שאלות פתוחות: מצב הדדי בין שני מעגלים - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על מצב הדדי בין שני מעגלים לכיתה י"ב, 5 יחידות. יש כאן מעגלים שמשיקים מבפנים או מבחוץ, מציאת פרמטר במרכז של מעגל שני כדי שהמעגלים ישיקו, מעגל שמשיק למעגל נתון בנקודה ידועה, ומעגלים החסומים במעוין שאלכסוניו על הצירים. רוב השאלות ברמה בינונית, ויש גם קלות וקשות. מתאים לבוחן או לשאלה במבחן, עם פתרון מלא לכל שאלה וייצוא לוורד.

24 שאלותקלה: 5בינונית: 15קשה: 4

שאלה 1 · מצב הדדי בין שני מעגליםשאלה קצרה · קלה

נתונים שני מעגלים: C1C_1C1​ שמשוואתו (x−2)2+(y−3)2=9(x-2)^2+(y-3)^2=9(x−2)2+(y−3)2=9 ומרכזו M1M_1M1​, ו-C2C_2C2​ שמשוואתו (x−k)2+(y−11)2=49(x-k)^2+(y-11)^2=49(x−k)2+(y−11)2=49 ומרכזו M2M_2M2​, כאשר k>0k>0k>0. ידוע כי המעגלים משיקים זה לזה מבחוץ.

א.

מצאו את kkk.

ב.

מצאו את שיעורי נקודת ההשקה של שני המעגלים.

שאלה 2 · מצב הדדי בין שני מעגליםשאלה קצרה · בינונית

נתון המעגל x2+y2−4x−6y−12=0x^2+y^2-4x-6y-12=0x2+y2−4x−6y−12=0 שמרכזו MMM. הנקודה P(6,6)P(6,6)P(6,6) נמצאת על המעגל (ראו סרטוט). מעגל שני משיק למעגל הנתון מבחוץ בנקודה PPP, ורדיוסו שווה למחצית רדיוס המעגל הנתון.
-4-2246810-2246810MP

מצאו את משוואת המעגל השני.

שאלה 3 · שני מעגלים משיקים עם רדיוס פרמטרי: זווית בין משיקים ושרשרת מעגליםשאלה מלאה · קשה

מעגל שמרכזו M(2,0)M(2,0)M(2,0) ורדיוסו 2 משיק מבחוץ למעגל שמרכזו N על החלק החיובי של ציר ה-xxx ורדיוסו RRR, כאשר R>2R>2R>2 (RRR פרמטר).

א.

הביעו באמצעות RRR את משוואת המעגל שמרכזו N, ומצאו את משוואת המשיק המשותף העובר בנקודת ההשקה.

ב.

לשני המעגלים יש עוד שני משיקים משותפים, הנחתכים בנקודה P. הביעו באמצעות RRR את שיעורי הנקודה P.

ג.

הזווית בין שני המשיקים שבסעיף ב היא 60∘60^\circ60∘. מצאו את RRR ואת משוואות שני המשיקים.

ד.

חקרו: מצאו את משוואות כל המעגלים, מלבד שני המעגלים הנתונים, שמרכזם על ציר ה-xxx, המשיקים לשני הישרים שמצאתם בסעיף ג ומשיקים מבחוץ לאחד המעגלים הנתונים לפחות.

שאלה 4 · שני מעגלים משיקים: המשיקים המשותפים שעוברים בראשיתשאלה מלאה · קלה

נתונים שני מעגלים: (x−6)2+y2=4(x-6)^2+y^2=4(x−6)2+y2=4 ו-(x−12)2+y2=16(x-12)^2+y^2=16(x−12)2+y2=16.

א.

הראו כי המעגלים משיקים זה לזה מבחוץ, ומצאו את שיעורי נקודת ההשקה.

ב.

מצאו את משוואת המשיק המשותף העובר בנקודת ההשקה.

ג.

הישר y=mxy=mxy=mx, m≠0m\neq0m=0, משיק למעגל (x−6)2+y2=4(x-6)^2+y^2=4(x−6)2+y2=4. מצאו את mmm (שתי אפשרויות).

ד.

הראו כי שני הישרים שמצאתם בסעיף ג משיקים גם למעגל (x−12)2+y2=16(x-12)^2+y^2=16(x−12)2+y2=16.

ה.

כמה משיקים משותפים יש לשני המעגלים? סרטטו במערכת צירים אחת סקיצה של שני המעגלים ושל כל המשיקים המשותפים להם.

שאלה 5 · מצב הדדי בין שני מעגליםשאלה קצרה · בינונית

נתונים שני מעגלים: C1C_1C1​ שמשוואתו (x−3)2+(y−4)2=4(x-3)^2+(y-4)^2=4(x−3)2+(y−4)2=4, ו-C2C_2C2​ שמשוואתו x2+y2−2ax−2ay+a2=0x^2+y^2-2ax-2ay+a^2=0x2+y2−2ax−2ay+a2=0, כאשר a>0a>0a>0 פרמטר.

א.

