מבחן לדוגמה: טריגונומטריה בגאומטריה ובגופים - כיתה י"א 5 יח"ל

הוכיחו כי $ME=CM$ וכי המרובע $ACDE$ בר חסימה במעגל.

הביעו את היחס $\frac{CD}{DB}$ בעזרת $\beta$.

מצאו את $\beta$ שעבורה ניתן לחסום מעגל במרובע $CMED$.

עבור $\beta$ שמצאתם, הוכיחו כי $CMED$ מעוין. נתון $AC=6$; מצאו את רדיוס המעגל החסום במרובע $CMED$.

הראו כי $AM\perp BC$, וחשבו את הזווית $\angle AMA'$.

חשבו את שטח המשולש $ABC$.

חשבו את הזווית $\angle BAC$.

הביעו את נפח הגליל באמצעות $R$ ו-$\alpha$.

מצאו את הזווית $\alpha$ שעבורה נפח הגליל הגדול ביותר, והביעו באמצעות $R$ את הנפח הגדול ביותר.

(הדרכה: הביעו את $\cos^2\alpha$ באמצעות $\sin\alpha$, והציבו $t=\sin\alpha$.)

מצאו את הזווית שבין הקו היוצר של החרוט לבין מישור הבסיס.

נתון כי רדיוס בסיס החרוט הוא $3$ ס"מ. חשבו את נפח החרוט.

מצאו את הזווית שבין הקו היוצר של החרוט לבין מישור הבסיס.

הביעו באמצעות $n$ את היחס בין שטח המצולע החסום לבין שטח המצולע החוסם.

נתון כי היחס בין שטח המצולע החסום לשטח המצולע החוסם הוא $\frac34$. מצאו את $n$.

הוכיחו כי: $AM^2=OA\cdot AQ$.

נתון: $BC=12$, ורדיוס המעגל שמרכזו $Q$ הוא 4.

חשבו את רדיוס המעגל שמרכזו הוא בנקודה $O$.

חשבו את יחס השטחים: $\frac{S_{\Delta OBM}}{S_{\Delta AMC}}$.

הביעו את $BC$ באמצעות $R$ ו-$r$.

הביעו את היחס $\frac{AB}{AC}$ באמצעות $R$ ו-$r$.

נתון: $\sphericalangle ABC=30^\circ$, $BC=8$.

מצאו את $R$ ואת $r$.

הוכיחו כי לכל שני מעגלים בתצורה הזו (עם $R>r$) מתקיים $\sphericalangle ABC<45^\circ$.