שאלות פתוחות: משיק וחותך מנקודה אחת - כיתה י"א 5 יח"ל

משיק וחותך היוצאים מנקודה אחת: שאלות פתוחות לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות משתמשים בכך שריבוע המשיק שווה למכפלת קטעי החותך כדי לחשב אורכים, מוכיחים דמיון בין המשולשים שנוצרים, ופותרים בעיה על משולש חסום שהמשיק בקודקוד חותך את המשך הצלע. בחלק מהשאלות הרדיוס R נתון ומבטאים אורכים בעזרתו. השאלות ברמה קלה, בינונית וקשה. אפשר לשבץ את השאלות בבוחן או בדף עבודה, וכל אחת מגיעה עם פתרון מלא ובקובץ Word.

24 שאלותקלה: 5בינונית: 13קשה: 6

שאלה 1 · משיק וחותך דרך המרכז: משיק-מיתר, דמיון ומשפט המשיק והחותךשאלה מלאה · קלה

נתון מעגל שמרכזו O. מנקודה A שמחוץ למעגל יוצאים שני ישרים: הישר AB משיק למעגל בנקודה B, והישר AD עובר דרך מרכז המעגל O וחותך את המעגל בנקודות C ו-D (C בין A ל-O) (ראו סרטוט). נסמן: ∠ADB=α\angle ADB=\alpha∠ADB=α.
OABCD

א.

הסבירו מדוע ∠ABC=α\angle ABC=\alpha∠ABC=α ומדוע ∠CBD=90∘\angle CBD=90^\circ∠CBD=90∘.

ב.

הוכיחו כי ΔABC∼ΔADB\Delta ABC\sim\Delta ADBΔABC∼ΔADB, והסיקו כי AB2=AC⋅ADAB^2=AC\cdot ADAB2=AC⋅AD.

ג.

נתון: AC=2AC=2AC=2, AB=4AB=4AB=4.

חשבו את ADADAD ואת רדיוס המעגל.

ד.

חשבו את היחס בין שטח המשולש ABC לשטח המשולש ADB.

ה.

היעזרו בדמיון ומצאו את tan⁡α\tan\alphatanα ואת α\alphaα.

שאלה 2 · משיק, חותך דרך המרכז ומשיק בקצה הקוטר: זוויות, דמיון ויחס שטחיםשאלה מלאה · בינונית

נתון מעגל שרדיוסו RRR ומרכזו O. מנקודה A שמחוץ למעגל יוצאים שני ישרים: הישר AB משיק למעגל בנקודה B, והישר AD עובר דרך מרכז המעגל O וחותך את המעגל בנקודות C ו-D (C בין A ל-O). המשיק למעגל בנקודה D חותך את המשך הישר AB בנקודה E (ראו סרטוט). נסמן: ∠ADB=α\angle ADB=\alpha∠ADB=α.
OABCDE

א.

הביעו את כל זוויות המשולש ADE באמצעות α\alphaα.

ב.

הוכיחו: ABAD=BCBD\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{BD}ADAB​=BDBC​.

ג.

נתון: DE=12DE=12DE=12, AB=8AB=8AB=8.

חשבו את RRR.

ד.

נסמן ב-SSS את שטח המשולש BDC. מחברים את O עם E.

(1)

הוכיחו: ΔEDO∼ΔDBC\Delta EDO\sim\Delta DBCΔEDO∼ΔDBC.

(2)

הביעו את שטח המשולש EDO באמצעות SSS.

שאלה 3 · שני מעגלים נחתכים כשהמקבילית היא מלבן: אורכים ורדיוסיםשאלה מלאה · קשה

שני מעגלים נחתכים בנקודות AAA ו-BBB.
המיתר ADADAD במעגל הימני משיק למעגל השמאלי בנקודה AAA.
המיתר CBCBCB במעגל השמאלי משיק למעגל הימני בנקודה BBB.
המשך המיתר ACACAC במעגל השמאלי חותך את המעגל הימני בנקודה EEE.
המשך המיתר BDBDBD במעגל הימני חותך את המעגל השמאלי בנקודה FFF.
נתון שהמרובע CEDFCEDFCEDF הוא מלבן, AC=8AC=8AC=8 ו-CE=10CE=10CE=10.
ABCEDF

א.

הוכיחו כי AB⊥CEAB\perp CEAB⊥CE.

ב.

מצאו את ABABAB ואת BDBDBD.

ג.

מצאו פי כמה גדול שטח משולש ABCABCABC משטח משולש BDABDABDA.

ד.

מצאו את הרדיוסים של שני המעגלים.

