שאלות פתוחות: ישר מאונך למישור: הגדרה והתנאי המספיק - כיתה י"ב 4 יח"ל

שאלות פתוחות על ישר מאונך למישור - הגדרה והתנאי המספיק - לכיתה י"ב (4 יחידות). התלמידים מחשבים אלכסון של תיבה כשמקצוע צדדי מאונך לבסיס, מראים שגובה בפירמידה מאונך לישר בבסיס, ומוכיחים שהקטע מקודקוד הראש למפגש האלכסונים מאונך לבסיס כשמקצועות נגדיים שווים. בחלק מהשאלות יש נקודה על קטע לפי יחס וקטורי. השאלות ברמות קלה, בינונית וקשה. אפשר לבחור מהן לבוחן או למבחן, עם פתרון מלא וייצוא לוורד.

13 שאלותקלה: 3בינונית: 7קשה: 3

שאלה 1 · ישר מאונך למישור: הגדרה והתנאי המספיקשאלה קצרה · קלה

בתיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ (הבסיס ABCDABCDABCD, והמקצועות AA′AA'AA′, BB′BB'BB′, CC′CC'CC′, DD′DD'DD′ מאונכים לבסיס) נתון: AB=6AB=6AB=6, AD=8AD=8AD=8, ואורך האלכסון A′CA'CA′C הוא 262626.

א.

חשבו את אורך המקצוע AA′AA'AA′.

ב.

חשבו את הזווית בין האלכסון A′CA'CA′C לאלכסון הבסיס ACACAC.

שאלה 2 · ישר מאונך למישור: הגדרה והתנאי המספיקשאלה קצרה · בינונית

בתיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ שבשרטוט (הבסיס ABCDABCDABCD, והמקצועות AA′AA'AA′, BB′BB'BB′, CC′CC'CC′, DD′DD'DD′ מאונכים לבסיס) נתון: AB=4AB=4AB=4, AD=7AD=7AD=7, AA′=9AA'=9AA′=9. הנקודה KKK נמצאת על המקצוע CC′CC'CC′ כך ש-CK=3CK=3CK=3. המישור ADKADKADK חותך את המקצוע BB′BB'BB′ בנקודה LLL.
ABCDA'B'C'D'KL

א.

הוכיחו כי המרובע ADKLADKLADKL הוא מלבן.

ב.

חשבו את שטח המלבן ADKLADKLADKL.

שאלה 3 · וקטורים בפירמידה: איפה על הקטע נמצאת הנקודה שהווקטור אליה מאונך למישורשאלה מלאה · קשה

בסרטוט שלפניכם פירמידה ABCEABCEABCE. המקצוע AEAEAE הוא גובה בפירמידה, ∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ∠BAC=90∘ ו-AB=AC=12AB=AC=12AB=AC=12. הנקודה DDD היא אמצע המקצוע BCBCBC. הנקודה MMM נמצאת על הקטע EDEDED כך ש-AM→\overrightarrow{AM}AM מאונך ל-ED→\overrightarrow{ED}ED. נסמן EM→=t⋅ED→\overrightarrow{EM}=t\cdot\overrightarrow{ED}EM=t⋅ED. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}AB=u​, AC→=v‾\overrightarrow{AC}=\underline{v}AC=v​, AE→=w‾\overrightarrow{AE}=\underline{w}AE=w​.
ABCEDM

א.

הביעו באמצעות u‾\underline uu​, v‾\underline vv​ ו-w‾\underline ww​ את הווקטורים ED→\overrightarrow{ED}ED ו-BC→\overrightarrow{BC}BC.

ב.

נתון: AE=6AE=6AE=6.

מצאו את הערך של ttt.

ג.

הוכיחו כי AM→\overrightarrow{AM}AM מאונך למישור BEC, וחשבו את אורך הקטע AM.

ד.

מעתה האורכים AB=AC=12AB=AC=12AB=AC=12 נשארים, אבל אורך הגובה AEAEAE שונה. נתון כי הנקודה MMM שעל EDEDED, שעבורה AM→\overrightarrow{AM}AM מאונך ל-ED→\overrightarrow{ED}ED, מקיימת EM→=23ED→\overrightarrow{EM}=\frac23\overrightarrow{ED}EM=32​ED.

(1)

מצאו את אורך הגובה AEAEAE.

(2)

עבור הגובה שמצאתם, חשבו את אורך הקטע AMAMAM ואת שטח המשולש AMDAMDAMD.

שאלה 4 · וקטורים בפירמידה עם מקצועות שווים: ניצבות ושטחשאלה מלאה · קלה

בסרטוט שלפניכם פירמידה ABCEABCEABCE. הנקודה DDD היא אמצע המקצוע BCBCBC. הנקודה MMM נמצאת על EDEDED כך ש-EM→=23ED→\overrightarrow{EM}=\frac23\overrightarrow{ED}EM=32​ED. המקצוע AEAEAE הוא גובה בפירמידה, ו-∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ∠BAC=90∘. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}AB=u​, AC→=v‾\overrightarrow{AC}=\underline{v}AC=v​, AE→=w‾\overrightarrow{AE}=\underline{w}AE=w​.
ABCEDM

א.

