שאלות פתוחות: האינטגרל המסוים - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות על האינטגרל המסוים לכיתה י"א 4 יחידות. בשאלות מחשבים אינטגרל מסוים ומוצאים גבול אינטגרציה או קבוע מתוך ערך נתון, למשל כאשר האינטגרל מ-0 עד a שווה ל-6. יש שאלות על תכונות האינטגרל, כמו שתי משוואות עם אינטגרלים של אותה פונקציה, שאלה על פולינום ממעלה שנייה, ושאלות עם גרף של פולינום ממעלה שלישית. רוב השאלות בינוניות וקשות, ויש קלות, והמורה יכול לשלב אותן בבוחן או במבחן, עם פתרונות מלאים וייצוא ל-Word.

33 שאלותקלה: 5בינונית: 18קשה: 10

שאלה 1 · האינטגרל המסויםשאלה קצרה · קלה

נתון: ∫0a(3x2−4x+3)dx=6\int_0^a\left(3x^2-4x+3\right)dx=6∫0a​(3x2−4x+3)dx=6.

מצאו את aaa.

שאלה 2 · האינטגרל המסויםשאלה קצרה · בינונית

נתון: ∫13(a f(x)+x)dx=10\int_1^3\left(a\,f(x)+x\right)dx=10∫13​(af(x)+x)dx=10 וגם ∫13(f(x)−ax)dx=−2\int_1^3\left(f(x)-ax\right)dx=-2∫13​(f(x)−ax)dx=−2, כאשר aaa קבוע.

מצאו את כל הערכים האפשריים של aaa, ולכל אחד מהם את ∫13f(x) dx\int_1^3f(x)\,dx∫13​f(x)dx.

שאלה 3 · האינטגרל המסויםשאלה קצרה · קשה

נתון פולינום p(x)=ax2+bx+cp(x)=ax^2+bx+cp(x)=ax2+bx+c ממעלה שנייה לכל היותר. נתון: p(−1)+4p(0)+p(1)=12p(-1)+4p(0)+p(1)=12p(−1)+4p(0)+p(1)=12.

חשבו את ∫−11p(x) dx\int_{-1}^1p(x)\,dx∫−11​p(x)dx.

שאלה 4 · פולינום: משיק לפי שיפוע ושטח בין הגרף למשיקשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=x3+x+2f(x)=x^3+x+2f(x)=x3+x+2.
A

א.

הראו כי f′(x)>0f'(x)>0f′(x)>0 לכל xxx, והסיקו שלפונקציה אין נקודות קיצון.

ב.

מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודה AAA הנמצאת ברביע הראשון, ששיפועו 4.

(1)

מצאו את שיעורי הנקודה AAA.

(2)

מצאו את משוואת המשיק.

ג.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, המשיק וציר ה-yyy (השטח המסומן בסרטוט).

ד.

נתונה הפונקציה g(x)=1f′(x)g(x)=\frac{1}{f'(x)}g(x)=f′(x)1​.

רשמו את האסימפטוטות של g(x)g(x)g(x), אם יש כאלה. נמקו.

שאלה 5 · האינטגרל המסויםשאלה קצרה · בינונית

נסמן A=∫02f(x) dxA=\int_0^2f(x)\,dxA=∫02​f(x)dx. נתון: ∫02(3f(x)−Ax)dx=4\int_0^2\left(3f(x)-Ax\right)dx=4∫02​(3f(x)−Ax)dx=4.

חשבו את ∫02(f(x)+A)dx\int_0^2\left(f(x)+A\right)dx∫02​(f(x)+A)dx.

שאלה 6 · פולינום: שיפועי משיקים, פרמטר משיק, שטח ו-1/f'שאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=x3−3x2+5x+bf(x)=x^3-3x^2+5x+bf(x)=x3−3x2+5x+b, bbb הוא פרמטר.
A

א.

הוכיחו כי לפונקציה אין נקודות קיצון, ומצאו את השיפוע הקטן ביותר של משיק לגרף הפונקציה.

ב.

לאילו ערכים של mmm יש לגרף הפונקציה בדיוק שני משיקים ששיפועם mmm?

ג.

המשיק לגרף הפונקציה בנקודה AAA שברביע הראשון ששיפועו 5 חותך את ציר ה-xxx בנקודה שבה x=0.6x=0.6x=0.6. מצאו את bbb.

ד.

עבור ה-bbb שמצאתם, חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, המשיק מסעיף ג והצירים (השטח המסומן בסרטוט).

ה.

נתונה הפונקציה g(x)=1f′(x)g(x)=\frac{1}{f'(x)}g(x)=f′(x)1​. מצאו את נקודת הקיצון של g(x)g(x)g(x), קבעו את סוגה, ורשמו את האסימפטוטה האופקית של g(x)g(x)g(x).

