שאלות פתוחות: חקירה מלאה וסקיצה בתחום - כיתה י"א 5 יח"ל

עוד 39 שאלות על חקירה מלאה וסקיצה בתחום

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

11. חקירה מלאה וסקיצה בתחום (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונה הפונקציה $f(x)=\sin x+\cos x+k$ בתחום $0\le x\le2\pi$, כאשר $k$ פרמטר.

12. משפחת הפונקציות $\frac{a+\cos x}{\sin x}$: מתי יש קיצון, טווח לפי הפרמטר ומתי יש פיתול (שאלה מלאה · קשה)

    נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a+\cos(x)}{\sin(x)}$, כאשר $a>0$ פרמטר, בתחום $0<x<2\pi$, $x\neq\pi$.

13. חקירת $\cos x-\sqrt{2\cos x}$ בתחום סגור ושטח בעזרת זוגיות (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה הפונקציה: $f(x)=\cos x-\sqrt{2\cos x}$, בתחום: $-\pi\le x\le\pi$.

14. חקירה מלאה וסקיצה בתחום (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונה הפונקציה $f(x)=\cos(2x)+2\cos x$ בתחום $0\le x\le\pi$.

15. המשפחה $\frac{1-\sin x}{a+\sin x}$: תחום לפי הפרמטר, קיצונים בפרמטר, מספר פתרונות ומרחק בין אסימפטוטות (שאלה מלאה · קשה)

    נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{1-\sin x}{a+\sin x}$ בתחום $0\le x\le2\pi$, כאשר $a>0$ הוא פרמטר.

16. מנה טריגונומטרית: זוגיות, נגזרת מודרכת, קיצון בתחום סגור ואינטגרל $f^2{f}^{\prime }$ (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\sin x}{2+\cos x}$, המוגדרת בתחום: $-\pi\le x\le\pi$.

17. חקירה מלאה וסקיצה בתחום (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{1}{\sin x+\cos x}$ בתחום $0\le x\le\pi$ (בנקודות שבהן היא מוגדרת).

18. משפחת הפונקציות $a\cos x+\frac{1}{\cos x}$: סוג הקיצון לפי הפרמטר, בעיה הפוכה וספירת חיתוכים (שאלה מלאה · קשה)

    נתונה הפונקציה $f(x)=a\cos x+\frac{1}{\cos x}$ בתחום $-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$, כאשר $a$ הוא פרמטר חיובי.

19. הפונקציה $\frac{\cos x-1}{\cos x+2}$: פרמטר מנקודה, קיצונים בתחום סגור ומספר פתרונות (מודרך) (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\cos(x)-a}{\cos(x)+2}$, $a$ פרמטר. ידוע שגרף הפונקציה עובר בראשית הצירים.

20. חקירה מלאה וסקיצה בתחום (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונה הפונקציה $f(x)=\sin^3x$ בתחום $0<x<2\pi$.

21. משפחת הפונקציות $\cos x+\frac{b}{{\cos }^{2}x}$: מספר נקודות הקיצון לפי $b$ ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)

    נתונה הפונקציה $f(x)=\cos x+\frac{b}{\cos^2x}$, בתחום $-\frac{3\pi}{2}<x<\frac{3\pi}{2}$, $x\ne\pm\frac{\pi}{2}$. $b$ הוא פרמטר חיובי.

22. פונקציה טריגונומטרית $\cos x+\frac{1}{\cos x}$: חקירה מודרכת ונקודה חסרה (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה הפונקציה $f(x)=\cos x+\frac{1}{\cos x}$ בתחום $-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$.

23. חקירה מלאה וסקיצה בתחום (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונה הפונקציה $f(x)=\cos^2x+\sin x$ בתחום $0\le x\le2\pi$.

24. ישר אופקי וגרף $\cos x+\frac{2\sin x}{\sin 2x}$ עם נקודה חסרה (שאלה קצרה · קשה)

    נתונה הפונקציה $g(x)=\cos x+\frac{2\sin x}{\sin(2x)}$ בתחום $-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$.

25. חקירה מודרכת של $2\cos x+\frac{1}{{\cos }^{2}x}$: תחום, זוגיות, קיצון וסקיצה (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה הפונקציה $f(x)=2\cos x+\frac{1}{\cos^2x}$, בתחום $-\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}$.

26. חקירת $\frac{1+{\sin }^{2}x}{\sin x}$ בתחום, וזיהוי הגרפים של $f-2$ ושל $\sqrt{f-2}$ (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{1+\sin^2(x)}{\sin(x)}$. ענו על הסעיפים שלפניכם בתחום: $0\le x\le2\pi$.

