שאלות פתוחות: פולינום עם פרמטר: מציאת הפרמטר לפי נקודה או נקודת קיצון - כיתה י"א 5 יח"ל

בדף הזה 15 שאלות פתוחות במתמטיקה על פולינום עם פרמטר: מציאת הפרמטר לפי נקודה או נקודת קיצון, לתלמידי כיתה י"א 5 יח"ל, מתוך הנושא "חקירת פונקציה פולינומיאלית (חומר קודם)". השאלות בכמה רמות (קלה, בינונית, קשה), משאלות קצרות לתרגול מיומנות אחת ועד שאלות עם כמה סעיפים. מורים יכולים לבחור מהן שאלות, לבנות מבחן או דף עבודה, להוסיף פתרונות ולהוריד ל-Word.

15 שאלותקלה: 8בינונית: 3קשה: 4

שאלה 1 · מציאת פרמטר מנקודת קיצון נתונהשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=x3+ax2+21x+2f(x)=x^3+ax^2+21x+2f(x)=x3+ax2+21x+2, כאשר aaa פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון שבה x=7x=7x=7.

מצאו את aaa. מצאו את שיעור ה-xxx של נקודת הקיצון השנייה של f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוג שתי נקודות הקיצון.

שאלה 2 · שני פרמטרים מנקודת קיצון נתונהשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x3+ax2+bx+4f(x)=x^3+ax^2+bx+4f(x)=x3+ax2+bx+4, כאשר aaa ו-bbb פרמטרים. הנקודה (1,0)(1,0)(1,0) היא נקודת קיצון של f(x)f(x)f(x).

מצאו את aaa ואת bbb, וקבעו את סוג נקודת הקיצון (1,0)(1,0)(1,0).

שאלה 3 · משיק לפולינום עם פרמטר: מתי לשטח המשולש יש מקסימוםשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=3x3+8x2+cxf(x)=3x^3+8x^2+cxf(x)=3x3+8x2+cx, כאשר ccc פרמטר. הנקודה B נמצאת על גרף הפונקציה ברביע השני, ו-ttt הוא שיעור ה-xxx שלה. המשיק לגרף בנקודה B חותך את ציר ה-yyy בנקודה C, שנמצאת מתחת לציר ה-xxx. O היא ראשית הצירים.

א.

הביעו באמצעות ttt את שיעור ה-yyy של הנקודה C. האם הוא תלוי ב-ccc?

ב.

עבור c=−3c=-3c=−3: מצאו את תחום הערכים של ttt, ואת השטח המקסימלי של המשולש OBC.

ג.

מצאו את כל ערכי ccc שבעבורם לשטח המשולש OBC יש ערך מקסימלי, ומצאו את הערך הזה.

שאלה 4 · מציאת מקדם מנקודת קיצון נתונהשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=x4+ax2f(x)=x^4+ax^2f(x)=x4+ax2, כאשר aaa הוא מספר קבוע. לפונקציה יש נקודת קיצון שבה x=2x=2x=2.

מצאו את aaa.

שאלה 5 · פולינום ממעלה רביעית: פרמטרים משתי נקודות קיצוןשאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=3x4+ax3+bx2f(x)=3x^4+ax^3+bx^2f(x)=3x4+ax3+bx2, כאשר aaa ו-bbb פרמטרים. לפונקציה יש נקודות קיצון שבהן x=2x=2x=2 ו-x=3x=3x=3.

א.

מצאו את aaa ואת bbb.

ב.

מצאו את כל נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) וקבעו את סוגן.

ג.

מהו הערך הקטן ביותר שהפונקציה f(x)f(x)f(x) מקבלת? נמקו.

שאלה 6 · פולינום עם פרמטר במקדם $x^{2}$ : נקודת פיתול, תנאי לאי-קיום קיצון ומלבן מקסימלישאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x3−3kx2+3xf(x)=x^3-3kx^2+3xf(x)=x3−3kx2+3x, המוגדרת לכל xxx. kkk הוא פרמטר שונה מ-0.
הנקודה A היא נקודת הפיתול של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

א.

הביעו באמצעות kkk את שיעורי הנקודה A.

ב.

מצאו את כל ערכי kkk שבעבורם הנקודה A נמצאת ברביע הראשון ולפונקציה f(x)f(x)f(x) אין נקודות קיצון.

ג.

דרך הנקודה A העבירו אנך לציר ה-xxx החותך אותו בנקודה B, ואנך לציר ה-yyy החותך אותו בנקודה C.

מבין הערכים של kkk שבעבורם A ברביע הראשון, מצאו את kkk שבעבורו שטח המלבן OBAC (O ראשית הצירים) הוא מקסימלי, ואת השטח המקסימלי.

ד.

מצאו את כל ערכי kkk שבעבורם A ברביע הראשון ושטח המלבן OBAC שווה ל-1.

שאלה 7 · פרמטר בפולינום ממעלה שלישית: קיום נקודות קיצוןשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x3−kx2+12xf(x)=x^3-kx^2+12xf(x)=x3−kx2+12x, כאשר kkk פרמטר. בשאלה שני סעיפים שאינם תלויים זה בזה.

א.

מצאו את כל ערכי kkk שבעבורם אין לפונקציה f(x)f(x)f(x) נקודות קיצון.

ב.

מצאו את kkk שבעבורו לפונקציה f(x)f(x)f(x) יש נקודת מינימום שבה x=6x=6x=6.

שאלה 8 · פולינום עם פרמטר: סוג הקיצון תלוי בסימן הפרמטרשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x3−6kx2+9k2xf(x)=x^3-6kx^2+9k^2xf(x)=x3−6kx2+9k2x, כאשר k≠0k\ne0k=0 פרמטר.

א.

הביעו באמצעות kkk את שיעורי נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגן. הבחינו בין k>0k>0k>0 לבין k<0k<0k<0.

ב.

ידוע כי ערך המינימום המקומי של f(x)f(x)f(x) הוא −32-32−32. מצאו את kkk.

ג.

הציבו k=−2k=-2k=−2. מצאו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x)f(x) ואת נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים, וסרטטו סקיצה של הגרף.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (7)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

פולינום ממעלה שלישית עם פרמטר: שטח ושורשים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^3-3a^2x+2a^3$ , כאשר $a>0$ הוא פרמטר.
פולינום עם פרמטר, כיווץ אנכי ושטח בין הגרפים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=ax^3+6x^2-9x$ , $a$ הוא פרמטר.
פולינום עם פרמטר, כיווץ אנכי ושטח בין הגרפים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=ax^3+9x^2$ , $a$ הוא פרמטר.
פולינום ממעלה רביעית עם פרמטר: מינימומים שווים ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קלה)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת…
פרמטר מנקודת קיצון (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^3+ax^2-24x+1$ , $a$ הוא פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון שבה $x=2$ .
מלבן בין פרבולה לישר משתנה: מתי יש מקסימום (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^2+2$ ונתון הישר $x=k$ , כאשר $k>0$ . הנקודה $A$ נמצאת על גרף הפונקציה ברביע הראשון, משמאל…
בעיית קיצון עם פרמטר: הישר, המקבילית הגדולה וקודקוד הפרבולה (שאלה מלאה · קלה)
נתונים הפונקציה $f(x)=-x^2+20x$ והישר $y=kx$ , כאשר $0<k<20$ . הנקודה $A$ נמצאת על גרף הפונקציה ברביע הראשון,…