שאלה 7 · שתי פרבולות: שטח עם פיצול בנקודת החיתוךשאלה מלאה · קלה

לפניכם הגרפים של הפונקציות: f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2, g(x)=(x−4)2g(x)=(x-4)^2g(x)=(x−4)2.
III14

א.

התאימו בין הגרפים I ו-II ובין הפונקציות f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x). נמקו.

ב.

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של הגרפים.

ג.

הראו כי f(x)−g(x)=8x−16f(x)-g(x)=8x-16f(x)−g(x)=8x−16, וקבעו באיזה חלק של הקטע 1≤x≤41\le x\le41≤x≤4 הגרף של fff מעל הגרף של ggg.

ד.

חשבו את השטח הכלוא בין הגרפים והישרים x=1x=1x=1 ו-x=4x=4x=4 (השטח המסומן בציור).

שאלה 8 · פולינום עם פרמטר: משיק, שטח ופונקציה הפוכהשאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה: f(x)=x3−3x2+4x+bf(x)=x^3-3x^2+4x+bf(x)=x3−3x2+4x+b, bbb הוא פרמטר.
A

א.

הראו כי לפונקציה f(x)f(x)f(x) אין נקודות קיצון.

ב.

מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודה AAA הנמצאת ברביע הראשון (ראו סרטוט).
ידוע כי שיפוע המשיק הוא 4, ושיעור ה-yyy של נקודה AAA שווה ל-6.

(1)

מצאו את שיעור ה-xxx של נקודה AAA.

(2)

מצאו את משוואת המשיק.

(3)

מצאו את bbb.

ג.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x), המשיק והצירים (השטח המסומן בסרטוט).

ד.

נתונה הפונקציה: g(x)=1f′(x)g(x)=\frac{1}{f'(x)}g(x)=f′(x)1​.

(1)

רשמו את האסימפטוטה המקבילה לציר ה-xxx של הפונקציה g(x)g(x)g(x).

(2)

קבעו אם לפונקציה g(x)g(x)g(x) יש אסימפטוטה המאונכת לציר ה-xxx. נמקו.

שאלה 9 · מגרף הנגזרת: ערכים מהשטח ומספר פתרונותשאלה מלאה · קשה

הפונקציה f(x)f(x)f(x) מוגדרת לכל xxx. בציור שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x), שחותך את ציר ה-xxx בנקודות (−3,0)(-3,0)(−3,0), (3,0)(3,0)(3,0) ובראשית הצירים. ידוע כי f(x)f(x)f(x) זוגית, ש-f(0)=−1f(0)=-1f(0)=−1 ושגרף f(x)f(x)f(x) עובר בנקודה (5,−20)(5,-20)(5,−20).
f′(x)
-33

א.

מצאו את שיעורי ה-xxx של נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) וקבעו את סוגן.

ב.

השטח המוגבל על ידי גרף f′(x)f'(x)f′(x) וציר ה-xxx בין x=0x=0x=0 ל-x=3x=3x=3 הוא 12. מצאו את f(3)f(3)f(3) ואת f(−3)f(-3)f(−3).

ג.

מצאו את כל ערכי kkk שעבורם למשוואה f(x)=kf(x)=kf(x)=k יש בדיוק ארבעה פתרונות.

ד.

חשבו את ∫−33f′(x) dx\int_{-3}^{3}f'(x)\,dx∫−33​f′(x)dx, ואת השטח המוגבל על ידי גרף f′(x)f'(x)f′(x) וציר ה-xxx בין x=−3x=-3x=−3 ל-x=3x=3x=3. הסבירו את ההבדל.

שאלה 10 · פולינום, מתיחה אנכית ושטח בין הגרפיםשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=−x3+3x2f(x)=-x^3+3x^2f(x)=−x3+3x2.

א.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם הצירים.

ב.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

ג.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ד.

נתונה הפונקציה g(x)=3f(x)g(x)=3f(x)g(x)=3f(x). רשמו את שיעורי נקודות הקיצון של g(x)g(x)g(x), וקבעו את סוגן.

ה.

הראו שהגרפים של fff ושל ggg נפגשים רק בנקודות שבהן f(x)=0f(x)=0f(x)=0, וחשבו את השטח המוגבל בין שני הגרפים.

