מבחן לדוגמה: המעגל - כיתה י"ב 5 יח"ל

מבחן במתמטיקה - כיתה י"ב 5 יח"ל

המעגל

8 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון

שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · משוואת מעגל כללית דרך שלוש נקודותמשוואת המעגל הכללית והשלמה לריבוע · שאלת ביניים · בינונית

מעגל עובר דרך הנקודות K(−1,0)K(-1,0)K(−1,0), L(5,0)L(5,0)L(5,0) ו-N(0,5)N(0,5)N(0,5).

א.

מצאו את משוואת המעגל בצורה הכללית x2+y2+Ax+By+C=0x^2+y^2+Ax+By+C=0x2+y2+Ax+By+C=0.

ב.

מצאו את מרכז המעגל ואת הרדיוס שלו.

ג.

המעגל חותך את ציר ה-yyy בנקודה NNN ובנקודה נוספת TTT. מצאו את שיעורי הנקודה TTT, וחשבו את שטח המרובע KTLNKTLNKTLN.

שאלה 2 · מרכז, רדיוס ותנאי הקיום של מעגל (פרמטרים)מרכז, רדיוס ותנאי הקיום של מעגל (פרמטרים) · שאלה קצרה · קשה

נתונה משפחת העקומים x2+y2−2tx+2ty−8=0x^2+y^2-2tx+2ty-8=0x2+y2−2tx+2ty−8=0, כאשר ttt פרמטר ממשי.

א.

הראו כי לכל ערך של ttt המשוואה מייצגת מעגל, והביעו באמצעות ttt את מרכזו ואת רדיוסו.

ב.

הראו כי כל המעגלים במשפחה עוברים דרך שתי נקודות קבועות, ומצאו את שיעוריהן.

שאלה 3 · משיק למעגל בנקודה שעליומשיק למעגל בנקודה שעליו · שאלה קצרה · בינונית

נתונים המעגלים (x+1)2+(y−2)2=4(x+1)^2+(y-2)^2=4(x+1)2+(y−2)2=4, שמרכזו K, ו-(x−5)2+(y+1)2=1(x-5)^2+(y+1)^2=1(x−5)2+(y+1)2=1, שמרכזו L. מנקודה M מעבירים משיק MA למעגל הראשון ומשיק MB למעגל השני (A ו-B נקודות ההשקה).

א.

הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות M שבעבורן MA=MBMA=MBMA=MB הוא ישר, ומצאו את משוואתו.

ב.

מצאו את הנקודות M שעל הישר מסעיף א שמהן אורך המשיק MA הוא 4.

שאלה 4 · מרכז מעגל המשיק לשני ישרים בנקודה נתונה על אחד מהםמשיק למעגל בנקודה שעליו · שאלה קצרה · קשה

נתונים הישרים שמשוואותיהם: ℓ1:5y−12x+140=0\ell_1: 5y-12x+140=0ℓ1​:5y−12x+140=0, ℓ2:x=−5\ell_2: x=-5ℓ2​:x=−5. המקום הגאומטרי של כל הנקודות הנמצאות במרחקים שווים מן הישרים ℓ1\ell_1ℓ1​ ו-ℓ2\ell_2ℓ2​ הוא זוג הישרים y=5x−15y=5x-15y=5x−15 ו-y=−15x−41y=-\frac15x-41y=−51​x−41.
ℓ1ℓ2
MA

מעגל שמרכזו M משיק לישרים ℓ1\ell_1ℓ1​ ו-ℓ2\ell_2ℓ2​. המעגל משיק לישר ℓ1\ell_1ℓ1​ בנקודה A שבה x=20x=20x=20. המרכז M נמצא ברביע הראשון (ראו סרטוט).

מצאו את שיעורי הנקודה M.

שאלה 5 · מעגל של זווית ישרה, פרבולה הפתוחה שמאלה ומשיקים מקביליםמצב הדדי בין ישר ומעגל · שאלה מלאה · בינונית

נתונות הנקודות A(−6a,0)A(-6a,0)A(−6a,0) ו-B(4a,0)B(4a,0)B(4a,0). aaa הוא פרמטר חיובי. הנקודה PPP מקיימת ∠APB=90∘\angle APB=90^\circ∠APB=90∘.

א.

הראו כי המקום הגיאומטרי של כל הנקודות PPP המתקבלות באופן זה נמצא על מעגל, ומצאו את משוואתו. הביעו את תשובתכם באמצעות aaa.

ב.

נתון כי השטח הגדול ביותר של המשולש APBAPBAPB הוא 225.

מצאו את הערך של aaa.

הציבו a=3a=3a=3 וענו על הסעיפים ג-ד. אמצע הקטע ABABAB הוא מוקד של פרבולה שמשוואתה קנונית. הפרבולה והמעגל שמצאתם נחתכים ברביע השני בנקודה CCC.

ג.

מצאו את שיעורי הנקודה CCC.

ד.

הישר ℓ\ellℓ משיק לפרבולה בנקודה CCC. מעבירים משיק למעגל שמצאתם. נתון כי משיק זה מקביל לישר ℓ\ellℓ.

מצאו את המרחק בין הישר ℓ\ellℓ לבין המשיק למעגל (מצאו את שתי האפשרויות).

