שאלות פתוחות: הוכחת טענות ומשפטים בגאומטריה בעזרת טריגונומטריה - כיתה י"א 5 יח"ל

שאלות על הוכחת טענות ומשפטים בגאומטריה בעזרת טריגונומטריה, לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות מוכיחים נוסחאות לשטח משולש, מבטאים את אורך התיכון AD בעזרת משפט הקוסינוסים, מסיקים את סוג המשולש מתוך קשר בין הזוויות שלו, ופותרים בעיות על נקודה שנעה על בסיס של משולש שווה-שוקיים. השאלות בינוניות וקשות ברובן, ויש גם קלות. אפשר להשתמש בהן במבחן או בדף עבודה בטריגונומטריה, עם פתרון מלא לכל שאלה וייצוא ל-Word.

23 שאלותקלה: 5בינונית: 9קשה: 9

שאלה 1 · הוכחת טענות ומשפטים בגאומטריה בעזרת טריגונומטריהשאלה קצרה · קלה

במשולש ABCABCABC מסמנים ב-a,b,ca,b,ca,b,c את הצלעות שמול הזוויות α,β,γ\alpha,\beta,\gammaα,β,γ בהתאמה, וב-SSS את שטח המשולש. נתון: 4S=b2+c2−a24S=b^2+c^2-a^24S=b2+c2−a2.

מצאו את α\alphaα.

שאלה 2 · הוכחת טענות ומשפטים בגאומטריה בעזרת טריגונומטריהשאלה קצרה · בינונית

במשולש ABCABCABC הנקודה DDD היא אמצע הצלע BCBCBC. נסמן: BD=DC=aBD=DC=aBD=DC=a, AD=mAD=mAD=m, ∠ADB=θ\angle ADB=\theta∠ADB=θ (ראו סרטוט).
θaamBCDA

א.

הביעו את AC2−AB2AC^2-AB^2AC2−AB2 באמצעות aaa, mmm ו-θ\thetaθ.

ב.

נתון: AB=5AB=5AB=5, AC=7AC=7AC=7, BC=8BC=8BC=8. חשבו את אורך הקטע ADADAD ואת הזווית θ\thetaθ.

שאלה 3 · הוכחת טענות ומשפטים בגאומטריה בעזרת טריגונומטריהשאלה קצרה · קשה

במשולש ABCABCABC מסמנים ב-a,b,ca,b,ca,b,c את הצלעות שמול הזוויות α,β,γ\alpha,\beta,\gammaα,β,γ בהתאמה. נתון: tan⁡α=2tan⁡β\tan\alpha=2\tan\betatanα=2tanβ.

הביעו את c2c^2c2 באמצעות aaa ו-bbb.

שאלה 4 · הוכחה שסכום שני מרחקים אינו תלוי במיקום הנקודהשאלה קצרה · קלה

במשולש שווה-שוקיים ABCABCABC (AB=ACAB=ACAB=AC) אורך הבסיס הוא BC=12BC=12BC=12. נסמן ∠ABC=α\angle ABC=\alpha∠ABC=α. הנקודה EEE נעה על הבסיס BCBCBC (שונה מ-BBB ומ-CCC), ונסמן BE=xBE=xBE=x. DDD ו-MMM הן עקבי האנכים מ-EEE לישרים ACACAC ו-ABABAB בהתאמה.
ABCEDM

הוכיחו כי הסכום ME+DEME+DEME+DE אינו תלוי ב-xxx, והביעו אותו באמצעות α\alphaα.

שאלה 5 · הוכחת טענות ומשפטים בגאומטריה בעזרת טריגונומטריהשאלה קצרה · בינונית

במשולש ABCABCABC מסמנים ב-a,b,ca,b,ca,b,c את הצלעות שמול הזוויות α,β,γ\alpha,\beta,\gammaα,β,γ בהתאמה. נתון: sin⁡2β+sin⁡2γ−sin⁡2α=sin⁡βsin⁡γ\sin^2\beta+\sin^2\gamma-\sin^2\alpha=\sin\beta\sin\gammasin2β+sin2γ−sin2α=sinβsinγ.

א.

מצאו את α\alphaα.

ב.

נתון גם: b=2cb=2cb=2c. מצאו את β\betaβ.

שאלה 6 · משולש ישר זווית עם זווית פרמטרית: מתי אפשר לחסום מעגל במרובע $CME D$ שאלה מלאה · קשה

משולש ABCABCABC הוא ישר זווית: ∢C=90∘\sphericalangle C=90^\circ∢C=90∘. הנקודה EEE היא אמצע הצלע ABABAB.
הנקודה DDD נמצאת על הצלע BCBCBC כך ש-AD=DBAD=DBAD=DB, והנקודה MMM היא אמצע הקטע ADADAD.
נסמן ∢ABC=β\sphericalangle ABC=\beta∢ABC=β.
CBDAEM

א.

