שאלות פתוחות: מצב הדדי בין שני מישורים וישר החיתוך - כיתה י"ב 4 יח"ל

שאלות על מצב הדדי בין שני מישורים וישר החיתוך, לכיתה י"ב, 4 יחידות. בשאלות מוצאים את ישר החיתוך בין שני מישורים בקובייה שאורך מקצועה 4, בפירמידה שבסיסה ריבוע ובפירמידה שבסיסה מקבילית, ובודקים איפה מישור שעובר דרך אמצע מקצוע צדדי ושני קודקודי בסיס חותך מקצוע נוסף. יש גם שאלות עם מרכז של פאה בקובייה. רוב השאלות בינוניות, לצד קלה וקשות. זה מקבץ קטן שמתאים לבוחן קצר או לדף עבודה במרחב, עם פתרון מלא לכל שאלה וייצוא לוורד.

9 שאלותקלה: 1בינונית: 6קשה: 2

שאלה 1 · מישורים מקבילים וישרי חיתוך בקובייהשאלה קצרה · קלה

נתונה הקובייה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ שבשרטוט.
ABCDA'B'C'D'

א.

קבעו מהו המצב ההדדי בין מישורי הפאות ABB′A′ABB'A'ABB′A′ ו-DCC′D′DCC'D'DCC′D′. נמקו.

ב.

המישור BDD′B′BDD'B'BDD′B′ חותך את מישור הבסיס ABCDABCDABCD ואת מישור הבסיס העליון A′B′C′D′A'B'C'D'A′B′C′D′. מצאו את שני ישרי החיתוך, וקבעו מהו המצב ההדדי ביניהם.

שאלה 2 · מצב הדדי בין שני מישורים וישר החיתוךשאלה קצרה · בינונית

בקובייה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ שבשרטוט אורך המקצוע הוא 444 (הבסיס ABCDABCDABCD, והמקצועות AA′AA'AA′, BB′BB'BB′, CC′CC'CC′, DD′DD'DD′ מאונכים לבסיס). הנקודה MMM היא אמצע המקצוע B′C′B'C'B′C′. המישור העובר דרך הנקודות AAA, CCC, MMM חותך את המקצוע A′B′A'B'A′B′ בנקודה KKK.
ABCDA'B'C'D'M

א.

הוכיחו כי KKK היא אמצע המקצוע A′B′A'B'A′B′.

ב.

חשבו את שטח החתך של הקובייה עם המישור ACMACMACM.

שאלה 3 · מישור דרך אלכסון הבסיס חותך את הבסיס העליון של קובייהשאלה קצרה · קשה

בקובייה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ שבשרטוט אורך המקצוע הוא 444 (הבסיס ABCDABCDABCD, והמקצועות AA′AA'AA′, BB′BB'BB′, CC′CC'CC′, DD′DD'DD′ מאונכים לבסיס). הנקודה MMM היא אמצע המקצוע B′C′B'C'B′C′. המישור העובר דרך הנקודות AAA, CCC, MMM חותך את המקצוע A′B′A'B'A′B′ בנקודה KKK.
ABCDA'B'C'D'MK

הוכיחו כי KKK היא אמצע המקצוע A′B′A'B'A′B′.

שאלה 4 · מצב הדדי בין שני מישורים וישר החיתוךשאלה קצרה · בינונית

בפירמידה SABCDSABCDSABCD שבשרטוט הבסיס ABCDABCDABCD הוא ריבוע שאורך צלעו 101010. הנקודה MMM היא אמצע המקצוע SASASA. המישור MBCMBCMBC חותך את המקצוע SDSDSD בנקודה NNN.
ABCDSMN

א.

הוכיחו כי MN∥ADMN\parallel ADMN∥AD.

ב.

מצאו את אורך הקטע MNMNMN, וקבעו מהו סוג המרובע MBCNMBCNMBCN.

