שאלות פתוחות: קביעת מישור: שלוש נקודות, ישר ונקודה, שני ישרים - כיתה י"ב 4 יח"ל

שאלות על קביעת מישור במרחב - שלוש נקודות, ישר ונקודה, שני ישרים - לכיתה י"ב, 4 יחידות. בשאלות בודקים כמה מישורים שונים קובעים קודקודי הקובייה, מה המישור שקובעים ישר ונקודה בפירמידה, ומה קורה כששני ישרים מקבילים קובעים מישור ואחד ארוך פי 2 מהשני. יש גם שאלות על תיבה ועל מנסרה משולשת. רוב השאלות בינוניות וקשות, ויש גם קלה. זה מקבץ קטן שאפשר לשלב ממנו שאלות במבחן במרחב, עם פתרון מלא וייצוא לוורד.

8 שאלותקלה: 1בינונית: 4קשה: 3

שאלה 1 · ישר ונקודה, שני ישרים מקבילים: קביעת מישור בתיבהשאלה קצרה · קלה

נתונה התיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ שבשרטוט. כל הפאות של התיבה הן מלבנים.
ABCDA'B'C'D'

א.

הסבירו מדוע הישר AA′AA'AA′ והנקודה CCC קובעים מישור, והראו כי גם הקודקוד C′C'C′ נמצא במישור זה.

ב.

האם הישרים ABABAB ו-C′D′C'D'C′D′ קובעים מישור? נמקו.

שאלה 2 · קביעת מישור: שלוש נקודות, ישר ונקודה, שני ישריםשאלה קצרה · בינונית

AAA, BBB, CCC, DDD הן ארבע נקודות שונות במרחב. הישרים ABABAB ו-CDCDCD מקבילים ושונים, ואורך הקטע ABABAB גדול פי 222 מאורך הקטע CDCDCD.

הוכיחו כי הישרים ADADAD ו-BCBCBC נחתכים.

שאלה 3 · קביעת מישור: שלוש נקודות, ישר ונקודה, שני ישריםשאלה קצרה · קשה

נתונה הקובייה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′. כל שלושה קודקודים של הקובייה קובעים מישור (אין שלושה קודקודים על ישר אחד), אבל שלשות שונות יכולות לקבוע את אותו מישור.
ABCDA'B'C'D'

א.

מצאו כמה מישורים שונים מכילים ארבעה קודקודים של הקובייה. נמקו.

ב.

מצאו כמה מישורים שונים נקבעים על ידי שלשות של קודקודי הקובייה. נמקו.

שאלה 4 · קביעת מישור: שלוש נקודות, ישר ונקודה, שני ישריםשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפירמידה SABCDSABCDSABCD שבשרטוט, שבסיסה הוא המקבילית ABCDABCDABCD. הנקודה MMM נמצאת על המקצוע SASASA כך ש-SM:MA=1:2SM:MA=1:2SM:MA=1:2. הישר BCBCBC והנקודה MMM קובעים מישור, ומישור זה חותך את המקצוע SDSDSD בנקודה NNN.
ABCDSM

א.

מצאו את היחס SN:NDSN:NDSN:ND. נמקו.

ב.

הוכיחו כי המרובע MNCBMNCBMNCB הוא טרפז, ומצאו את היחס בין בסיסיו MN:BCMN:BCMN:BC.

שאלה 5 · שלושה ישרים הנחתכים בזוגות: האם הם במישור אחד?שאלה קצרה · קשה

נתונה הקובייה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ שבשרטוט.
ABCDA'B'C'D'

א.

הוכיחו: אם שלושה ישרים נחתכים זה עם זה בזוגות, ואין נקודה המשותפת לשלושתם, אז שלושת הישרים נמצאים במישור אחד.

ב.

הראו בעזרת מקצועות של הקובייה שאם לשלושת הישרים יש נקודה משותפת, הם אינם חייבים להימצא במישור אחד.

שאלה 6 · שני ישרים מקבילים שאורכי הקטעים שונים: הישרים המחברים נחתכיםשאלה קצרה · בינונית

AAA, BBB, CCC, DDD הן ארבע נקודות שונות במרחב. הישרים ABABAB ו-CDCDCD מקבילים ושונים, ואורך הקטע ABABAB גדול פי 222 מאורך הקטע CDCDCD.
ABCD

הוכיחו כי הישרים ADADAD ו-BCBCBC נחתכים.

שאלה 7 · כמה מישורים נקבעים על ידי קודקודי קובייהשאלת ביניים · קשה

נתונה הקובייה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′. כל שלושה קודקודים של הקובייה קובעים מישור (אין שלושה קודקודים על ישר אחד), אבל שלשות שונות יכולות לקבוע את אותו מישור.
ABCDA'B'C'D'

א.

מצאו כמה מישורים שונים מכילים ארבעה קודקודים של הקובייה. נמקו.

ב.

מצאו כמה מישורים שונים נקבעים על ידי שלשות של קודקודי הקובייה. נמקו.

שאלה 8 · מישור הנקבע על ידי שני ישרים מקבילים במנסרה משולשתשאלת ביניים · בינונית

נתונה המנסרה המשולשת ABCA′B′C′ABCA'B'C'ABCA′B′C′ שבשרטוט (AA′∥BB′∥CC′AA'\parallel BB'\parallel CC'AA′∥BB′∥CC′, והפאות הצדדיות הן מקביליות). הנקודה MMM היא אמצע המקצוע ABABAB, והנקודה M′M'M′ היא אמצע המקצוע A′B′A'B'A′B′.
ABCA'B'C'MM'

א.

הוכיחו כי MM′∥CC′MM'\parallel CC'MM′∥CC′ וכי MM′=CC′MM'=CC'MM′=CC′.

ב.

הסבירו מדוע הישרים MM′MM'MM′ ו-CC′CC'CC′ קובעים מישור, והוכיחו כי המרובע MCC′M′MCC'M'MCC′M′ הוא מקבילית.

ג.

נתון: AC=BC=10AC=BC=10AC=BC=10, AB=12AB=12AB=12, CC′=9CC'=9CC′=9.

חשבו את היקף המרובע MCC′M′MCC'M'MCC′M′.