הוכיחו כי ME=CMME=CMME=CM וכי המרובע ACDEACDEACDE בר חסימה במעגל.

ב.

הביעו את היחס CDDB\frac{CD}{DB}DBCD​ בעזרת β\betaβ.

ג.

מצאו את β\betaβ שעבורה ניתן לחסום מעגל במרובע CMEDCMEDCMED.

ד.

עבור β\betaβ שמצאתם, הוכיחו כי CMEDCMEDCMED מעוין. נתון AC=6AC=6AC=6; מצאו את רדיוס המעגל החסום במרובע CMEDCMEDCMED.

שאלה 7 · זוויות שוות בשני משולשים דומים בעלי קודקוד משותףשאלה קצרה · קלה

במשולש ABCABCABC נתון: AB=5AB=5AB=5, BC=7BC=7BC=7, AC=8AC=8AC=8. במשולש ADEADEADE נתון: AD=7.5AD=7.5AD=7.5, DE=10.5DE=10.5DE=10.5, AE=12AE=12AE=12. לשני המשולשים קודקוד משותף AAA. הנקודה DDD נמצאת בתוך הזווית BACBACBAC, והנקודה CCC נמצאת בתוך הזווית DAEDAEDAE, כמתואר בסרטוט.
ABCDE

הוכיחו כי ∠BAD=∠CAE\angle BAD=\angle CAE∠BAD=∠CAE.

שאלה 8 · הוכחת שוויון רדיוסים של מעגלים חוסמיםשאלה קצרה · בינונית

בציור שלפניכם מתואר משולש שווה-שוקיים ABCABCABC, AB=ACAB=ACAB=AC, שחסום במעגל שרדיוסו RRR. האריכו את הבסיס BCBCBC עד לנקודה DDD, כך ש-AD⊥ABAD\perp ABAD⊥AB. נתון: ∠BAC=2α\angle BAC=2\alpha∠BAC=2α.
2αABCD

הוכיחו כי רדיוס המעגל החוסם את משולש ABDABDABD שווה לרדיוס המעגל החוסם את משולש ACDACDACD.

שאלה 9 · הוכחת קשר בין זוויות במעגל עם משיק וחותךשאלת ביניים · קשה

נתון מעגל שמרכזו בנקודה O ורדיוסו RRR. מנקודה A, שמחוץ למעגל, העבירו ישר שמשיק למעגל בנקודה D וישר אחר, שחותך את המעגל בשתי נקודות: C (הקרובה ל-A) ו-B, כמתואר בסרטוט. נסמן: ∠OAD=α\angle OAD=\alpha∠OAD=α, ∠AOB=β\angle AOB=\beta∠AOB=β. ניתן להראות כי AO=Rsin⁡αAO=\frac{R}{\sin\alpha}AO=sinαR​.
OABCD

א.

הביעו באמצעות α\alphaα, β\betaβ ו-RRR, אם יש צורך, את:

אורך הקטע AB.

ב.

נתון: AB=2⋅ADAB=\sqrt2\cdot ADAB=2​⋅AD.

הוכיחו כי: cos⁡β=3sin⁡2α−12sin⁡α\cos\beta=\frac{3\sin^2\alpha-1}{2\sin\alpha}cosβ=2sinα3sin2α−1​.

ג.

משולש ADO חסום במעגל אחר, שרדיוסו rrr. נתון: Rr=43\frac{R}{r}=\frac43rR​=34​.

מצאו את גודלי הזוויות α\alphaα ו-β\betaβ.

שאלה 10 · זוויות שוות במקבילית בעזרת דמיון צ.ז.צשאלה קצרה · קלה

ABCDABCDABCD היא מקבילית שבה AB=6AB=6AB=6, AD=4AD=4AD=4. הנקודה EEE נמצאת על הצלע ABABAB כך ש-AE=2AE=2AE=2, והנקודה FFF נמצאת על הצלע CBCBCB כך ש-CF=3CF=3CF=3. מחברים את DDD עם EEE ועם FFF.
ABCDEF

א.

הוכיחו כי ∠ADE=∠CDF\angle ADE=\angle CDF∠ADE=∠CDF.

ב.

נתון גם: cos⁡∠DAB=14\cos\angle DAB=\frac14cos∠DAB=41​.

חשבו את אורכי הקטעים DEDEDE ו-DFDFDF.

