מבחן לדוגמה: תכנון ליניארי - כיתה י"ב 3 יח"ל

בבית מלאכה לתכשיטים מכינים שני סוגי שרשראות: שרשרת עם חרוזים ושרשרת בלי חרוזים. לכל שרשרת עם חרוזים דרושים $40$ ס"מ חוט כסף ו-$10$ חרוזים. לכל שרשרת בלי חרוזים דרושים $60$ ס"מ חוט כסף. ביום מסוים היו בבית המלאכה $24$ מטר חוט כסף לכל היותר ו-$300$ חרוזים לכל היותר. בעלת בית המלאכה החליטה שמספר השרשראות עם החרוזים יהיה לפחות חצי ממספר השרשראות בלי החרוזים. נסמן ב-$x$ את מספר השרשראות עם חרוזים וב-$y$ את מספר השרשראות בלי חרוזים שמכינים ביום זה.

נגרייה קטנה מייצרת שולחנות וכיסאות. בשבוע מסוים:

•אפשר לייצר לכל היותר 10 רהיטים בסך הכול (בגלל המקום במחסן).

•לייצור שולחן דרושות 2 שעות עבודה, ולייצור כיסא דרושה שעת עבודה אחת. יש לכל היותר 14 שעות עבודה.

•הרווח משולחן הוא 300 שקלים, והרווח מכיסא הוא 200 שקלים.

סמנו ב-$x$ את מספר השולחנות וב-$y$ את מספר הכיסאות שהנגרייה מייצרת בשבוע זה.

מפעל מייצר שני סוגים של מטענים: מטען קטן ומטען גדול. כל מטען עובר בשתי מכונות, A ו-B.

במחזור ייצור אחד אפשר להפעיל את מכונה A במשך 20 שעות לכל היותר ואת מכונה B במשך 30 שעות לכל היותר.

נסמן ב-$x$ את מספר המטענים הקטנים וב-$y$ את מספר המטענים הגדולים במחזור ייצור אחד.

הרווח מכל מטען קטן הוא 300 שקלים, והרווח מכל מטען גדול הוא $p$ שקלים ($p>0$).

במסגרת טיפול רפואי הומלץ לדנה לאכול רק שני סוגי מזון, א' ו-ב'. בטבלה מוצגת התכולה של יחידה מכל סוג:

עליה לאכול ביום לפחות $48$ גרם סיבים תזונתיים, לפחות $120$ גרם חלבונים ולפחות $360$ גרם פחמימות. נסמן ב-$x$ את מספר יחידות המזון מסוג א' וב-$y$ את מספר יחידות המזון מסוג ב' שדנה אוכלת ביום. מערכת האילוצים של הבעיה: $8x+2y\ge48$, $10x+10y\ge120$, $20x+60y\ge360$, $x\ge0$, $y\ge0$ (כלומר $4x+y\ge24$, $x+y\ge12$, $x+3y\ge18$). בסרטוט מתואר התחום האפשרי של הבעיה (תחום פתוח).

שתי מאפיות, מאפייה א' ומאפייה ב', מכינות שני סוגי עוגות: עוגות שוקולד ועוגות גבינה.

נסמן: $x$ - מספר עוגות השוקולד, $y$ - מספר עוגות הגבינה.

מערכת האילוצים של מאפייה א' היא: $x\ge0$, $y\ge0$, $y\le2x+10$, $x+y\le70$.

מערכת האילוצים של מאפייה ב' היא: $x\ge0$, $y\ge0$, $x\le40$, $y\le0.5x+40$.

בשני הגרפים: ציר $x$ - עוגות שוקולד, ציר $y$ - עוגות גבינה.

גרף 1 מתאר את התחום האפשרי של מאפייה א', וגרף 2 מתאר את התחום האפשרי של מאפייה ב'. קדקודי התחום בגרף 1 הם $O$, $M$, $N$ ו-$R$, וקדקודי התחום בגרף 2 הם $O$, $F$, $G$ ו-$H$.

ספריית בית ספר קונה ספרי קריאה וספרי עיון.

נסמן ב-$x$ את מספר ספרי הקריאה וב-$y$ את מספר ספרי העיון שהספרייה תקנה.

הספרייה צריכה לקנות לפחות 60 ספרים. מספר ספרי העיון צריך להיות גדול לפחות פי 2 ממספר ספרי הקריאה.

בסרטוט שלפניכם מתואר התחום האפשרי (הפתוח) המתאים לבעיה.

קדקודי התחום הם $K(20,40)$ ו-$L(0,60)$.

בחנות ממתקים מרכיבים מארזי שי מחפיסות שוקולד ומחטיפים. בכל מארז יש לכל היותר $20$ פריטים. משקל חפיסת שוקולד הוא $150$ גרם, משקל חטיף הוא $50$ גרם, ומשקל מארז הוא לכל היותר $1{,}500$ גרם.

חקלאי רוצה לדשן שדה בשני סוגי דשן שנמכרים בשקים: דשן "צמיחה" ודשן "פרי".

נסמן ב-$x$ את מספר שקי "צמיחה" שהחקלאי יקנה, ונסמן ב-$y$ את מספר שקי "פרי" שהוא יקנה.

•חנקן: בכל שק "צמיחה" יש 30 ק"ג ובכל שק "פרי" 10 ק"ג.

•זרחן: בכל שק "צמיחה" יש 10 ק"ג ובכל שק "פרי" 20 ק"ג.

השדה צריך לקבל לפחות 180 ק"ג חנקן ולפחות 160 ק"ג זרחן.

במחסן של החקלאי יש מקום לכל היותר ל-14 שקים.