27. חקירת $\cos x+\frac{b}{{\cos }^{2}x}$ ומספר הפתרונות של $f(x)=m$ (שאלת ביניים · קשה)

    נתונה הפונקציה $f(x)=\cos x+\frac{b}{\cos^2x}$, בתחום $-\frac{3\pi}{2}<x<\frac{3\pi}{2}$, $x\ne\pm\frac{\pi}{2}$. $b$ הוא פרמטר חיובי.

28. מכפלה של ביטויים ב-$\cos x$ בלי פרמטר: זוגיות, קיצון וסקיצה (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה הפונקציה $f(x)=(\cos x-2)(\cos x+3)$, המוגדרת בתחום $-\pi\le x\le\pi$.

29. חקירת $\frac{\sin x}{\sqrt{1-2\cos x}}$ בתחום $[0,2\pi ]$ והשוואת אינטגרלים (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\sin(x)}{\sqrt{1-2\cos(x)}}$. ענו על הסעיפים הבאים עבור התחום: $0\le x\le2\pi$.

30. חקירת $x+\sin 2x$ בתחום סגור והפונקציה $\sqrt{-f^{\prime }(x)}$ (מודרך) (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה הפונקציה: $f(x)=x+\sin(2x)$, המוגדרת בתחום $-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$.

31. הפונקציה $\sin x(1+\cos x)$ עם נקודות סליקות: קיצון בתחום סגור, מספר פתרונות ושטח מתחת לנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\sin2x\,(1+\cos x)}{2\cos x}$, בתחום: $0\le x\le2\pi$.

32. פונקציה טריגונומטרית זוגית ו-$\frac{1}{f(x)+b}$ עם $b$ נתון (מודרך) (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה הפונקציה $f(x)=\cos2x-2\cos x$, המוגדרת בתחום $-\pi\le x\le\pi$.

33. פונקציה טריגונומטרית זוגית: זווית כפולה, חסמים, קיצון של $f(2x)$ ואינטגרל של נגזרות (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: $f(x)=\cos(2x)-2\cos(x)+1$, המוגדרת לכל $x$.

34. הפונקציה $\frac{1}{\sqrt{\cos x}}$: חקירה מודרכת, הזזה ואינטגרל של הנגזרת (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{1}{\sqrt{\cos x}}$. ענו על כל הסעיפים עבור התחום $-\frac{\pi}{2}\le x\le\pi$.

35. הפונקציות $\tan x-\frac{1}{x}$ ו-$x\cos x$: חיוביות, אי-זוגיות וקיצון באפסים של פונקציה אחרת (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: $f(x)=\tan(x)-\frac1x$. ענו על הסעיפים א-ב בעבור התחום: $0\le x\le2\pi$.

36. תחום הגדרה ואסימפטוטות של $\frac{1+{\sin }^{2}x}{\sin x}$ (שאלה קצרה · קלה)

    נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{1+\sin^2(x)}{\sin(x)}$. ענו על הסעיפים שלפניכם בתחום: $0\le x\le2\pi$.

37. חקירה מלאה וסקיצה בתחום (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונה הפונקציה $k(x)=\tan(x)-2x$ בתחום $0\le x\le\frac{3\pi}{2}$. ידוע כי בתחום $0<x<\frac{3\pi}{2}$ גרף $k(x)$ חותך את ציר ה-$x$ בשתי…

38. חקירת ${\sin }^{3}x{\cos }^{3}x$, הפונקציה $\frac{1}{\sqrt{f}}$ ומרחק מינימלי בין הגרפים (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: $f(x)=\sin^3(x)\cdot\cos^3(x)$ המוגדרת בתחום: $-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$.

39. חקירת $\frac{\sin x+\sin x{\cos }^{2}x}{1-{\cos }^{2}x}$: אסימפטוטות, אי-זוגיות, היעדר פיתול ושטח מתחת לגרף הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{\sin(x)+\sin(x)\cos^2(x)}{1-\cos^2(x)}$, בתחום $-2\pi\le x\le2\pi$.

40. חקירת ${\cos }^{2}x-\sqrt{\cos x}$: קיצון בקצוות, גרף הנגזרת ושטח בעזרת זוגיות (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: $f(x)=\cos^2x-\sqrt{\cos x}$, בתחום: $-\pi\le x\le\pi$.