הביעו באמצעות aaa את מרכז המעגל C2C_2C2​ ואת רדיוסו, ואת המרחק בין מרכזי שני המעגלים.

ב.

מצאו לאילו ערכי aaa המעגל C1C_1C1​ נמצא כולו בתוך המעגל C2C_2C2​, ללא נקודות משותפות.

שאלה 6 · מעוין סביב מעגל: משיק מנקודה חיצונית, מקום גאומטרי ומעגל דרך המוקדשאלה מלאה · קשה

נתון מעוין ABCDABCDABCD שאלכסוניו מונחים על הצירים: הקודקוד AAA על החלק החיובי של ציר ה-xxx והקודקוד BBB על החלק החיובי של ציר ה-yyy. המעגל x2+y2=25x^2+y^2=25x2+y2=25 חסום במעוין. הישר שעליו מונחת הצלע ABABAB עובר דרך הנקודה P(−1,7)P(-1,7)P(−1,7).

א.

מצאו את משוואת הישר ABABAB.

ב.

מצאו את שיעורי נקודת ההשקה MMM של המעגל והצלע ABABAB, ואת שטח המעוין.

ג.

מן הנקודה MMM מורידים אנך לציר ה-xxx החותך אותו בנקודה K(a,0)K(a,0)K(a,0). על הישר x=−ax=-ax=−a מסמנים נקודה EEE ומעבירים דרכה ישר המקביל לציר ה-xxx. הישר המקביל חותך את האנך האמצעי לקטע EKEKEK בנקודה GGG.

מצאו את המקום הגאומטרי של כל הנקודות GGG המתקבלות באופן זה.

ד.

הנקודה NNN נמצאת ברביע הראשון על המקום הגאומטרי שמצאתם.

מצאו את שיעורי NNN שעבורה המעגל שמרכזו NNN ועובר דרך הנקודה KKK משיק למעגל החסום במעוין. קבעו איזה משני המעגלים מכיל את האחר.

שאלה 7 · מעוין על הצירים: מעגל חסום, נקודת השקה ומקום גאומטרישאלה מלאה · קלה

נתון מעוין ABCDABCDABCD שאלכסוניו מונחים על הצירים, כמתואר בסרטוט. הקודקודים: A(10,0)A(10,0)A(10,0), B(0,5)B(0,5)B(0,5), C(−10,0)C(-10,0)C(−10,0), D(0,−5)D(0,-5)D(0,−5).
ABCDxy

א.

מצאו את משוואת הצלע ABABAB ואת המרחק של הצלע ABABAB מראשית הצירים.

ב.

בתוך המעוין חסום מעגל שמרכזו בראשית הצירים.

מצאו את משוואת המעגל.

ג.

הנקודה MMM היא נקודת ההשקה של המעגל והצלע ABABAB. MMM היא עקב האנך מראשית הצירים לצלע ABABAB.

מצאו את שיעורי הנקודה MMM.

ד.

מן הנקודה MMM מורידים אנך לציר ה-xxx החותך אותו בנקודה K(a,0)K(a,0)K(a,0). על הישר x=−ax=-ax=−a מסמנים נקודה EEE ומעבירים דרכה ישר המקביל לציר ה-xxx. הישר המקביל חותך את האנך האמצעי לקטע EKEKEK בנקודה GGG.

הסבירו מדוע הנקודה GGG נמצאת במרחק שווה מהנקודה KKK ומהישר x=−ax=-ax=−a, ומצאו את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות GGG.

ה.

הנקודה NNN נמצאת ברביע הראשון על המקום הגאומטרי שמצאתם בסעיף ד, ושיעור ה-xxx שלה הוא 10.

מצאו את משוואת המעגל שמרכזו NNN והוא משיק מבחוץ למעגל החסום במעוין.

שאלה 8 · מצב הדדי בין שני מעגליםשאלה קצרה · בינונית

נתונים המעגלים x2+y2=1x^2+y^2=1x2+y2=1 ו-x2+y2−10y+9=0x^2+y^2-10y+9=0x2+y2−10y+9=0.

א.

הראו כי המעגלים משיקים זה לזה מבחוץ, ומצאו את משוואת המשיק המשותף בנקודת ההשקה.

ב.

לשני המעגלים יש שני משיקים משותפים נוספים. מצאו את משוואותיהם.

שאלה 9 · מעגל הנמצא כולו בתוך מעגל אחר: תחום הפרמטרשאלה קצרה · קשה

נתונים שני מעגלים: C1C_1C1​ שמשוואתו (x−3)2+(y−4)2=4(x-3)^2+(y-4)^2=4(x−3)2+(y−4)2=4, ו-C2C_2C2​ שמשוואתו x2+y2−2ax−2ay+a2=0x^2+y^2-2ax-2ay+a^2=0x2+y2−2ax−2ay+a2=0, כאשר a>0a>0a>0 פרמטר.

מצאו לאילו ערכי aaa המעגל C1C_1C1​ נמצא כולו בתוך המעגל C2C_2C2​, ללא נקודות משותפות.

