דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

שאלות פתוחות: משוואת המעגל הכללית והשלמה לריבוע - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על משוואת המעגל הכללית והשלמה לריבוע, לכיתה י"ב, 5 יחידות. השאלות כוללות מציאת מרכז ורדיוס מתוך המשוואה הכללית, תנאי על פרמטר כדי שהמשוואה תתאר מעגל, משפחת מעגלים שתלויה בפרמטר, מעגל שעובר דרך נקודות ומרכזו על ישר נתון, מיתר על ציר באורך נתון, וזיהוי גרף של פונקציה עם שורש כחלק ממעגל. רוב השאלות ברמה קלה ובינונית, ויש גם קשות. אפשר להרכיב מהן מבחן או דף עבודה, עם פתרונות מלאים וייצוא לוורד.

55 שאלותקלה: 25בינונית: 24קשה: 6

שאלה 1 · משוואת המעגל הכללית והשלמה לריבועשאלה קצרה · קלה

נתונה המשוואה x2+y2−8x+2y+c=0x^2+y^2-8x+2y+c=0, כאשר cc פרמטר.

א.

ידוע כי המשוואה מתארת מעגל המשיק לציר ה-xx. מצאו את cc.

ב.

לאילו ערכי cc המשוואה מתארת מעגל החותך את ציר ה-xx בשתי נקודות?

שאלה 2 · משוואת המעגל הכללית והשלמה לריבועשאלה קצרה · בינונית

נתונה משפחת העקומים x2+y2−2(m+1)x+4my+5m2−4=0x^2+y^2-2(m+1)x+4my+5m^2-4=0, כאשר mm פרמטר ממשי. ידוע כי המשוואה מייצגת מעגל.

א.

הביעו באמצעות mm את שיעורי מרכז המעגל ואת ריבוע הרדיוס שלו.

ב.

מרכז המעגל נמצא ברביע הרביעי, במרחק 55 מראשית הצירים. מצאו את mm וחשבו את שטח העיגול החסום על ידי המעגל.

שאלה 3 · משוואת המעגל הכללית והשלמה לריבועשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=3−8+2x−x2f(x)=3-\sqrt{8+2x-x^2}.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה, והראו כי גרף הפונקציה הוא חלק ממעגל. מצאו את מרכז המעגל ואת רדיוסו.

ב.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, ציר ה-xx והישרים x=−2x=-2 ו-x=4x=4.

שאלה 4 · משוואת המעגל הכללית והשלמה לריבועשאלה קצרה · קלה

מעגל עובר דרך הנקודות (0,0)(0,0) ו-(4,0)(4,0), ומרכזו נמצא על הישר y=x+1y=x+1 (ראו סרטוט).

(0,0)(4,0)

מצאו את משוואת המעגל.

שאלה 5 · משוואת המעגל הכללית והשלמה לריבועשאלה קצרה · בינונית

נתון המעגל x2+y2−6x−8y+c=0x^2+y^2-6x-8y+c=0, כאשר cc פרמטר. המעגל חותך את ציר ה-xx בשתי נקודות שהמרחק ביניהן הוא 44.

א.

מצאו את cc.

ב.

חשבו את אורך המיתר שהמעגל חותך מציר ה-yy.

שאלה 6 · פרבולה ואליפסה עם מוקד משותף: מיקום מרכז המעגל לפי פרמטרשאלה מלאה · קשה

הנקודה F(t,0)F(t,0), כאשר t>0t>0, היא מוקד של פרבולה קנונית ומוקד של אליפסה קנונית. אורך הציר הראשי של האליפסה הוא 2a2a, כאשר a>ta>t הוא פרמטר.

המדריך של הפרבולה חותך את האליפסה בנקודות AA ו-BB (AA מעל BB). ישר המאונך לציר ה-xx ועובר ב-FF חותך את הפרבולה בנקודות CC ו-DD (CC מעל DD).

הביעו את תשובותיכם באמצעות aa ו-tt, אם יש צורך.

א.

מצאו את משוואת הפרבולה, את משוואת האליפסה ואת שיעורי הנקודות AA, BB, CC ו-DD.

ב.

הסבירו מדוע הנקודות AA, BB, CC ו-DD נמצאות על מעגל אחד, והביעו את שיעור ה-xx של מרכז המעגל.

ג.

מצאו את כל הערכים של aa שבעבורם מרכז המעגל נמצא מימין לציר ה-yy.

ד.

האם יש ערך של aa שבעבורו המרובע ABDCABDC הוא מלבן? האם יש ערך של aa שבעבורו הוא ריבוע? נמקו.

שאלה 7 · פרבולה ואליפסה עם מוקד משותף: טרפז חסום במעגל (מספרי)שאלה מלאה · קלה

הנקודה F(3,0)F(3,0) היא מוקד של פרבולה קנונית ומוקד של אליפסה קנונית. אורך הציר הראשי של האליפסה הוא 18.

א.

מצאו את משוואת הפרבולה ואת משוואת האליפסה.