41. פונקציה טריגונומטרית עם פרמטר: אפסים, שיפוע מערך של $\cos x$, קיצון בתחום סגור, גרף הנגזרת ואינטגרל $f^2{f}^{\prime }$ (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: $f(x)=(b+\cos^2x)\sin x$, המוגדרת בתחום: $-\pi\le x\le\pi$, $b$ הוא פרמטר.

42. הפונקציה $\frac{\cos x-a}{(\cos x+1{)}^2}$: פרמטר מהשקה לציר $x$, חקירה בשני מחזורים והערכת אינטגרל בעזרת קעירות (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\cos(x)-a}{(\cos(x)+1)^2}$, $a$ הוא פרמטר חיובי. הפונקציה $f(x)$ מוגדרת לכל $x$ המקיים: $\cos(x)\ne-1$. נתון כי…

43. פונקציה טריגונומטרית $16\cos x+\frac{1}{{\cos }^{2}x}$: חקירה בתחום, זהות הזווית הכפולה ונקודה חסרה (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה $f(x)=16\cos x+\frac{1}{\cos^2x}$ בתחום $-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$.

44. פונקציה טריגונומטרית עם $\frac{1}{\cos x}$: זוגיות, משיק אופקי, מקסימום מתחת למינימום ומפגש של $g$ עם $\frac{4}{g}$ (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה $f(x)=\cos x+\frac{1}{\cos x}+a$, בתחום $-\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}$. $a$ הוא פרמטר.

45. מכפלה עם $(1+\cos x{)}^2$ ופרמטר: זוגיות, קיצון בנקודה נתונה ו-$f+|f|$ (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה $f(x)=(1+\cos x)^2\cdot(b\cos x-1)$, המוגדרת בתחום $-\pi\le x\le\pi$. $b$ הוא פרמטר. נתון: $0<b<1$.

46. חקירת ${\cos }^{2}x\cdot \sin 2x$ בתחום סגור והפונקציה $\sqrt{a\cdot f^{\prime }(x)}$ (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: $f(x)=(\cos x)^2\cdot\sin(2x)$, המוגדרת בתחום $-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$.

47. פונקציה טריגונומטרית זוגית: חקירה בתחום, ו-$\frac{1}{f(x)+b}$ עם שתי אסימפטוטות (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה $f(x)=2(\sin x)^2+\cos x-1$, המוגדרת בתחום $-\pi\le x\le\pi$.

48. פונקציות טריגונומטריות עם $\sqrt{2\cos x-1}$ במכנה: חקירה, הזזה ושיקוף, ואינטגרל (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונות הפונקציות $f(x)=\frac{\sin x}{\sqrt{2\cos x-1}}$, $g(x)=\frac{\cos x}{\sqrt{2\sin x-1}}$.

49. חקירה וסקיצה של $x+\sin 2x$, ותחום ההגדרה של $\sqrt{-f^{\prime }(x)}$ (שאלת ביניים · בינונית)

    נתונה הפונקציה: $f(x)=x+\sin(2x)$, המוגדרת בתחום $-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$. הפונקציה $f(x)$ אי-זוגית.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

• חקירת $\frac{{\cos }^{2}x}{\sin x}+3$ בתחום, וזיהוי הגרפים של $f-3$ ושל $\sqrt{f-3}$ · בגרות 571 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 7

  נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\cos^2(x)}{\sin(x)}+3$. ענו על הסעיפים שלפניכם בתחום: $0\le x\le2\pi$.

• חקירת $\frac{\cos x}{\sqrt{\sin x}}$ בתחום $[0,2\pi ]$ והשוואת אינטגרלים · בגרות 571 חורף 2021 מועד נבצרים, שאלה 7

  נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\cos(x)}{\sqrt{\sin(x)}}$. ענו על הסעיפים הבאים עבור התחום: $0\le x\le2\pi$.

• פונקציה טריגונומטרית עם נקודות אי-רציפות סליקות: קיצון בתחום סגור, מספר פתרונות ושטח מתחת לנגזרת · בגרות 571 קיץ 2022 מועד א', שאלה 7

  נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{2(\cos x)^2+\sin2x}{2\cos x}$, בתחום: $0\le x\le2\pi$.

• הפונקציות $\tan x+\frac{1}{x}$ ו-$\frac{\cos x}{x}$: חיוביות, אי-זוגיות וקיצון באפס של פונקציה אחרת · בגרות 571 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 7

  נתונה הפונקציה: $f(x)=\tan(x)+\frac1x$. ענו על הסעיפים א-ב בעבור התחום: $0\le x\le\frac{3\pi}{2}$.

