שאלות פתוחות: בעיות קיצון עם פונקציות טריגונומטריות בגרפים - כיתה י"א 5 יח"ל

בעיות קיצון עם פונקציות טריגונומטריות בגרפים, לכיתה י"א, 5 יחידות. ברוב השאלות ישר המקביל לציר ה-y חותך שני גרפים, כמו sin x ו-sin²x או sin x ו-cos x, ומחפשים את המקום שבו המרחק בין נקודות החיתוך הגדול ביותר. יש גם שאלות על חקירה של sin x·cos x ושל sin x+¼sin 2x בתחום נתון. רוב השאלות בינוניות, וחלקן קשות. אפשר להוסיף את השאלות לבוחן או למבחן, עם פתרון מלא לכל אחת וייצוא ל-Word.

13 שאלותקלה: 2בינונית: 7קשה: 4

שאלה 1 · בעיות קיצון עם פונקציות טריגונומטריות בגרפיםשאלה קצרה · קלה

נתונות הפונקציות f(x)=sin⁡xf(x)=\sin xf(x)=sinx ו-g(x)=sin⁡2xg(x)=\sin^2xg(x)=sin2x בתחום 0≤x≤π0\le x\le\pi0≤x≤π. ישר המקביל לציר ה-yyy חותך את הגרף של fff בנקודה AAA ואת הגרף של ggg בנקודה BBB (ראו סרטוט).
y=f(x)y=g(x)
AB

מצאו את האורך המרבי של הקטע ABABAB, ואת ערכי xxx שבהם הוא מתקבל.

שאלה 2 · בעיות קיצון עם פונקציות טריגונומטריות בגרפיםשאלה קצרה · בינונית

נתונות הפונקציות f(x)=sin⁡xf(x)=\sin xf(x)=sinx ו-g(x)=sin⁡(x−π3)g(x)=\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)g(x)=sin(x−3π​) בתחום 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π. ישר המקביל לציר ה-yyy חותך את הגרף של fff בנקודה AAA ואת הגרף של ggg בנקודה BBB.

מצאו את האורך המרבי של הקטע ABABAB, ואת כל ערכי xxx בתחום שבהם הוא מתקבל.

שאלה 3 · בעיות קיצון עם פונקציות טריגונומטריות בגרפיםשאלה קצרה · קשה

נתונות הפונקציות f(x)=asin⁡xf(x)=a\sin xf(x)=asinx ו-g(x)=−cos⁡xg(x)=-\cos xg(x)=−cosx בתחום 0≤x≤π20\le x\le\frac{\pi}{2}0≤x≤2π​, כאשר a>0a>0a>0 פרמטר. ישר המקביל לציר ה-yyy חותך את הגרף של fff בנקודה AAA ואת הגרף של ggg בנקודה BBB. ידוע שאורך הקטע ABABAB מרבי כאשר x=π3x=\frac{\pi}{3}x=3π​.

מצאו את aaa ואת האורך המרבי של הקטע ABABAB.

שאלה 4 · חקירת $sin x cos x$ והמרחק בינה לבין $\frac{1}{f}$ (מודרך)שאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=sin⁡(x)⋅cos⁡(x)f(x)=\sin(x)\cdot\cos(x)f(x)=sin(x)⋅cos(x) המוגדרת בתחום: −π2≤x≤π2-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}−2π​≤x≤2π​.

א.

הראו כי f(x)f(x)f(x) היא פונקציה אי-זוגית.

ב.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם הצירים.

ג.

הראו כי f′(x)=cos⁡2x−sin⁡2xf'(x)=\cos^2x-\sin^2xf′(x)=cos2x−sin2x, ומצאו את שיעורי נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) (כולל נקודות הקצה) וקבעו את סוגן.

ד.

נתונה הפונקציה: g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{\sqrt{f(x)}}g(x)=f(x)​1​.

מצאו את תחום ההגדרה של g(x)g(x)g(x), והראו כי לגרף g(x)g(x)g(x) יש נקודת מינימום שבה x=π4x=\frac{\pi}{4}x=4π​. מצאו את שיעור ה-yyy שלה.

ה.

הסבירו מדוע בתחום 0<x<π20<x<\frac{\pi}{2}0<x<2π​ ההפרש g(x)−f(x)g(x)-f(x)g(x)−f(x) קטן ככל ש-f(x)f(x)f(x) גדל, ומצאו את המרחק המינימלי בין הגרפים של f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x) בתחום זה.

שאלה 5 · בעיות קיצון עם פונקציות טריגונומטריות בגרפיםשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡x+14sin⁡(2x)f(x)=\sin x+\frac{1}{4}\sin(2x)f(x)=sinx+41​sin(2x) בתחום 0≤x≤π0\le x\le\pi0≤x≤π.

א.

מצאו את השיפוע הקטן ביותר של משיק לגרף הפונקציה בתחום, ואת שיעור ה-xxx של נקודת ההשקה שבה הוא מתקבל.

ב.

מצאו את משוואת המשיק שמצאתם בסעיף א.

שאלה 6 · בעיות קיצון עם פונקציות טריגונומטריות בגרפיםשאלה קצרה · קשה

נתונות הפונקציות f(x)=sin⁡xf(x)=\sin xf(x)=sinx ו-g(x)=cos⁡xg(x)=\cos xg(x)=cosx. לכל aaa המקיים 0<a≤π0<a\le\pi0<a≤π, ישר המקביל לציר ה-yyy חותך את שני הגרפים בתחום 0≤x≤a0\le x\le a0≤x≤a בנקודות AAA ו-BBB.