עוד 13 שאלות על הוכחת טענות ומשפטים בגאומטריה בעזרת טריגונומטריה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

הוכחת נוסחה לאורך קטע במשולש חסום (שאלת ביניים · בינונית)
משולש BCD חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו $R$ . הנקודות O ו-E נמצאות על הצלע BD, כך שמתקיים $OE=ED$ (ראו סרטוט). נסמן $\angle CDB=\alpha$ ,…
הוכחה שנקודה נמצאת על המשך צלע המשולש (שאלה קצרה · קשה)
במשולש $ABC$ נתון: $AB=6$ , $BC=3$ , $AC=5$ . הנקודה $D$ נמצאת באותו צד של הישר $AB$ כמו הנקודה $C$ , ומתקיים: $BD=12$ , $AD=10$ .
זוויות שוות בשני משולשים שצלעותיהם פרופורציוניות (שאלה קצרה · קלה)
נתונים המשולשים $ABC$ ו- $DEF$ : $AB=5$ , $BC=6$ , $AC=9$ , $DE=7.5$ , $EF=9$ , $DF=13.5$ .
מרובע שאלכסונו יוצר שני משולשים דומים (שאלה קצרה · בינונית)
במרובע $ABCD$ האלכסון $BD$ מחלק את המרובע לשני משולשים. נתון: $AB=8$ , $AD=10$ , $BD=12$ , $BC=15$ , $DC=18$ .
ישר מקודקוד המלבן לאמצע הצלע מאונך לאלכסון (שאלה קצרה · קשה)
במלבן $ABCD$ נתון: $AB=8$ , $AD=4\sqrt2$ . הנקודה $M$ היא אמצע הצלע $AB$ , והקטע $DM$ חותך את האלכסון $AC$ בנקודה $P$ . האלכסונים $AC$ ו- $BD$ …
שני משולשים ישרי-זווית על יתר משותף (שאלה קצרה · בינונית)
המשולשים $ABC$ ו- $BAD$ ישרי-זווית: $\angle ACB=\angle ADB=90^\circ$ . הנקודות $C$ ו- $D$ נמצאות באותו צד של הישר $AB$ , ונתון: $AC=BD$ . הקטעים…
שני משולשים דומים על ישר אחד (שאלת ביניים · קשה)
הנקודות $B$ , $C$ ו- $D$ נמצאות על ישר אחד, והנקודה $C$ נמצאת בין $B$ ל- $D$ . הנקודות $A$ ו- $E$ נמצאות באותו צד של הישר $BD$ . נתון: $AB=9$ ,…
אלכסונים שמחלקים זווית של מחומש לשלושה חלקים שווים (שאלה קצרה · בינונית)
במחומש $ABCDE$ נתון: $AB=3$ , $BC=4$ , $CD=8$ , $DE=16$ , $EA=24$ , ואורכי האלכסונים הם $AC=6$ ו- $AD=12$ .
זווית כפולה במשולש בעזרת משולשים דומים (שאלת ביניים · קשה)
במשולש $ABC$ נתון: $BC=6$ , $CA=4$ , $AB=5$ . מאריכים את הצלע $CA$ מעבר לנקודה $A$ עד לנקודה $D$ , כך ש- $AD=AB$ , ומחברים את $B$ עם $D$ .
אלכסון שחוצה זווית במרובע וחישוב האלכסון השני (שאלת ביניים · בינונית)
במרובע $ABCD$ נתון: $AB=4$ , $BC=6$ , $CD=12$ , $DA=16$ , ואורך האלכסון $AC$ הוא 8.
מרובע עם זוג צלעות שוות וזוג זוויות שוות - הוכחת דלתון (שאלת ביניים · קשה)
במרובע $ABCD$ נתון: $AB=AD$ , $\angle ABC=\angle ADC$ , והאלכסון $AC$ ארוך מהצלע $AB$ .
אלכסון שנחצה ושתי צלעות נגדיות שוות - הוכחת מקבילית (שאלת ביניים · בינונית)
במרובע $ABCD$ האלכסונים נחתכים בנקודה $M$ . נתון: $M$ היא אמצע האלכסון $AC$ , $AB=CD$ , והצלע $AB$ ארוכה מהקטע $AM$ .
שני זוגות של משולשים דומים סביב קודקוד משותף (שאלת ביניים · קשה)
למשולשים $ABC$ ו- $ADE$ קודקוד משותף $A$ , ו- $\angle BAC=\angle DAE$ . נתון: $AB=6$ , $AC=8$ , $AD=9$ , $AE=12$ . הנקודה $D$ נמצאת בתוך הזווית…