• חקירת $\sin x{\cos }^{3}x$, הפונקציה $\frac{1}{\sqrt{f}}$ ומרחק מינימלי בין הגרפים · בגרות 571 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 6

  נתונה הפונקציה: $f(x)=\sin(x)\cdot\cos^3(x)$ המוגדרת בתחום: $-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$.

• חקירת $\frac{4\sin x}{{\cos }^{2}x-1}$: אסימפטוטות, אי-זוגיות, היעדר פיתול ושטח מתחת לגרף הנגזרת · בגרות 571 חורף 2023, שאלה 7

  נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{4\sin(x)}{\cos^2(x)-1}$, בתחום $-2\pi\le x\le2\pi$.

• חקירת $\cos x-\sqrt{\cos x}$: קיצון בקצוות, גרף הנגזרת ושטח בעזרת זוגיות · בגרות 571 קיץ 2024 מועד א', שאלה 7

  נתונה הפונקציה: $f(x)=\cos x-\sqrt{\cos x}$, בתחום: $-\pi\le x\le\pi$.

• פונקציה טריגונומטרית עם פרמטר: אפסים, שיפוע מערך של $\cos x$, קיצון בתחום סגור, גרף הנגזרת ואינטגרל $f^2{f}^{\prime }$ · בגרות 571 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 7

  נתונה הפונקציה: $f(x)=(b+\cos x)\sin x$, המוגדרת בתחום: $-\pi\le x\le\pi$, $b$ הוא פרמטר.

• הפונקציה $\frac{\sin x-a}{\sin x+a}$: פרמטר מהשקה לציר $x$ בקיצונים, חקירה בשני מחזורים והערכת אינטגרל בעזרת קעירות · בגרות 571 חורף 2024, שאלה 7

  נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\sin(x)-a}{\sin(x)+a}$, $a$ הוא פרמטר חיובי. הפונקציה $f(x)$ מוגדרת לכל $x$ המקיים: $\sin(x)\ne-a$. נתון כי הגרף של הפונקציה $f(x)$…

• פונקציה טריגונומטרית עם $\frac{1}{\cos x}$: חקירה בתחום, זהות הזווית הכפולה ונקודה חסרה · בגרות 571 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 7

  נתונה הפונקציה $f(x)=2\cos x+\frac{1}{\cos x}$ בתחום $-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$.

• פונקציה טריגונומטרית עם $\frac{4}{{\cos }^{2}x}$: זוגיות, משיק אופקי, שלושה מינימומים ומפגש של $g$ עם $\frac{1}{g}$ · בגרות 571 חורף 2025, שאלה 7

  נתונה הפונקציה $f(x)=\cos x+\frac{4}{(\cos x)^2}+a$, בתחום $-\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}$. $a$ הוא פרמטר.

• מכפלה של ביטויים ב-$\cos x$ עם פרמטר: זוגיות, קיצון בנקודה נתונה ו-$f+|f|$ · בגרות 571 קיץ 2026 מועד א', שאלה 7

  נתונה הפונקציה $f(x)=(1+\cos x)\cdot(-1+b\cos x)$, המוגדרת בתחום $-\pi\le x\le\pi$. $b$ הוא פרמטר. נתון: $0<b<1$.

• חקירת ${\sin }^{2}x\cdot \cos 2x$ בתחום סגור והפונקציה $\sqrt{a\cdot f^{\prime }(x)}$ · בגרות 571 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 7

  נתונה הפונקציה: $f(x)=(\sin x)^2\cdot\cos(2x)$, המוגדרת בתחום $-\frac{\pi}{4}\le x\le\frac{\pi}{4}$.

• פונקציה טריגונומטרית זוגית: חקירה בתחום, ו-$\frac{1}{f(x)+b}$ עם שתי אסימפטוטות · בגרות 571 חורף 2026, שאלה 7

  נתונה הפונקציה $f(x)=(\sin x)^2+\cos x-1$, המוגדרת בתחום $-\pi\le x\le\pi$.

• פונקציות טריגונומטריות עם שורש במכנה: חקירה, הזזה ושיקוף, ואינטגרל של פונקציה אי-זוגית · מבחן לדוגמה 2 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 6

  נתונות הפונקציות $f(x)=\frac{\sin x}{\sqrt{\cos x}}$, $g(x)=\frac{\cos x}{\sqrt{\sin x}}$.