שאלה 4 · משיק וחותך במעגל: דמיון משולשים ומשפט הסינוסים המורחב (מודרך)שאלה מלאה · קלה

המשולש ABCABCABC חסום במעגל שהרדיוס שלו הוא RRR. המשיק למעגל בנקודה BBB חותך את המשך הצלע CACACA בנקודה DDD, כמתואר בסרטוט. נסמן: ∠ABD=α\angle ABD=\alpha∠ABD=α. נתון: ∠DBC=150∘\angle DBC=150^\circ∠DBC=150∘.
ABCD

א.

הסבירו מדוע ∠ACB=α\angle ACB=\alpha∠ACB=α, והראו כי ∠BAC=30∘\angle BAC=30^\circ∠BAC=30∘.

ב.

הביעו את אורכי הצלעות ABABAB ו-BCBCBC באמצעות RRR ו-α\alphaα, אם יש צורך.

ג.

הוכיחו כי △DBA∼△DCB\triangle DBA\sim\triangle DCB△DBA∼△DCB.

ד.

נתון: DC=4DADC=4DADC=4DA.

מצאו את α\alphaα.

ה.

נתון: R=10R=10R=10.

מצאו את אורך הקטע BDBDBD.

שאלה 5 · משפט המשיק והחותך ויחס צלעות מהדמיוןשאלה קצרה · בינונית

מנקודה A שמחוץ למעגל יוצאים המשיק AB (B נקודת ההשקה) והחותך ACD (C ו-D על המעגל, C בין A ל-D). נתון: AB=6AB=6AB=6, CD=5CD=5CD=5.
ABCD

א.

מצאו את ACACAC.

ב.

מצאו את היחס BCBD\frac{BC}{BD}BDBC​.

שאלה 6 · משיק וחותך מנקודה חיצונית: מתי הנקודה קיימת והאם היא הקרובה או הרחוקהשאלה מלאה · קשה

נתון מעגל שמרכזו בנקודה O ורדיוסו RRR. מנקודה A, שמחוץ למעגל, העבירו ישר שמשיק למעגל בנקודה D. הנקודה B נמצאת על המעגל, ונתון: AB=3RAB=\sqrt3RAB=3​R. נסמן: ∠AOD=α\angle AOD=\alpha∠AOD=α, ∠AOB=β\angle AOB=\beta∠AOB=β.

א.

הביעו את cos⁡β\cos\betacosβ באמצעות α\alphaα.

ב.

מצאו את כל הערכים של α\alphaα שבעבורם יש על המעגל נקודה B כזו.

ג.

קבעו, לפי α\alphaα, מתי הישר AB משיק למעגל, מתי B היא נקודת החיתוך של הישר עם המעגל הקרובה יותר ל-A, ומתי היא הרחוקה יותר.

ד.

משולש ADO חסום במעגל שרדיוסו rrr. נתון: Rr=65\frac{R}{r}=\frac65rR​=56​.

מצאו את α\alphaα ואת β\betaβ, וקבעו אם B היא נקודת החיתוך הקרובה יותר ל-A או הרחוקה יותר.

שאלה 7 · משולש חסום שבו $∠ B = 2∠ C$ : משיק, דמיון ויחסי שטחים - מודרךשאלה מלאה · קלה

המשולש ABC חסום במעגל. המשיק למעגל בנקודה A חותך את המשך הצלע CB בנקודה E (ראו סרטוט). נתון: ∠ABC=2∠ACB\angle ABC=2\angle ACB∠ABC=2∠ACB. נסמן ∠ACB=α\angle ACB=\alpha∠ACB=α.
ABCE

א.

הוכיחו: ∠EAB=α\angle EAB=\alpha∠EAB=α וגם ∠AEB=α\angle AEB=\alpha∠AEB=α.

ב.

הסיקו: AE=ACAE=ACAE=AC וגם EB=ABEB=ABEB=AB.

ג.

נתון: AB=9AB=9AB=9, AC=12AC=12AC=12.

הוכיחו: △EAB∼△ECA\triangle EAB\sim\triangle ECA△EAB∼△ECA, ומצאו את ECECEC ואת BCBCBC.

ד.

היעזרו במשפט הסינוסים במשולש ABC, והראו ש-ACAB=2cos⁡α\frac{AC}{AB}=2\cos\alphaABAC​=2cosα. מצאו את cos⁡α\cos\alphacosα.

ה.

מצאו את היחס בין שטח המשולש EAB ובין שטח המשולש ECA, ואת היחס בין שטח המשולש ABC ובין שטח המשולש AEC.