ב.

המדריך של הפרבולה חותך את האליפסה בנקודות AA ו-BB. הנקודה AA נמצאת מעל לנקודה BB.

מצאו את משוואת המדריך של הפרבולה ואת שיעורי הנקודות AA ו-BB.

ג.

הישר x=3x=3 עובר במוקד FF וחותך את הפרבולה בנקודות CC ו-DD. הנקודה CC נמצאת מעל לנקודה DD.

מצאו את שיעורי הנקודות CC ו-DD.

ד.
(1)

הראו כי המרובע ABDCABDC הוא טרפז שווה-שוקיים, והסבירו מדוע יש מעגל שעובר דרך ארבעת הקודקודים שלו.

(2)

הסבירו מדוע מרכז המעגל נמצא על ציר ה-xx, ומצאו את שיעורי המרכז ואת רדיוס המעגל.

שאלה 8 · משוואת המעגל הכללית והשלמה לריבועשאלה קצרה · בינונית

מעגל עובר דרך ראשית הצירים, מרכזו נמצא על הישר y=2xy=2x, והוא חותך מציר ה-yy מיתר שאורכו 66.

מצאו את שתי האפשרויות למשוואת המעגל, וכתבו כל אחת מהן בצורה הכללית x2+y2+Ax+By+C=0x^2+y^2+Ax+By+C=0.

שאלה 9 · מקום גאומטרי, אליפסה ומעגלים המשיקים לישר ולציריםשאלה מלאה · קשה

נתונות הנקודות: A(0,−16)A(0,-16), B(10,−4)B(10,-4). המקום הגאומטרי של הנקודות CC המקיימות AC2+BC2=KAC^2+BC^2=K (KK קבוע) הוא מעגל המשיק לציר ה-xx.

א.

מצאו את KK ואת משוואת המקום הגאומטרי.

ב.

את המקום הגאומטרי מזיזים כך שמרכזו עובר לראשית הצירים. המעגל החדש חותך את ציר ה-yy בנקודות EE ו-GG (EE מעל GG). הנקודות F1(c,0)F_1(c,0) ו-F2(−c,0)F_2(-c,0), c>0c>0, הן מוקדי אליפסה קנונית שעוברת דרך EE ו-GG. נסמן ב-dd את המרחק בין הישרים EF1EF_1 ו-GF2GF_2.

F₁F₂EG
(1)

הביעו את dd באמצעות cc.

(2)

מצאו את כל הערכים האפשריים של dd. נמקו.

נתון: d=12d=12.

(3)

מצאו את משוואת האליפסה.

ג.

מעגל משיק לישר EF1EF_1, לציר ה-xx ולציר ה-yy.

כמה מעגלים כאלה יש? מצאו את משוואותיהם, והסבירו מדוע אין מעגל כזה ברביע השלישי.

שאלה 10 · מעגל חסום במשולש ישר-זווית: צלע משיקה מקודקוד ומרכז המעגל החוסםשאלה מלאה · קלה

המעגל (x+1)2+y2=20(x+1)^2+y^2=20 חסום במשולש ABCABC.

הצלע ABAB נמצאת על הישר x+2y+11=0x+2y+11=0, והצלע ACAC נמצאת על הישר 2x−y−8=02x-y-8=0.

א.

מצאו את שיעורי הקודקוד AA, והראו כי AB⊥ACAB\perp AC.

ב.

הראו כי המעגל משיק לישרים ABAB ו-ACAC.

ג.

הקודקוד BB נמצא על ציר ה-xx.

מצאו את משוואת הצלע BCBC.

ד.

מצאו את שיעורי הקודקוד CC ואת שיעורי מרכז המעגל החוסם את המשולש ABCABC, וחשבו את המרחק בין מרכזי שני המעגלים.

עוד 20 שאלות על משוואת המעגל הכללית והשלמה לריבוע

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

  1. פרבולה ואליפסה עם מוקד משותף: מעגל דרך ארבע נקודות חיתוך (שאלה מלאה · בינונית)

    הנקודה (t,0)(t,0) היא מוקד של פרבולה קנונית ומוקד של אליפסה קנונית. tt הוא פרמטר חיובי. אורך הציר המשני של האליפסה הוא 2t2t. בסעיפים שלפניכם…

  2. אליפסה לא ידועה, משיק וריבוע שמרכזו בקודקוד (שאלה מלאה · קשה)

    נתונה אליפסה שמשוואתה היא x2a2+y2144=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{144}=1, a>12a>12. הנקודה FF היא המוקד הימני של האליפסה. נתון מעגל שמרכזו בנקודה FF…

  3. אליפסה ופרבולה עם מוקד משותף: מעגל משיק והיקף משולש (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה אליפסה שמשוואתה: x236+y220=1\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1. הנקודה F1F_1 היא המוקד הימני של האליפסה, והנקודה F2F_2 היא המוקד השמאלי שלה.

