מבחן לדוגמה: אינטגרלים שהקדומה שלהם לוגריתמית - כיתה י"ב 4 יח"ל

מצאו את $a$.

הציבו $a=3$. מצאו את $f(x)$ ואת משוואת המשיק לגרף $F(x)$ בנקודה שבה $x=1$.

מצאו את שיעורי נקודת ההשקה, והראו ששיפוע הגרף בנקודה זו שווה לשיפוע הישר.

הראו כי $f(x)=2\ln(x-1)+3$.

רשמו את משוואת האסימפטוטה של $f(x)$ המאונכת לציר ה-$x$, ומצאו את תחומי העלייה והירידה של $f(x)$.

חשבו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה-$x$ (בתשובה דייקו עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית).

נתונה הפונקציה $g(x)=-f(x)$.

רשמו את האסימפטוטה של $g(x)$ המאונכת לציר ה-$x$ ואת תחומי העלייה והירידה של $g(x)$.

הביעו כל אחד משני האינטגרלים באמצעות $k$.

מצאו את $k$.

הראו כי עבור הערך של $k$ שמצאתם בסעיף ב, הערך המשותף של שני האינטגרלים שווה ל-$6\ln k$.

מצאו את משוואת המשיק.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, המשיק והישר $x=2$ (השטח המקווקו בשרטוט).

מצאו את נקודת החיתוך של גרפי שתי הפונקציות.

חשבו את השטח המוגבל על ידי שני הגרפים ועל ידי הישר $x=5$.

התאימו בין הגרפים I ו-II ובין הפונקציות $f(x)$ ו-$g(x)$. נמקו.

הביעו באמצעות $k$ את שיעורי נקודת החיתוך של הגרפים.

השטח הכלוא בין הגרפים והישרים $x=-2$ ו-$x=2$ הוא $10\ln\frac43$. מצאו את $k$.

הציבו $k=5$.

מצאו את המספר $t$, $-2<t<4$, שעבורו $\int_{-2}^{t}\big(f(x)-g(x)\big)\,dx=0$.

הביעו באמצעות $a$ את תחום ההגדרה של $f(x)$ ואת משוואת האסימפטוטה המאונכת לציר ה-x.

מצאו באמצעות $a$ את שיעורי נקודת הקיצון של $f(x)$, וקבעו את סוגה.

נתון כי השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$, על ידי ציר ה-x ועל ידי הישר $x=e^{a+1}$ הוא $(e-2)e^3$.

מצאו את $a$.

הציבו $a=1$.

מצאו לאילו ערכים של $m$ למשוואה $f(x)=m$ אין פתרון, לאילו יש פתרון אחד, ולאילו יש שני פתרונות.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם הצירים.

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$, וקבעו את סוגה.

חשבו את השטח המוגבל בין גרף הנגזרת $f'(x)$, הישר $x=e^3$ וציר ה-$x$.