שאלה 8 · מעגל: משיק מקודקוד, דמיון, משולש שווה-שוקיים וחוצה זוויתשאלה מלאה · בינונית

הנקודות A, B ו-C נמצאות על מעגל. נקודה E היא אמצע הקשת BC שאינה מכילה את A, כמתואר בסרטוט שלפניכם. בנקודה A מעבירים משיק למעגל. המשיק חותך את המשך המיתר CB בנקודה P. המיתרים AE ו-BC נחתכים בנקודה F.
ABCEFP

א.

הוכיחו: ΔPAB∼ΔPCA\Delta PAB\sim\Delta PCAΔPAB∼ΔPCA.

ב.

נתון: PB=4PB=4PB=4, BC=5BC=5BC=5.

חשבו את אורך המשיק PA.

ג.

הוכיחו: PA=PFPA=PFPA=PF.

ד.

נתון: שטח המשולש ABC הוא 10.

חשבו את שטח המשולש APF.

ה.

מהו היחס בין שטח המשולש ABF ובין שטח המשולש AFC? נמקו את תשובתכם.

שאלה 9 · מעגל המשיק לצלע במשולש עם זווית של $6 0^{\circ}$ : יחס החלוקה, אורך המיתר באמצעות הצלעות, חסם ובעיה הפוכהשאלה מלאה · קשה

במשולש ABCABCABC נתון ∠ACB=60∘\angle ACB=60^\circ∠ACB=60∘. נסמן: AC=aAC=aAC=a, BC=bBC=bBC=b.
מעגל עובר דרך הקודקוד CCC, חותך את הצלעות ACACAC ו-BCBCBC בנקודות GGG ו-HHH בהתאמה, ומשיק לצלע ABABAB בנקודה FFF. נתון: GH∥ABGH\parallel ABGH∥AB.
ABCGHF

א.

הוכיחו: AFFB=ab\frac{AF}{FB}=\frac abFBAF​=ba​.

ב.

הביעו באמצעות aaa ו-bbb את היחס GHAB\frac{GH}{AB}ABGH​.

ג.

הוכיחו שבכל משולש כזה GH≤34ABGH\le\frac34ABGH≤43​AB. באיזה משולש מתקבל שוויון?

ד.

נתון: AB=7AB=7AB=7, GHAB=120169\frac{GH}{AB}=\frac{120}{169}ABGH​=169120​, AC>BCAC>BCAC>BC.

מצאו את ACACAC, את BCBCBC ואת רדיוס המעגל.

שאלה 10 · משיק וחותך מנקודה אחת: דמיון, אורך המשיק ויחס שטחיםשאלה מלאה · קלה

מנקודה PPP שמחוץ למעגל יוצאים משיק למעגל בנקודה AAA, וחותך שחותך את המעגל בנקודות BBB ו-CCC (BBB בין PPP ל-CCC), כמו בסרטוט.
PABC

א.

הוכיחו כי △PAB∼△PCA\triangle PAB\sim\triangle PCA△PAB∼△PCA.

ב.

נתון: PB=2PB=2PB=2, BC=6BC=6BC=6.

מצאו את אורך המשיק PAPAPA.

ג.

מצאו את היחס בין שטח המשולש PABPABPAB לשטח המשולש PCAPCAPCA.

ד.

נתון: שטח המשולש ABCABCABC הוא 18.

מצאו את שטח המשולש PABPABPAB.