הביעו באמצעות u‾\underline{u}u​, v‾\underline{v}v​ ו-w‾\underline{w}w​ את הווקטורים BC→\overrightarrow{BC}BC ו-ED→\overrightarrow{ED}ED.

ב.

הראו כי AM→=13u‾+13v‾+13w‾\overrightarrow{AM}=\frac13\underline{u}+\frac13\underline{v}+\frac13\underline{w}AM=31​u​+31​v​+31​w​.

ג.

נתון: ∣u‾∣=∣v‾∣=∣w‾∣=9|\underline u|=|\underline v|=|\underline w|=9∣u​∣=∣v​∣=∣w​∣=9.

(1)

חשבו את AM→⋅ED→\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{ED}AM⋅ED ואת AM→⋅BC→\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BC}AM⋅BC.

(2)

ישר המאונך לשני ישרים נחתכים במישור מאונך למישור. היעזרו בכך והסבירו מדוע AM→\overrightarrow{AM}AM מאונך למישור BEC.

ד.

נתון: A(0,0,0)A(0,0,0)A(0,0,0). הקודקודים B, C ו-E נמצאים על החלק החיובי של צירי ה-x, ה-y וה-z (בהתאמה).

(1)

מצאו את שיעורי הנקודות B, C, E, D ו-M.

(2)

הסבירו מדוע הזווית ∠AMD\angle AMD∠AMD ישרה, וחשבו את שטח המשולש AMD.

שאלה 5 · ישר מאונך למישור: הגדרה והתנאי המספיקשאלה קצרה · בינונית

בתיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ (הבסיס ABCDABCDABCD, והמקצועות AA′AA'AA′, BB′BB'BB′, CC′CC'CC′, DD′DD'DD′ מאונכים לבסיס) נתון: AB=3AB=3AB=3, BC=5BC=5BC=5. אלכסון התיבה A′CA'CA′C מאונך לאלכסון הפאה BC′BC'BC′.

א.

מצאו את אורך המקצוע AA′AA'AA′.

ב.

חשבו את נפח התיבה.

שאלה 6 · הגובה של פירמידה שמקצועותיה הנגדיים שוויםשאלה קצרה · קשה

בפירמידה SABCDSABCDSABCD שבשרטוט הבסיס ABCDABCDABCD הוא מקבילית, ו-OOO היא נקודת המפגש של אלכסוני הבסיס. נתון: SA=SCSA=SCSA=SC ו-SB=SDSB=SDSB=SD.
ABCDSO

הוכיחו כי הישר SOSOSO מאונך למישור הבסיס ABCDABCDABCD.

שאלה 7 · מקצוע צדדי של תיבה מתוך אורך האלכסוןשאלה קצרה · קלה

בתיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ (הבסיס ABCDABCDABCD, והמקצועות AA′AA'AA′, BB′BB'BB′, CC′CC'CC′, DD′DD'DD′ מאונכים לבסיס) נתון: AB=6AB=6AB=6, AD=8AD=8AD=8, ואורך האלכסון A′CA'CA′C הוא 262626.
ABCDA'B'C'D'

חשבו את אורך המקצוע AA′AA'AA′.

שאלה 8 · וקטורים בפירמידה נמוכה: ניצבות של וקטור למישור ושטח משולששאלה מלאה · בינונית

בסרטוט שלפניכם פירמידה ABCSABCSABCS. הנקודה DDD היא אמצע המקצוע BCBCBC. הנקודה NNN נמצאת על SDSDSD כך ש-SN→=13SD→\overrightarrow{SN}=\frac13\overrightarrow{SD}SN=31​SD. המקצוע ASASAS הוא גובה בפירמידה. נתון: ∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ∠BAC=90∘. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}AB=u​, AC→=v‾\overrightarrow{AC}=\underline{v}AC=v​, AS→=w‾\overrightarrow{AS}=\underline{w}AS=w​.
ABCSDN

א.

הביעו באמצעות u‾\underline{u}u​, v‾\underline{v}v​ ו-w‾\underline{w}w​ את הווקטורים BC→\overrightarrow{BC}BC, SD→\overrightarrow{SD}SD ו-AN→\overrightarrow{AN}AN.

ב.

נתון: ∣u‾∣=∣v‾∣=6|\underline{u}|=|\underline{v}|=6∣u​∣=∣v​∣=6, ∣w‾∣=3|\underline{w}|=3∣w​∣=3.

(1)

הוכיחו כי AN→\overrightarrow{AN}AN מאונך ל-SD→\overrightarrow{SD}SD.

(2)

הוכיחו כי AN→\overrightarrow{AN}AN מאונך למישור BSC.

ג.