שאלה 5 · שני מישורים אלכסוניים בקובייה וישר החיתוך שלהםשאלת ביניים · קשה

נתונה קובייה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ (הבסיס ABCDABCDABCD, והמקצועות AA′AA'AA′, BB′BB'BB′, CC′CC'CC′, DD′DD'DD′ מאונכים לבסיס). הנקודה PPP היא מרכז הפאה ABB′A′ABB'A'ABB′A′, כלומר נקודת המפגש של אלכסוני הפאה, והנקודה QQQ היא מרכז הפאה ADD′A′ADD'A'ADD′A′.
ABCDA'B'C'D'PQ

א.

הראו כי הנקודות PPP ו-QQQ נמצאות שתיהן במישור A′BDA'BDA′BD וגם במישור AB′D′AB'D'AB′D′.

ב.

קבעו את המצב ההדדי בין המישורים A′BDA'BDA′BD ו-AB′D′AB'D'AB′D′, ותארו את ישר החיתוך שלהם אם יש כזה. האם הנקודה AAA נמצאת עליו?

ג.

נתון כי אורך מקצוע הקובייה הוא 444. הוכיחו כי ישר החיתוך שמצאתם בסעיף ב מקביל למישור הבסיס ABCDABCDABCD, ומצאו את אורך הקטע PQPQPQ.

שאלה 6 · מצב הדדי בין שני מישורים וישר החיתוךשאלה קצרה · בינונית

נתונה קובייה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ (הבסיס ABCDABCDABCD, והמקצועות AA′AA'AA′, BB′BB'BB′, CC′CC'CC′, DD′DD'DD′ מאונכים לבסיס). הנקודה PPP היא מרכז הפאה ABB′A′ABB'A'ABB′A′, כלומר נקודת המפגש של אלכסוני הפאה, והנקודה QQQ היא מרכז הפאה ADD′A′ADD'A'ADD′A′.

א.

הראו כי הנקודות PPP ו-QQQ נמצאות שתיהן במישור A′BDA'BDA′BD וגם במישור AB′D′AB'D'AB′D′.

ב.

קבעו את המצב ההדדי בין המישורים A′BDA'BDA′BD ו-AB′D′AB'D'AB′D′, ותארו את ישר החיתוך שלהם אם יש כזה. האם הנקודה AAA נמצאת עליו?

שאלה 7 · מצב הדדי בין שני מישורים וישר החיתוךשאלה קצרה · בינונית

בפירמידה SABCDSABCDSABCD שבשרטוט הבסיס ABCDABCDABCD הוא מקבילית.
ABCDS

א.

הוכיחו כי ישר החיתוך של המישורים SABSABSAB ו-SCDSCDSCD עובר דרך SSS ומקביל ל-ABABAB.

ב.

מצאו את ישר החיתוך של המישורים SADSADSAD ו-SBCSBCSBC. נמקו.

שאלה 8 · ישרי החיתוך של פאות צדדיות נגדיות בפירמידהשאלה קצרה · בינונית

בפירמידה SABCDSABCDSABCD שבשרטוט הבסיס ABCDABCDABCD הוא מקבילית.
ABCDS

א.

הוכיחו כי ישר החיתוך של המישורים SABSABSAB ו-SCDSCDSCD עובר דרך SSS ומקביל ל-ABABAB.

ב.

מצאו את ישר החיתוך של המישורים SADSADSAD ו-SBCSBCSBC. נמקו.

שאלה 9 · חתך של פירמידה במישור המקביל לבסיסשאלת ביניים · בינונית

בפירמידה SABCDSABCDSABCD שבשרטוט הבסיס ABCDABCDABCD הוא מקבילית שבה AB=12AB=12AB=12, BC=9BC=9BC=9. הנקודה MMM נמצאת על המקצוע SASASA כך ש-SM:MA=1:2SM:MA=1:2SM:MA=1:2. מישור π\piπ העובר דרך MMM ומקביל למישור הבסיס חותך את המקצועות SBSBSB, SCSCSC, SDSDSD בנקודות NNN, KKK, LLL בהתאמה.
ABCDSMNKL

א.

הוכיחו כי MN∥ABMN\parallel ABMN∥AB, ומצאו את אורך הקטע MNMNMN.

ב.

מצאו את אורך הקטע NKNKNK.

ג.

הוכיחו כי המרובע MNKLMNKLMNKL הוא מקבילית, וחשבו את היקפו.