מבחן לדוגמה: ישרים ומישורים במרחב - כיתה י"ב 4 יח"ל

מצאו את כל המקצועות של הקובייה המצטלבים עם המקצוע $AB$. נמקו.

הוכיחו כי $MN\parallel AD$, ומצאו את היחס $MN:AD$.

קבעו מהו המצב ההדדי בין הישרים $AM$ ו-$DN$. נמקו.

נסמן ב-$P$ את נקודת החיתוך של הישרים $AM$ ו-$DN$. הוכיחו כי $M$ היא אמצע הקטע $AP$, וכי $SP\parallel AB$.

הוכיחו כי $MM'\parallel CC'$ וכי $MM'=CC'$.

הסבירו מדוע הישרים $MM'$ ו-$CC'$ קובעים מישור, והוכיחו כי המרובע $MCC'M'$ הוא מקבילית.

נתון: $AC=BC=10$, $AB=12$, $CC'=9$.

חשבו את היקף המרובע $MCC'M'$.

הוכיחו: אם שלושה ישרים נחתכים זה עם זה בזוגות, ואין נקודה המשותפת לשלושתם, אז שלושת הישרים נמצאים במישור אחד.

הראו בעזרת מקצועות של הקובייה שאם לשלושת הישרים יש נקודה משותפת, הם אינם חייבים להימצא במישור אחד.

הוכיחו כי הישר $SA$ מקביל למישור $MBD$.

קבעו מהו המצב ההדדי בין מישורי הפאות $ABB'A'$ ו-$DCC'D'$. נמקו.

המישור $BDD'B'$ חותך את מישור הבסיס $ABCD$ ואת מישור הבסיס העליון $A'B'C'D'$. מצאו את שני ישרי החיתוך, וקבעו מהו המצב ההדדי ביניהם.

הראו כי הנקודות $P$ ו-$Q$ נמצאות שתיהן במישור $A'BD$ וגם במישור $AB'D'$.

קבעו את המצב ההדדי בין המישורים $A'BD$ ו-$AB'D'$, ותארו את ישר החיתוך שלהם אם יש כזה. האם הנקודה $A$ נמצאת עליו?

נתון כי אורך מקצוע הקובייה הוא $4$. הוכיחו כי ישר החיתוך שמצאתם בסעיף ב מקביל למישור הבסיס $ABCD$, ומצאו את אורך הקטע $PQ$.

הביעו באמצעות $\underline{u}$, $\underline{v}$ ו-$\underline{w}$ את הווקטורים $\overrightarrow{BC}$ ו-$\overrightarrow{ED}$.

הראו כי $\overrightarrow{AM}=\frac13\underline{u}+\frac13\underline{v}+\frac13\underline{w}$.

נתון: $|\underline u|=|\underline v|=|\underline w|=9$.

נתון: $A(0,0,0)$. הקודקודים B, C ו-E נמצאים על החלק החיובי של צירי ה-x, ה-y וה-z (בהתאמה).