נתון: A(0,0,0)A(0,0,0)A(0,0,0). הקודקוד B נמצא על החלק החיובי של ציר ה-x, הקודקוד C נמצא על החלק החיובי של ציר ה-y, והקודקוד S נמצא על החלק החיובי של ציר ה-z.

(1)

מה הם שיעורי הנקודות B, C ו-S?

(2)

מצאו את שיעורי הנקודות D ו-N.

ד.

חשבו את שטח המשולש AND.

שאלה 9 · אלכסון הבסיס מאונך למישור אלכסוני בתיבהשאלת ביניים · קשה

בתיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ שבשרטוט (הבסיס ABCDABCDABCD, והמקצועות AA′AA'AA′, BB′BB'BB′, CC′CC'CC′, DD′DD'DD′ מאונכים לבסיס) הבסיס ABCDABCDABCD הוא ריבוע שאורך צלעו 888, ו-AA′=7AA'=7AA′=7. OOO היא נקודת המפגש של אלכסוני הבסיס.
ABCDA'B'C'D'O

א.

הוכיחו כי A′B=A′DA'B=A'DA′B=A′D, והסיקו כי A′O⊥BDA'O\perp BDA′O⊥BD.

ב.

הוכיחו כי BDBDBD מאונך למישור ACC′A′ACC'A'ACC′A′.

ג.

הנקודה MMM נמצאת על המקצוע AA′AA'AA′ כך ש-AM=4AM=4AM=4.

חשבו את שטח המשולש MBDMBDMBD.

שאלה 10 · וקטורים בפירמידה עם בסיס ישר-זווית לא שווה-שוקיים: ניצבות למישור ושטח משולששאלה מלאה · בינונית

בסרטוט שלפניכם פירמידה ABCEABCEABCE. הנקודה DDD נמצאת על המקצוע BCBCBC כך ש-BD→=45BC→\overrightarrow{BD}=\frac45\overrightarrow{BC}BD=54​BC. הנקודה MMM נמצאת על EDEDED כך ש-EM→=56ED→\overrightarrow{EM}=\frac56\overrightarrow{ED}EM=65​ED. המקצוע AEAEAE הוא גובה בפירמידה. נתון: ∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ∠BAC=90∘. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}AB=u​, AC→=v‾\overrightarrow{AC}=\underline{v}AC=v​, AE→=w‾\overrightarrow{AE}=\underline{w}AE=w​.
ABCEDM

א.

הביעו באמצעות u‾\underline{u}u​, v‾\underline{v}v​ ו-w‾\underline{w}w​ את הווקטורים BC→\overrightarrow{BC}BC, ED→\overrightarrow{ED}ED ו-AM→\overrightarrow{AM}AM.

ב.

נתון: ∣u‾∣=6|\underline{u}|=6∣u​∣=6, ∣v‾∣=3|\underline{v}|=3∣v​∣=3, ∣w‾∣=6|\underline{w}|=6∣w​∣=6.

(1)

הוכיחו כי AM→\overrightarrow{AM}AM מאונך ל-ED→\overrightarrow{ED}ED.

(2)

הוכיחו כי AM→\overrightarrow{AM}AM מאונך למישור BECBECBEC.

ג.

נתון: A(0,0,0)A(0,0,0)A(0,0,0). הקודקוד BBB נמצא על החלק החיובי של ציר ה-xxx, הקודקוד CCC נמצא על החלק החיובי של ציר ה-yyy, והקודקוד EEE נמצא על החלק החיובי של ציר ה-zzz.

(1)

מה הם שיעורי הנקודות BBB, CCC ו-EEE?

(2)

מצאו את שיעורי הנקודות DDD ו-MMM.

ד.

חשבו את שטח המשולש AMDAMDAMD.

עוד 2 שאלות על ישר מאונך למישור: הגדרה והתנאי המספיק

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

חתך מלבני של תיבה: מקצוע המאונך לפאה (שאלה קצרה · בינונית)
בתיבה $ABCDA'B'C'D'$ שבשרטוט (הבסיס $ABCD$ , והמקצועות $AA'$ , $BB'$ , $CC'$ , $DD'$ מאונכים לבסיס) הנקודה $K$ נמצאת על המקצוע $CC'$ כך…
מקצוע צדדי המאונך לשתי צלעות הבסיס (שאלת ביניים · בינונית)
בפירמידה $SABCD$ שבשרטוט הבסיס $ABCD$ הוא מלבן שבו $AB=12$ , $AD=5$ . המקצוע $SA$ מאונך לצלעות $AB$ ו- $AD$ , ואורך המקצוע $SB$ הוא $15$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

וקטורים בפירמידה: ניצבות של וקטור למישור ושטח משולש · בגרות 472 קיץ 2025 מועד א', שאלה 2
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCE$ . הנקודה $D$ היא אמצע המקצוע $BC$ . הנקודה $M$ נמצאת על $ED$ כך ש- $\overrightarrow{EM}=\frac23\overrightarrow{ED}$ . המקצוע $AE$ הוא גובה בפירמידה. נתון:…