שאלה 10 · שני מעגלים המשיקים מבחוץ ונקודת ההשקהשאלה קצרה · קלה

נתונים שני מעגלים: (x−6)2+y2=4(x-6)^2+y^2=4(x−6)2+y2=4 ו-(x−12)2+y2=16(x-12)^2+y^2=16(x−12)2+y2=16.

הראו כי המעגלים משיקים זה לזה מבחוץ, ומצאו את שיעורי נקודת ההשקה.

עוד 10 שאלות על מצב הדדי בין שני מעגלים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

מצב הדדי בין שני מעגלים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונים המעגל $x^2+y^2=4$ והמעגל $x^2+y^2-2kx-2(k+1)y+2k^2+2k-8=0$ , כאשר $k$ פרמטר ממשי.
משיקים משותפים לשני מעגלים המשיקים מבחוץ, עם פרמטר (שאלת ביניים · קשה)
מעגל שמרכזו $M(2,0)$ ורדיוסו 2 משיק מבחוץ למעגל שמרכזו N על החלק החיובי של ציר ה- $x$ ורדיוסו $R$ , כאשר $R>2$ ( $R$ פרמטר).
שני מעגלים משיקים ביחס 1:3: משיקים משותפים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונים שני מעגלים המשיקים זה לזה מבחוץ. מרכזו של המעגל האחד הוא בנקודה M ומשוואתו היא: $(x-a)^2+y^2=r^2$ , $a$ הוא פרמטר חיובי. מרכזו של…
מצב הדדי בין שני מעגלים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונים המעגלים $x^2+(y-2)^2=4$ ו- $x^2+(y-8)^2=16$ .
מעוין על הצירים: מעגל חסום, נקודת השקה, מקום גאומטרי פרבולה ומעגלים משיקים (שאלה מלאה · בינונית)
נתון מעוין $ABCD$ . אלכסוני המעוין מונחים על הצירים, כמתואר בסרטוט שלפניכם. נתון: אורך האלכסון $BD$ הוא 20. המרחק של כל אחת מצלעות המעוין…
מצב הדדי בין שני מעגלים (שאלה קצרה · בינונית)
נתון המעגל $(x-1)^2+(y+2)^2=5$ ונתונה הנקודה $N(5,0)$ .
פרבולה וישר $y = 2 x$ : מעגל שמרכזו במוקד ומקום גאומטרי (שאלה מלאה · בינונית)
נתון הישר $y=2x$ ונתונה הפרבולה $y^2=2px$ . $p$ הוא פרמטר חיובי. הנקודה A נמצאת ברביע הראשון, והיא נקודת חיתוך של הפרבולה עם הישר.
פרבולה וישר שאינו עובר בראשית: מעגל שמרכזו במוקד ומקום גאומטרי (שאלה מלאה · בינונית)
נתון הישר $y=x-1.5p$ ונתונה הפרבולה $y^2=2px$ . $p$ הוא פרמטר חיובי. הנקודה A נמצאת ברביע הראשון, והיא נקודת חיתוך של הפרבולה עם הישר.
מעגלים שמרכזם בנקודה נתונה המשיקים למעגל נתון (שאלה קצרה · בינונית)
נתון המעגל $(x-1)^2+(y+2)^2=5$ ונתונה הנקודה $N(5,0)$ .
המיתר המשותף של שני מעגלים נחתכים (שאלת ביניים · בינונית)
נתונים המעגל $x^2+y^2-10x-6y+9=0$ שמרכזו $M_1$ , והמעגל $x^2+y^2+2x+6y-27=0$ שמרכזו $M_2$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שני מעגלים משיקים: משיקים משותפים וזוג מעגלים נוסף · בגרות 572 קיץ 2022 מועד א', שאלה 1
נתונים שני מעגלים המשיקים זה לזה מבחוץ. מרכזו של המעגל האחד הוא בנקודה M ומשוואתו היא: $(x-a)^2+y^2=r^2$ , $a$ הוא פרמטר חיובי. מרכזו של המעגל האחר הוא בנקודה N…
מעוין על הצירים: מעגל חסום, נקודת השקה, מקום גאומטרי פרבולה ומעגלים משיקים · בגרות 572 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 1
נתון מעוין $ABCD$ . אלכסוני המעוין מונחים על הצירים, כמתואר בסרטוט שלפניכם. נתון: אורך האלכסון $AC$ הוא 10. המרחק של כל אחת מצלעות המעוין מראשית הצירים הוא…
פרבולה, משיק ומעגל שמרכזו במוקד: מקום גאומטרי של מרכזי מעגלים · בגרות 572 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 1
נתון הישר $y=x$ ונתונה הפרבולה $y^2=2px$ . $p$ הוא פרמטר חיובי. הנקודה A נמצאת ברביע הראשון, והיא נקודת חיתוך של הפרבולה עם הישר.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (1)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

מעגל, קוטר ומשיק: שיעורי נקודה מתוך דמיון (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מעגל שמשוואתו $(x-5)^2+(y-12)^2=169$ ומרכזו $M$ . המעגל חותך את החלק החיובי של ציר ה- $x$ בנקודה…