מבחן לדוגמה: חקירה וקיצון של פונקציות טריגונומטריות - כיתה י"א 5 יח"ל

נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{2(\cos x)^2+\sqrt3\sin2x}{2\cos x}$, בתחום: $0\le x\le2\pi$.

נתונה הפונקציה: $f(x)=x+\sin(2x)$, המוגדרת בתחום $-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$. הפונקציה $f(x)$ אי-זוגית.

נתונות הפונקציות $f(x)=\sin x$ ו-$g(x)=\sin^2x$ בתחום $0\le x\le\pi$. ישר המקביל לציר ה-$y$ חותך את הגרף של $f$ בנקודה $A$ ואת הגרף של $g$ בנקודה $B$ (ראו סרטוט).

מרובע ABCD חסום במעגל שרדיוסו $R$ ומרכזו O (ראו סרטוט). נסמן: $\angle DAB=\alpha$, $\alpha$ היא זווית חדה.

נתון: $AD=R$, והזווית ABD חדה.

נסמן ב-$h_1$ את הגובה שיורד מקודקוד A במשולש ABD, וב-$h_2$ את הגובה שיורד מקודקוד O במשולש BOD.

AB הוא קוטר של חצי מעגל שמרכזו O ורדיוסו $R$. הנקודות C ו-D נמצאות על חצי המעגל כך ש-ABCD הוא טרפז $(DC\parallel AB)$, כמתואר בסרטוט.

נסמן: $\angle COB=x$, כאשר $0^\circ<x<90^\circ$.

גוף מבצע תנועה הרמונית, ומיקומו בזמן $t$ הוא $x(t)=A\sin(\omega t)$ ($A,\omega>0$; $x$ במטרים, $t$ בשניות). גודל המהירות המרבי של הגוף הוא $12$ מ'/ש', וגודל התאוצה המרבי הוא $36$ מ'/ש$^2$.

גוף נע לאורך ציר ה-$x$, ומיקומו בזמן $t\ge0$ (בשניות) הוא $x(t)=3\sin t+4\cos t$ (במטרים).

מספר הדגים באגם (באלפים) משתנה במחזוריות שנתית, ומתואר במודל $N(t)=D+A\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)$ ($A>0$), כאשר $t$ הוא הזמן בחודשים מתחילת השנה ($0\le t\le12$). במדידות נמצא: בתחילת פברואר ($t=1$) היו באגם $7$ אלפים דגים, ובתחילת אוקטובר ($t=9$) - $4$ אלפים דגים.