שאלות פתוחות: מיתרים נחתכים - כיתה י"א 5 יח"ל

נתון: $AE=8$, $EB=3$, $CE=4$. מצאו את $ED$ ואת אורך המיתר $CD$.

(נתונים אחרים) נתון: $E$ היא אמצע המיתר $AB$, $CE=2$, $ED=18$. מצאו את אורך המיתר $AB$.

הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת שלכל $n$ טבעי אי-זוגי מתקיים: $6+54+150+\dots+6n^2=n(n+1)(n+2)$

הנקודות B, C, D, E נמצאות על מעגל. המיתרים BD ו-CE נחתכים בנקודה A (ראו סרטוט). נתון: $AE=\frac34AC$, $AD=3AB$.

לפניכם סרטוט של גרף הפונקציה $f(x)$. לפונקציה $f(x)$ יש שתי אסימפטוטות מאונכות לציר ה-$x$ ושתי אסימפטוטות מאונכות לציר ה-$y$. אחד מן הביטויים I-IV שלפניכם מתאר את הפונקציה $f(x)$.

I. $\frac{(x-1)^2}{\sqrt{x^2-4}}$ II. $\frac{x-1}{\sqrt{x^2+4}}$ III. $\frac{x-1}{\sqrt{x^2-4}}$ IV. $\frac{x^2-1}{\sqrt{x^2+4}}$

הגרפים I-II בסרטוט שלפניכם מתארים את הפונקציה $f(x)$ ואת פונקציית הנגזרת $f'(x)$. כל נקודות הקיצון של הפונקציות $f(x)$ ו-$f'(x)$ מתוארות בסרטוט.

מצאו את היחס $AB:AC$.

נסמן $AB=x$. הביעו את $AE^2$ באמצעות $x$.

מצאו את $x$.

חשבו את אורך הקטע AE ואת היחס בין שטח המשולש ABF ובין שטח המשולש BFE.

מצאו את אורך המיתר $CD$. היעזרו בכך שקוטר המאונך למיתר חוצה אותו, ובשוויון $AE\cdot EB=CE\cdot ED$.

מצאו את אורך המיתר $DC$.

מצאו את אורך המיתר $CD$.

מצאו את $AE$ ואת $EB$.

הוכיחו: $PA\cdot PB=R^2-d^2$.

נתון: $R=10$, $d=8$, $PA=4\cdot PB$. מצאו את אורך המיתר $AB$.

המיתר $CD$ עובר גם הוא דרך $P$, והוא מאונך ל-$OP$ (הנתונים של סעיף ב). מצאו את אורך המיתר $CD$.

הנקודות $B$, $C$, $D$, $E$ נמצאות על מעגל. המיתרים $BD$ ו-$CE$ נחתכים בנקודה $A$ (ראו סרטוט). נתון: $AE=\frac34AC$, $AD=3AB$.

הוכיחו: $\triangle AED\sim\triangle ABC$.

מצאו את היחס: $\frac{AB}{AC}$.

הוכיחו כי $\triangle ABE\sim\triangle ADC$.

נתון: $AD=10$. מצאו את $AE$ ואת $DE$.

מצאו את $BD$, את $DC$ ואת $BC$.