מצאו את הערך הגדול ביותר של aaa שעבורו האורך הגדול ביותר של הקטע ABABAB בתחום 0≤x≤a0\le x\le a0≤x≤a הוא 111.

שאלה 7 · חקירת $sin^{3} x cos^{3} x$ , הפונקציה $\frac{1}{f}$ ומרחק מינימלי בין הגרפיםשאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה: f(x)=sin⁡3(x)⋅cos⁡3(x)f(x)=\sin^3(x)\cdot\cos^3(x)f(x)=sin3(x)⋅cos3(x) המוגדרת בתחום: −π2≤x≤π2-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}−2π​≤x≤2π​.

א.

(1)

האם הפונקציה f(x)f(x)f(x) היא זוגית או אי זוגית? נמקו.

(2)

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם הצירים.

(3)

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

(4)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ב.

נתונה הפונקציה: g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{\sqrt{f(x)}}g(x)=f(x)​1​.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x)g(x)g(x).

(2)

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה g(x)g(x)g(x).

(3)

סרטטו (בקו מקווקו) סקיצה של גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x) באותה מערכת צירים שבה סרטטתם את גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ג.

ענו על סעיף ג בעבור התחום שבו מוגדרות שתי הפונקציות f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x).

מצאו את המרחק המינימלי בין הפונקציות f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x).

שאלה 8 · חקירת $sin^{2} x cos x$ : שני ענפים של $\frac{1}{f}$ , מספר חיתוכים עם $y = m$ ומרחק מינימלישאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=sin⁡2(x)⋅cos⁡(x)f(x)=\sin^2(x)\cdot\cos(x)f(x)=sin2(x)⋅cos(x) המוגדרת בתחום: −π2≤x≤π2-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}−2π​≤x≤2π​, ונתונה הפונקציה g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{\sqrt{f(x)}}g(x)=f(x)​1​.

א.

חקרו את הפונקציה f(x)f(x)f(x): זוגיות, נקודות החיתוך עם הצירים, ונקודות הקיצון (כולל נקודות הקצה) וסוגן.

ב.

מצאו את תחום ההגדרה של g(x)g(x)g(x), את האסימפטוטות האנכיות שלה ואת נקודות הקיצון שלה.

ג.

מצאו את כל הערכים של mmm שבעבורם הישר y=my=my=m חותך את גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x) בארבע נקודות בדיוק.

ד.

מצאו את המרחק המינימלי בין הגרפים של f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x) בתחום שבו שתי הפונקציות מוגדרות.

שאלה 9 · בעיות קיצון עם פונקציות טריגונומטריות בגרפיםשאלה קצרה · בינונית

נתונות הפונקציות: f(x)=sin⁡2(x)f(x)=\sin^2(x)f(x)=sin2(x) ו-g(x)=cos⁡(x)+2g(x)=\cos(x)+2g(x)=cos(x)+2, המוגדרות בתחום: 0≤x≤π0\le x\le\pi0≤x≤π.

א.

הראו כי בכל התחום גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x) נמצא מעל גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ב.

מצאו את המרחק האנכי המינימלי בין הגרפים, ואת xxx שבו הוא מתקבל.

שאלה 10 · חקירת $sin^{2} x cos x$ ו- $\frac{1}{f ( x )}$ , והמרחק המינימלי ביניהןשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=sin⁡2(x)⋅cos⁡(x)f(x)=\sin^2(x)\cdot\cos(x)f(x)=sin2(x)⋅cos(x) המוגדרת בתחום: −π2≤x≤π2-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}−2π​≤x≤2π​, ונתונה הפונקציה g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{\sqrt{f(x)}}g(x)=f(x)​1​.

א.

חקרו את הפונקציה f(x)f(x)f(x): זוגיות, נקודות החיתוך עם הצירים, ונקודות הקיצון (כולל נקודות הקצה) וסוגן.

ב.

מצאו את תחום ההגדרה של g(x)g(x)g(x), את האסימפטוטות האנכיות שלה ואת נקודות הקיצון שלה.

ג.

מצאו את המרחק המינימלי בין הגרפים של f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x) בתחום שבו שתי הפונקציות מוגדרות.

עוד 2 שאלות על בעיות קיצון עם פונקציות טריגונומטריות בגרפים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

המרחק האנכי המינימלי בין $sin^{2} x$ ל- $cos x + 2$ (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הפונקציות: $f(x)=\sin^2(x)$ ו- $g(x)=\cos(x)+2$ , המוגדרות בתחום: $0\le x\le\pi$ . ידוע כי בכל התחום גרף הפונקציה $g(x)$ נמצא מעל גרף…
קטע אנכי מקסימלי בין $2 sin x$ ל- $sin 2 x$ ושטח משולש (שאלת ביניים · בינונית)
נתונות הפונקציות $f(x)=2\sin x$ ו- $g(x)=\sin(2x)$ בתחום $0\le x\le\pi$ . הישר $x=t$ ( $0\le t\le\pi$ ) חותך את גרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה $A$ …

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

חקירת $sin x cos^{3} x$ , הפונקציה $\frac{1}{f}$ ומרחק מינימלי בין הגרפים · בגרות 571 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\sin(x)\cdot\cos^3(x)$ המוגדרת בתחום: $-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$ .