שאלות פתוחות: יישומים בכדור ובגליל - כיתה י"א 5 יח"ל

טריגונומטריה בכדור ובגליל: שאלות פתוחות לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות מחשבים את שטח עיגול החתך כשמישור חותך כדור, מוצאים זוויות בגליל ישר בעזרת מיתר בבסיס, מבטאים את נפח הגליל החסום בכדור בעזרת הזווית של אלכסון החתך הצירי, ופותרים שאלה על קופסת שימורים. השאלות ברמה קלה, בינונית וקשה, ורובן כוללות סרטוט. בוחרים מכאן שאלות לדף עבודה או לבוחן בגאומטריה במרחב, ומקבלים לכל אחת פתרון מלא בקובץ Word.

8 שאלותקלה: 3בינונית: 3קשה: 2

שאלה 1 · יישומים בכדור ובגלילשאלה קצרה · קלה

מישור חותך כדור שרדיוסו RRR. הרדיוס המחבר את מרכז הכדור לנקודה על היקף עיגול החתך יוצר זווית α\alphaα עם מישור החתך. שטח עיגול החתך הוא רבע משטח העיגול הגדול של הכדור.

א.

מצאו את α\alphaα.

ב.

הביעו באמצעות RRR את המרחק של מישור החתך ממרכז הכדור.

שאלה 2 · יישומים בכדור ובגלילשאלה קצרה · בינונית

בגליל ישר שבסרטוט רדיוס הבסיס 555 ס"מ והגובה 666 ס"מ. BCBCBC הוא מיתר בבסיס התחתון שאורכו 888 ס"מ, ו-MMM אמצעו. A′A'A′ היא הנקודה על היקף הבסיס התחתון הרחוקה ביותר מהמיתר BCBCBC, ו-AAA היא הנקודה על היקף הבסיס העליון שמעליה (AA′AA'AA′ מאונך לבסיסים).
BCMA'A

א.

הראו כי AM⊥BCAM\perp BCAM⊥BC, וחשבו את הזווית ∠AMA′\angle AMA'∠AMA′.

ב.

חשבו את שטח המשולש ABCABCABC.

שאלה 3 · יישומים בכדור ובגלילשאלת ביניים · קשה

גליל ישר חסום בכדור שרדיוסו RRR. אלכסון החתך הצירי של הגליל יוצר זווית α\alphaα עם מישור הבסיס.

א.

הביעו את נפח הגליל באמצעות RRR ו-α\alphaα.

ב.

מצאו את הזווית α\alphaα שעבורה נפח הגליל הגדול ביותר, והביעו באמצעות RRR את הנפח הגדול ביותר.
(הדרכה: הביעו את cos⁡2α\cos^2\alphacos2α באמצעות sin⁡α\sin\alphasinα, והציבו t=sin⁡αt=\sin\alphat=sinα.)

שאלה 4 · יישומים בכדור ובגלילשאלה קצרה · קלה

קופסת שימורים היא גליל ישר. אורך האלכסון של החתך הצירי של הקופסה הוא 202020 ס"מ, והוא יוצר זווית של 30∘30^\circ30∘ עם מישור הבסיס.

א.

חשבו את נפח הקופסה.

ב.

חשבו את השטח הכולל של הקופסה (מעטפת ושני בסיסים).

שאלה 5 · זווית בין רדיוס הכדור למישור חתךשאלה קצרה · בינונית

מישור חותך כדור שרדיוסו RRR. הרדיוס המחבר את מרכז הכדור לנקודה על היקף עיגול החתך יוצר זווית α\alphaα עם מישור החתך. שטח עיגול החתך הוא רבע משטח העיגול הגדול של הכדור.

מצאו את α\alphaα.

שאלה 6 · יישומים בכדור ובגלילשאלה קצרה · קשה

גליל ישר חסום בכדור שרדיוסו RRR ומרכזו OOO. קוטר הבסיס העליון של הגליל נראה מ-OOO בזווית 2β2\beta2β. השטח הכולל של הגליל (מעטפת ושני בסיסים) שווה ל-34\frac3443​ משטח הפנים של הכדור.

מצאו את כל הערכים האפשריים של tan⁡β\tan\betatanβ.

שאלה 7 · נפח קופסת שימורים לפי אלכסון החתך הצירישאלה קצרה · קלה

קופסת שימורים היא גליל ישר. אורך האלכסון של החתך הצירי של הקופסה הוא 202020 ס"מ, והוא יוצר זווית של 30∘30^\circ30∘ עם מישור הבסיס.

חשבו את נפח הקופסה.

שאלה 8 · משולש שקודקודיו על שני בסיסי גלילשאלת ביניים · בינונית

בגליל ישר שבסרטוט רדיוס הבסיס 555 ס"מ והגובה 666 ס"מ. BCBCBC הוא מיתר בבסיס התחתון שאורכו 888 ס"מ, ו-MMM אמצעו. A′A'A′ היא הנקודה על היקף הבסיס התחתון הרחוקה ביותר מהמיתר BCBCBC, ו-AAA היא הנקודה על היקף הבסיס העליון שמעליה (AA′AA'AA′ מאונך לבסיסים).
BCMA'A

א.

הראו כי AM⊥BCAM\perp BCAM⊥BC, וחשבו את הזווית ∠AMA′\angle AMA'∠AMA′.

ב.

חשבו את שטח המשולש ABCABCABC.

ג.

חשבו את הזווית ∠BAC\angle BAC∠BAC.