עוד 16 שאלות על האינטגרל המסוים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

פולינום ממעלה שלישית: חקירה, שטח והזזה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^3-12x+11$ .
שטח בין שתי פרבולות עד ישר משתנה (שאלה מלאה · קשה)
נתונות הפונקציות $f(x)=(x-3)^2$ ו- $g(x)=(x-1)^2$ .
אינטגרל של הנגזרת ושטח מתחת לגרף f'(x) מתוך ערכי f (שאלה קצרה · קלה)
לפונקציה $f(x)$ נגזרת $f'(x)$ המוגדרת לכל $x$ . ידוע כי $f'(x)<0$ בתחום $1<x<3$ ו- $f'(x)>0$ בתחום $3<x<6$ , וכי $f(1)=4$ , $f(3)=-2$ , $f(6)=7$ .
שתי פרבולות: זיהוי גרפים, שטח ואינטגרל מסוים (שאלה מלאה · בינונית)
לפניכם הגרפים של הפונקציות: $f(x)=(x-2)^2$ , $g(x)=(x+1)^2$ .
מגרף הנגזרת לפונקציה: שני שטחים, מינימומים שונים ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ , ולפונקציה $f(x)$ אין אסימפטוטה אופקית. בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית…
פולינום עם פרמטר, כיווץ אנכי ושטח בין הגרפים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=ax^3+9x^2$ , $a$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית עם פרמטר במונה: מהשטח לפונקציה (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{x^2-4}$ , $a\neq0$ הוא פרמטר.
מגרף הנגזרת לגרף הפונקציה: צורת M, שטח וחיתוך עם ישר אופקי (שאלה מלאה · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . פונקציית הנגזרת מתאפסת…
פונקציה רציונלית עם פרמטר: גרף הנגזרת, שטח ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{(x-2)^2}$ , המוגדרת בתחום $x\ne2$ . $a$ הוא פרמטר חיובי. בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV: גרף I: גרף II: גרף…
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{(x-4)^2}$ , המוגדרת בתחום $x\ne4$ . $a$ הוא פרמטר חיובי. נתון כי בנקודה שבה $x=6$ , שיפוע המשיק לגרף הפונקציה…
אינטגרל מסוים התלוי בפרמטר והערך המינימלי שלו (שאלת ביניים · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=3x^2-2mx+1$ , כאשר $m$ פרמטר. לכל ערך של $m$ מגדירים: $I(m)=\int_{-1}^{2}\left(f(x)-m\cdot f'(x)\right)dx$ .
פולינום עם פרמטר: קיצון, משיק ושטח מורכב (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט מוצגת סקיצה של הפונקציה $f(x)=x^3-6x^2+9x-a$ , $a$ הוא פרמטר.
האם ייתכן סכום שטחים כזה? שטח מול השינוי בערך הפונקציה (שאלה קצרה · קשה)
הפונקציה $f(x)$ גזירה בקטע $[0,4]$ , ונגזרתה $f'(x)$ רציפה בקטע. נתון: $f(0)=2$ , $f(4)=5$ .
אינטגרל מסוים של 1/x² עם גבול משתנה (שאלת ביניים · בינונית)
נתון $a>1$ . מסמנים $I(a)=\int_1^a \frac{1}{x^2}\,dx$ .
ערכי קיצון מתוך שטחים בגרף הנגזרת ומספר נקודות החיתוך עם ציר ה-x (שאלת ביניים · קשה)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ , ולפונקציה $f(x)$ אין אסימפטוטה אופקית. בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית…
פרמטר מנקודת מינימום ושטח המוגבל על ידי משיק ואנך (שאלת ביניים · בינונית)
בסרטוט מוצגת סקיצה של הפונקציה $f(x)=x^3-6x^2+9x-a$ , $a$ הוא פרמטר.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

פולינום עם פרמטר: משיק, שטח ופונקציה הפוכה · בגרות 471 קיץ 2020 מועד א', שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=2x^3-2x^2+x+b$ , $b$ הוא פרמטר.
פולינום ממעלה שלישית: חקירה, שטח והזזה · בגרות 471 קיץ 2021 מועד א', שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^3-3x+2$ .
שתי פרבולות: זיהוי גרפים, שטח ואינטגרל מסוים · בגרות 471 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 7
לפניכם הגרפים של הפונקציות: $f(x)=(2-x)^2$ , $g(x)=(2+x)^2$ .
פולינום עם פרמטר, כיווץ אנכי ושטח בין הגרפים · בגרות 471 קיץ 2021 מועד מיוחד, שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=ax^3+6x^2-9x$ , $a$ הוא פרמטר.
מגרף הנגזרת לגרף הפונקציה: קיצון, שטח וחיתוך עם ישר אופקי · בגרות 471 קיץ 2022 מועד א', שאלה 8
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . פונקציית הנגזרת מתאפסת בנקודות: $x=-2$ ,…
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, גרף הנגזרת ושטח · בגרות 471 חורף 2026, שאלה 6
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{(x-5)^2}$ , המוגדרת בתחום $x\ne5$ . $a$ הוא פרמטר חיובי. נתון כי בנקודה שבה $x=7$ , שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ הוא $-2$ . בסוף…
פולינום עם פרמטר: קיצון, משיק ושטח מורכב · מבחן לדוגמה 3 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 7
בציור מוצגת סקיצה של הפונקציה $f(x)=2x^3-9x^2+12x-a$ , $a$ הוא פרמטר.