  4. משוואת המעגל הכללית והשלמה לריבוע (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונות הנקודות A(−1,3)A(-1,3), B(−1,−3)B(-1,-3), C(4,2)C(4,2) ו-D(4,−2)D(4,-2).

  5. גרף של פונקציית שורש כחלק ממעגל (שאלה קצרה · קשה)

    נתונה הפונקציה f(x)=3−8+2x−x2f(x)=3-\sqrt{8+2x-x^2}.

  6. מקום גאומטרי, אליפסה ומעגל המשיק לישר ולצירים (שאלה מלאה · קלה)

    נתונות הנקודות: A(0,6)A(0,6), B(8,0)B(8,0).

  7. מעגל חסום במשולש: מרכז על ישר נתון, צלע משיקה ומרחק בין מרכזי המעגלים (שאלה מלאה · בינונית)

    מעגל שמרכזו בנקודה MM חסום במשולש ABCABC. הצלע ABAB נמצאת על הישר x+3y+5=0x+3y+5=0 והצלע ACAC נמצאת על הישר 3x−y−15=03x-y-15=0. מרכז המעגל MM נמצא על…

  8. מעגל דרך שתי נקודות שמרכזו על ישר: משוואה כללית, קוטר ושטח מרבי (שאלת ביניים · קשה)

    מעגל עובר דרך הנקודות A(1,3)A(1,3) ו-B(3,1)B(3,1), ומרכזו OO נמצא על הישר y=2x−6y=2x-6. ACAC הוא קוטר של המעגל.

  9. מעגל, משיק ואליפסה כמקום גאומטרי (שאלה מלאה · קלה)

    נתון מעגל I שמשוואתו היא x2+4x+y2−12=0x^2+4x+y^2-12=0.

  10. משוואת המעגל הכללית והשלמה לריבוע (שאלה קצרה · בינונית)

    הנקודות A(1,1)A(1,1), B(5,−1)B(5,-1) ו-C(3,5)C(3,5) הן קודקודי המשולש ABCABC.

  11. אליפסה, מעגל במוקד השמאלי ומשיק - בלי פרמטר (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה אליפסה שמשוואתה היא x2100+y236=1\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1. הנקודה FF היא המוקד השמאלי של האליפסה. נתון מעגל שמרכזו בנקודה FF והוא עובר…

  12. אליפסה, פרבולה ומעגל: נקודה מחוץ לאליפסה (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה אליפסה שמשוואתה: x2100+y2100−k2=1\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{100-k^2}=1, 0<k<100<k<10. הנקודה F1F_1 היא המוקד הימני של האליפסה, והנקודה F2F_2 היא המוקד…

  13. מעגל שקוטרו קטע, פרבולה ומשיקים מקבילים (שאלה מלאה · קלה)

    נתונות הנקודות A(−8,0)A(-8,0) ו-B(17,0)B(17,0). הנקודה PP מקיימת ∠APB=90∘\angle APB=90^\circ.

  14. מקום גאומטרי, אליפסה ומעגלים המשיקים לישר ולצירים (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונות הנקודות: A(0,−8)A(0,-8), B(12,0)B(12,0).

  15. מרכז ורדיוס של מעגל ממשוואה כללית (שאלה קצרה · קלה)

    נתון מעגל שמשוואתו היא x2+4x+y2−12=0x^2+4x+y^2-12=0.

  16. אליפסה, מעגל במוקד, משיק וריבוע - יחס 4:1 (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה אליפסה שמשוואתה היא x225k2+y29k2=1\frac{x^2}{25k^2}+\frac{y^2}{9k^2}=1. kk הוא פרמטר חיובי. הנקודה FF היא המוקד הימני של האליפסה. נתון מעגל…

  17. אליפסה, מעגל במוקד, משיק וריבוע - יחס 5:8 (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה אליפסה שמשוואתה היא x2169k2+y2144k2=1\frac{x^2}{169k^2}+\frac{y^2}{144k^2}=1. kk הוא פרמטר חיובי. הנקודה FF היא המוקד הימני של האליפסה. נתון מעגל…

  18. מעגל של זווית ישרה, פרבולה שמוקדה במרכזו ומשיקים מקבילים (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונות הנקודות A(−8a,0)A(-8a,0) ו-B(17a,0)B(17a,0). aa הוא פרמטר חיובי. הנקודה PP מקיימת ∠APB=90∘\angle APB=90^\circ.

  19. מעגל של זווית ישרה, פרבולה הפתוחה שמאלה ומשיקים מקבילים (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונות הנקודות A(−6a,0)A(-6a,0) ו-B(4a,0)B(4a,0). aa הוא פרמטר חיובי. הנקודה PP מקיימת ∠APB=90∘\angle APB=90^\circ.

  20. משוואת מעגל כללית דרך שלוש נקודות (שאלת ביניים · בינונית)

    מעגל עובר דרך הנקודות K(−1,0)K(-1,0), L(5,0)L(5,0) ו-N(0,5)N(0,5).

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (19)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.