שאלות פתוחות: קיצון מוחלט וקיצון בקצה של תחום סגור - כיתה י"א 5 יח"ל

בדף הזה 8 שאלות פתוחות במתמטיקה על קיצון מוחלט וקיצון בקצה של תחום סגור, לתלמידי כיתה י"א 5 יח"ל, מתוך הנושא "חקירת פונקציה פולינומיאלית (חומר קודם)". השאלות בכמה רמות (קלה, בינונית, קשה), משאלות קצרות לתרגול מיומנות אחת ועד שאלות עם כמה סעיפים. מורים יכולים לבחור מהן שאלות, לבנות מבחן או דף עבודה, להוסיף פתרונות ולהוריד ל-Word.

8 שאלותקלה: 2בינונית: 4קשה: 2

שאלה 1 · ערך גדול ביותר וקטן ביותר בקטע סגורשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=x3−3x2−45xf(x)=x^3-3x^2-45xf(x)=x3−3x2−45x בתחום −1≤x≤6-1\le x\le6−1≤x≤6.

מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של הפונקציה בתחום, ואת ערכי xxx שבהם הם מתקבלים.

שאלה 2 · קטע אופקי בין גרף $x^{3} + x - 2$ לישר: אורך מינימלי ומקסימלי בתחום סגורשאלה מלאה · בינונית

בסרטוט שלפניכם מתוארים גרף הפונקציה: f(x)=x3+x−2f(x)=x^3+x-2f(x)=x3+x−2 והישר y=4x+by=4x+by=4x+b. bbb הוא פרמטר חיובי. הנקודה AAA נמצאת על גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) כך ששיעור ה-xxx שלה קטן משיעור ה-xxx של נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם הישר הנתון. הנקודה BBB נמצאת על הישר הנתון כך שהקטע ABABAB מקביל לציר ה-xxx. נסמן ב-ttt את שיעור ה-xxx של הנקודה AAA. נתון: −0.5≤t≤1.8-0.5\le t\le1.8−0.5≤t≤1.8.
f(x)
AB

א.

הביעו באמצעות bbb ו-ttt את שיעור ה-xxx של הנקודה BBB.

ב.

(1)

מצאו את הערך של ttt שבעבורו אורך הקטע ABABAB הוא מינימלי.

(2)

מצאו את הערך של ttt שבעבורו אורך הקטע ABABAB הוא מקסימלי.

שאלה 3 · ערך קיצון מוחלט שמתקבל בשתי נקודותשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x3−9x2+24xf(x)=x^3-9x^2+24xf(x)=x3−9x2+24x. בשאלה שני סעיפים שאינם תלויים זה בזה.

א.

מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של f(x)f(x)f(x) בתחום 1≤x≤61\le x\le61≤x≤6, ואת כל ערכי xxx שבהם הם מתקבלים.

ב.

מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של f(x)f(x)f(x) בתחום 0≤x≤50\le x\le50≤x≤5, ואת כל ערכי xxx שבהם הם מתקבלים.

שאלה 4 · ערך גדול ביותר וקטן ביותר בקטע סגורשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=20x−2x2f(x)=20x-2x^2f(x)=20x−2x2.

א.

מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של f(x)f(x)f(x) בתחום 1≤x≤41\le x\le41≤x≤4.

ב.

מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של f(x)f(x)f(x) בתחום 1≤x≤81\le x\le81≤x≤8.

שאלה 5 · קיצון מוחלט: בנקודה פנימית או בקצהשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=2x3−9x2−24xf(x)=2x^3-9x^2-24xf(x)=2x3−9x2−24x, המוגדרת בתחום −2≤x≤7-2\le x\le7−2≤x≤7.

מצאו את הנקודות שבהן הפונקציה מקבלת את ערכה הגדול ביותר ואת ערכה הקטן ביותר בתחום, ואת הערכים האלה.

שאלה 6 · ערך גדול ביותר של הפונקציה ושל הערך המוחלט שלהשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=3x4+4x3−12x2f(x)=3x^4+4x^3-12x^2f(x)=3x4+4x3−12x2.

א.

מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה (לכל xxx) וקבעו את סוגן.

ב.

מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של f(x)f(x)f(x) בתחום −3≤x≤2-3\le x\le2−3≤x≤2, ואת ערכי xxx שבהם הם מתקבלים.

ג.

מצאו את הערך הגדול ביותר של ∣f(x)∣|f(x)|∣f(x)∣ בתחום −3≤x≤2-3\le x\le2−3≤x≤2, ואת כל ערכי xxx בתחום שבהם הוא מתקבל.

שאלה 7 · קיצון מוחלט מול קיצון מקומי בקטע סגורשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=2x3−9x2+12x+7f(x)=2x^3-9x^2+12x+7f(x)=2x3−9x2+12x+7 המוגדרת בתחום 0≤x≤30\le x\le30≤x≤3.

מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של הפונקציה בתחום, ואת הנקודות שבהן הם מתקבלים.

שאלה 8 · נקודות קיצון בקצות התחום וקבוצת הערכיםשאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x3+3x2−24xf(x)=x^3+3x^2-24xf(x)=x3+3x2−24x בתחום −5≤x≤4-5\le x\le4−5≤x≤4.

א.

מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה שאינן בקצות התחום, וקבעו את סוגן.

ב.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון שבקצות התחום, וקבעו את סוגן.

ג.

מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של הפונקציה בתחום, ואת קבוצת הערכים שהפונקציה מקבלת בתחום.