עוד 10 שאלות על משיק וחותך מנקודה אחת

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

משיק וחותך במעגל: זווית של $13 5^{\circ}$ , יחס שטחים ורדיוס מעגל חסום (שאלה מלאה · בינונית)
המשולש $ABC$ חסום במעגל שהרדיוס שלו הוא $R$ . המשיק למעגל בנקודה $B$ חותך את המשך הצלע $CA$ בנקודה $D$ , כמתואר בסרטוט. נסמן:…
משולש שבו $∠ B = 2∠ C$ ומשיק בקודקוד: יחס השטחים כפונקציה של $\frac{A C}{A B}$ (שאלה מלאה · קשה)
המשולש ABC חסום במעגל, ומתקיים $\angle ABC=2\angle ACB$ . המשיק למעגל בנקודה A חותך את המשך הצלע CB בנקודה E, וחוצה הזווית BAC חותך את הצלע…
ריבוע ומעגל: קוטר, דמיון ומשיק וחותך - מודרך (שאלה מלאה · קלה)
נתון ריבוע $ABCD$ שאורך צלעו 12 ס"מ, ונתון מעגל. הקדקודים $A$ ו- $B$ של הריבוע נמצאים על המעגל. הצלע $DC$ משיקה למעגל בנקודה $E$ . הצלע $AD$ …
משיק וחותך: דמיון משולשים ויחס שטחים (שאלה קצרה · בינונית)
מנקודה $P$ שמחוץ למעגל יוצאים משיק $PT$ ( $T$ נקודת ההשקה) וחותך שחותך את המעגל בנקודות $A$ ו- $B$ ( $A$ בין $P$ ל- $B$ ), כמתואר בסרטוט.
משיק, חותך וחוצה זווית: $P A = PM$ , אורכים מבעיה הפוכה, וחוצה זווית שאינו יכול להיות תיכון (שאלה מלאה · קשה)
מנקודה $P$ שמחוץ למעגל יוצאים משיק למעגל בנקודה $A$ , וחותך שחותך את המעגל בנקודות $B$ ו- $C$ ( $B$ בין $P$ ל- $C$ ). חוצה הזווית $BAC$ חותך את…
משולש חסום שבו $∠ B = 2∠ C$ ומשיק בקודקוד: משפט הסינוסים ויחסי שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
המשולש ABC חסום במעגל. המשיק למעגל בנקודה A חותך את המשך הצלע CB בנקודה E. חוצה הזווית BAC חותך את הצלע BC בנקודה F (ראו סרטוט).
מלבן ומעגל: מתי הנקודה על הצלע, ויחס שטחים (שאלה מלאה · קשה)
נתון מלבן $ABCD$ שבו $AB=a$ , $AD=b$ , ונתון מעגל. הקדקודים $A$ ו- $B$ נמצאים על המעגל, והישר $DC$ משיק למעגל בנקודה $E$ . הישר $AD$ חותך את…
משיק וחותך: אורכים ושטחים (שאלה קצרה · בינונית)
מהנקודה E שמחוץ למעגל יוצאים משיק למעגל, המשיק לו בנקודה A, וחותך שחותך את המעגל בנקודות B ו-C (B בין E ל-C), כמתואר בסרטוט. נתון: $EA=6$ ,…
מלבן ומעגל: משיק, קוטר ודמיון משולשים (שאלה מלאה · בינונית)
נתון מלבן $ABCD$ ( $AB>AD$ ) ונתון מעגל. הקדקודים $A$ ו- $B$ של המלבן נמצאים על המעגל. הצלע $DC$ משיקה למעגל בנקודה $E$ . הצלע $AD$ חותכת את…
משיק וחותך מנקודה: דמיון ואורך המשיק (שאלה קצרה · בינונית)
מהנקודה $P$ שמחוץ למעגל יוצאים המשיק $PT$ ( $T$ נקודת ההשקה) והחותך $PB$ , החותך את המעגל בנקודות $A$ ו- $B$ ( $A$ בין $P$ ל- $B$ ).

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

משיק וחותך דרך המרכז: זוויות, דמיון, משפט המשיק והחותך ויחס שטחים · בגרות 571 קיץ 2022 מועד א', שאלה 4
נתון מעגל שרדיוסו $R$ ומרכזו O. מנקודה A שמחוץ למעגל יוצאים שלושה ישרים: הישר AB משיק למעגל בנקודה B, הישר AD עובר דרך מרכז המעגל O וחותך את המעגל בנקודות C…
משיק וחותך במעגל: משפט הסינוסים המורחב, יחס שטחים ורדיוס מעגל חסום · בגרות 571 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 5
המשולש $ABC$ חסום במעגל שהרדיוס שלו הוא $R$ . המשיק למעגל בנקודה $B$ חותך את המשך הצלע $CA$ בנקודה $D$ , כמתואר בסרטוט. נסמן: $\angle ABD=\alpha$ . נתון:…
מרובע חסום ומשיק: זוויות היקפיות, משפט הסינוסים עם זווית משולשת ויחסי שטחים · בגרות 571 קיץ 2024 מועד א', שאלה 4
המרובע ABCD חסום במעגל. אלכסוני המרובע נחתכים בנקודה F. המשיק למעגל בנקודה C חותך את המשך המיתר AB בנקודה E (ראו סרטוט). נתון: $AB=CB$ .
ריבוע ומעגל: משיק, קוטר ודמיון משולשים · מבחן לדוגמה 4 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 2
נתון ריבוע $ABCD$ ונתון מעגל. הקדקודים $A$ ו- $B$ של הריבוע נמצאים על המעגל. הצלע $DC$ משיקה למעגל בנקודה $E$ . הצלע $AD$ חותכת את המעגל בנקודה $F$ (ראה ציור).