שאלה 6 · מעגל חסום במשולש: מרכז על ישר נתון, צלע שלישית כמשיק מנקודה חיצוניתמצב הדדי בין ישר ומעגל · שאלת ביניים · קשה

מעגל שמרכזו בנקודה MMM חסום במשולש ABCABCABC.
הצלע ABABAB נמצאת על הישר x+3y+5=0x+3y+5=0x+3y+5=0 והצלע ACACAC נמצאת על הישר 3x−y−15=03x-y-15=03x−y−15=0.
מרכז המעגל MMM נמצא על הישר y=3−xy=3-xy=3−x. ראשית הצירים נמצאת בתוך המשולש ABCABCABC.

א.

מצאו את משוואת המעגל החסום במשולש ABCABCABC.

ב.

נתון כי הישר BMBMBM מקביל לציר ה-xxx.

מצאו את משוואת הצלע BCBCBC.

ג.

מצאו את המרחק בין מרכז המעגל החסום במשולש ABCABCABC ובין מרכז המעגל החוסם את המשולש הזה.

שאלה 7 · שני מעגלים משיקים: המשיקים המשותפים שעוברים בראשיתמצב הדדי בין שני מעגלים · שאלה מלאה · קלה

נתונים שני מעגלים: (x−6)2+y2=4(x-6)^2+y^2=4(x−6)2+y2=4 ו-(x−12)2+y2=16(x-12)^2+y^2=16(x−12)2+y2=16.

א.

הראו כי המעגלים משיקים זה לזה מבחוץ, ומצאו את שיעורי נקודת ההשקה.

ב.

מצאו את משוואת המשיק המשותף העובר בנקודת ההשקה.

ג.

הישר y=mxy=mxy=mx, m≠0m\neq0m=0, משיק למעגל (x−6)2+y2=4(x-6)^2+y^2=4(x−6)2+y2=4. מצאו את mmm (שתי אפשרויות).

ד.

הראו כי שני הישרים שמצאתם בסעיף ג משיקים גם למעגל (x−12)2+y2=16(x-12)^2+y^2=16(x−12)2+y2=16.

ה.

כמה משיקים משותפים יש לשני המעגלים? סרטטו במערכת צירים אחת סקיצה של שני המעגלים ושל כל המשיקים המשותפים להם.

שאלה 8 · מקום גאומטרי, אליפסה ומעגל המשיק לישר ולציריםמקומות גאומטריים שהם מעגל · שאלה מלאה · קלה

נתונות הנקודות: A(0,6)A(0,6)A(0,6), B(8,0)B(8,0)B(8,0).
F₁F₂EG

א.

מצאו את משוואת המקום הגאומטרי שעליו נמצאות הנקודות CCC המקיימות: AC2+BC2=122AC^2+BC^2=122AC2+BC2=122.

ב.

את המקום הגאומטרי שמצאתם בסעיף א מזיזים 4 יחידות שמאלה ו-3 יחידות למטה. המקום הגאומטרי החדש חותך את ציר ה-yyy בנקודות EEE ו-GGG (EEE מעל GGG). הנקודות F1(c,0)F_1(c,0)F1​(c,0) ו-F2(−c,0)F_2(-c,0)F2​(−c,0), c>0c>0c>0, הן מוקדי אליפסה קנונית שעוברת דרך EEE ו-GGG (ראו סרטוט).

(1)

מצאו את שיעורי הנקודות EEE ו-GGG, והראו כי משוואת הישר EF1EF_1EF1​ היא 6x+cy−6c=06x+cy-6c=06x+cy−6c=0.

(2)

מצאו את משוואת הישר GF2GF_2GF2​, והסבירו מדוע הוא מקביל לישר EF1EF_1EF1​.

נתון: המרחק בין הישרים EF1EF_1EF1​ ו-GF2GF_2GF2​ הוא 9.6.

(3)

מצאו את ccc ואת משוואת האליפסה.

ג.

מעגל שמרכזו ברביע השני משיק לישר EF1EF_1EF1​, לציר ה-xxx ולציר ה-yyy. נסמן את רדיוסו ב-rrr.

(1)

הסבירו מדוע מרכז המעגל הוא (−r,r)(-r,r)(−r,r).

(2)

מצאו את משוואת המעגל.

שאלה 1 · משוואת מעגל כללית דרך שלוש נקודותמשוואת המעגל הכללית והשלמה לריבוע · שאלת ביניים · בינונית

שאלה 2 · מרכז, רדיוס ותנאי הקיום של מעגל (פרמטרים)מרכז, רדיוס ותנאי הקיום של מעגל (פרמטרים) · שאלה קצרה · קשה

שאלה 3 · משיק למעגל בנקודה שעליומשיק למעגל בנקודה שעליו · שאלה קצרה · בינונית

שאלה 4 · מרכז מעגל המשיק לשני ישרים בנקודה נתונה על אחד מהםמשיק למעגל בנקודה שעליו · שאלה קצרה · קשה

שאלה 5 · מעגל של זווית ישרה, פרבולה הפתוחה שמאלה ומשיקים מקביליםמצב הדדי בין ישר ומעגל · שאלה מלאה · בינונית

שאלה 6 · מעגל חסום במשולש: מרכז על ישר נתון, צלע שלישית כמשיק מנקודה חיצוניתמצב הדדי בין ישר ומעגל · שאלת ביניים · קשה

שאלה 7 · שני מעגלים משיקים: המשיקים המשותפים שעוברים בראשיתמצב הדדי בין שני מעגלים · שאלה מלאה · קלה

שאלה 8 · מקום גאומטרי, אליפסה ומעגל המשיק לישר ולציריםמקומות גאומטריים שהם מעגל · שאלה מלאה · קלה

רוצים להשלים את חוויית הלמידה?

כל האתר במבט אחד