גובה?

ד.

הציבו a=1a=1.

קבעו, בעבור כל ערך של kk, כמה פתרונות יש למשוואה f(x)=kf(x)=k.

שאלה 4 · מציאת פונקציה לפי נגזרתה ונקודה על הגרףשאלה קצרה · קלה

הנגזרת של הפונקציה f(x)f(x) היא f′(x)=3x2−12x+9f'(x)=3x^2-12x+9. נתון: f(1)=6f(1)=6.

מצאו את שיעורי נקודת המינימום המקומי של f(x)f(x).

שאלה 5 · מציאת פונקציה לפי נגזרתה ונקודה על הגרףשאלה קצרה · בינונית

נתונה הנגזרת של הפונקציה f(x)f(x): f′(x)=1−4x2f'(x)=1-\frac{4}{x^2}, בתחום x>0x>0. המשיק לגרף f(x)f(x) בנקודה שבה x=1x=1 עובר בראשית הצירים. בשרטוט שלפניכם מתואר גרף הנגזרת y=f′(x)y=f'(x).

2468-6-4-2
א.

מצאו את f(x)f(x).

ב.

מצאו את ערך המינימום של f(x)f(x) בתחום x>0x>0.

שאלה 6 · נגזרת עם פרמטר: מספר הקיצונים ומשיק שהוא ציר ה-xשאלה מלאה · קשה

f(x)f(x) היא פונקציה המוגדרת לכל xx, ונגזרתה היא f′(x)=4x3−12x2+kf'(x)=4x^3-12x^2+k, כאשר kk פרמטר.

א.

מצאו את כל ערכי kk שבעבורם לפונקציה f(x)f(x) יש בדיוק נקודת קיצון אחת.

ב.

הציבו k=16k=16. מצאו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x) ואת שיעור ה-xx של נקודת הקיצון שלה.

ג.

עבור k=16k=16, ידוע שציר ה-xx משיק לגרף הפונקציה f(x)f(x). מצאו את כל האפשרויות לפונקציה f(x)f(x).

ד.

לכל אחת מהפונקציות שמצאתם בסעיף ג, מצאו את מספר נקודות החיתוך של הגרף שלה עם ציר ה-xx.

שאלה 7 · מגרף נגזרת ריבועית לפונקציהשאלה מלאה · קלה

f(x)f(x) היא פונקציה שמוגדרת לכל xx. בציור שלפניכם מוצג הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) - פרבולה העוברת דרך הנקודות (−1,0)(-1,0) ו-(3,0)(3,0).

א.
(1)

על פי הגרף מצאו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x).

(2)

מצאו את שיעורי ה-xx של נקודות הקיצון של f(x)f(x) וקבעו את סוגן.

(3)

נתון f′(x)=3x2−6x−9f'(x)=3x^2-6x-9, ושיעור ה-yy של נקודת המקסימום של f(x)f(x) הוא 10. מצאו את f(x)f(x).

ב.

מצאו את שיעורי הנקודות שבהן שיפוע המשיק לגרף f(x)f(x) הוא −9-9.

שאלה 8 · מציאת פונקציה לפי נגזרתה ונקודה על הגרףשאלה קצרה · בינונית

בשרטוט שלפניכם מתואר גרף הנגזרת f′(x)f'(x) של הפונקציה f(x)f(x). גרף הנגזרת הוא פרבולה החותכת את ציר ה-xx בנקודות (0,0)(0,0) ו-(2,0)(2,0) ועוברת בנקודה (1,−3)(1,-3). נתון: f(2)=−1f(2)=-1.

-1123-4-2246(0,0)(2,0)(1,-3)
א.

מצאו את f(x)f(x).

ב.

מצאו את ערך המקסימום המקומי של f(x)f(x).

שאלה 9 · כל הפונקציות שנגזרתן נתונה וציר ה-x משיק לגרף שלהןשאלה קצרה · קשה

f(x)f(x) היא פונקציה המוגדרת לכל xx, ונגזרתה היא f′(x)=4x3−12x2+kf'(x)=4x^3-12x^2+k, כאשר kk פרמטר. עבור k=16k=16 מתקיים f′(x)=4(x−2)2(x+1)f'(x)=4(x-2)^2(x+1).

עבור k=16k=16, ידוע שציר ה-xx משיק לגרף הפונקציה f(x)f(x). מצאו את כל האפשרויות לפונקציה f(x)f(x).

שאלה 10 · מציאת פונקציה לפי נגזרתה ונקודה על הגרףשאלה קצרה · בינונית

נגזרת הפונקציה f(x)f(x) היא f′(x)=2x(x2−1)2f'(x)=2x\left(x^2-1\right)^2, וגרף f(x)f(x) עובר בנקודה (2,1)\left(\sqrt2,1\right).

א.

מצאו את f(x)f(x).

ב.

מצאו את נקודות הקיצון של f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

עוד 5 שאלות על מציאת פונקציה לפי נגזרתה ונקודה על הגרף

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

  1. פונקציה לפי נגזרת עם פרמטר: ערכי המינימום ופרמטר לשני מינימומים באותו גובה (שאלת ביניים · קשה)

    הפונקציה f(x)f(x) ופונקציית הנגזרת שלה f′(x)f'(x) מוגדרות לכל xx. בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x). נתון:…

  2. מגרף הנגזרת לפונקציה: מונוטוניות, קיצון ופונקציה קדומה (שאלה מלאה · בינונית)

    f(x)f(x) היא פונקציה שמוגדרת לכל xx. בציור שלפניכם מוצג הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x). הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) עובר דרך הנקודות:…

  3. מציאת פונקציה לפי נגזרתה ונקודה על הגרף (שאלה קצרה · בינונית)

    נתון f′(x)=3x2−12f'(x)=3x^2-12. שיעור ה-yy של נקודת המקסימום של f(x)f(x) הוא 20.

  4. מציאת פונקציה לפי נגזרתה ומשיק העובר בראשית (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונה הנגזרת של הפונקציה f(x)f(x): f′(x)=1−4x2f'(x)=1-\frac{4}{x^2}, בתחום x>0x>0. המשיק לגרף f(x)f(x) בנקודה שבה x=1x=1 עובר בראשית הצירים. בשרטוט שלפניכם…

  5. מציאת פונקציה לפי נגזרת שהיא מכפלה, ונקודות הקיצון שלה (שאלת ביניים · בינונית)

    נגזרת הפונקציה f(x)f(x) היא f′(x)=2x(x2−1)2f'(x)=2x\left(x^2-1\right)^2, וגרף f(x)f(x) עובר בנקודה (2,1)\left(\sqrt2,1\right).

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (1)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.