דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

שאלות פתוחות: מצב הדדי בין ישר ומעגל - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על מצב הדדי בין ישר ומעגל לכיתה י"ב, 5 יחידות. השאלות כוללות ישר עם פרמטר שחותך מעגל בשתי נקודות, ישרים דרך ראשית הצירים שחותכים מיתר באורך נתון, המיתר הקצר ביותר דרך נקודה פנימית, ומרחק בין ישר למעגל. זה אחד השיעורים הגדולים במאגר, עם שאלות ברמה קלה, בינונית וקשה. אפשר להרכיב ממנו מבחן, בוחן או כמה דפי עבודה, וכל שאלה כוללת פתרון מלא וייצוא לוורד.

93 שאלותקלה: 32בינונית: 49קשה: 12

שאלה 1 · מצב הדדי בין ישר ומעגלשאלה קצרה · קלה

נתון המעגל x2+y2−2x+4y−20=0x^2+y^2-2x+4y-20=0.

א.

הישר y=1y=1 חותך את המעגל בשתי נקודות AA ו-BB. חשבו את אורך המיתר ABAB.

ב.

מצאו את משוואות הישרים המקבילים לציר ה-xx החותכים מהמעגל מיתר שאורכו 66.

שאלה 2 · מצב הדדי בין ישר ומעגלשאלה קצרה · בינונית

נתון המעגל (x−3)2+(y−4)2=10(x-3)^2+(y-4)^2=10. דרך ראשית הצירים מעבירים ישרים החותכים מהמעגל מיתר שאורכו 252\sqrt5.

מצאו את משוואות הישרים.

שאלה 3 · מצב הדדי בין ישר ומעגלשאלה קצרה · קשה

נתון המעגל (x−3)2+(y−1)2=100(x-3)^2+(y-1)^2=100 שמרכזו MM. הישר y=x+by=x+b חותך את המעגל בשתי נקודות שונות AA ו-BB, כאשר bb פרמטר.

מצאו את ערכי bb שעבורם שטח המשולש MABMAB הוא הגדול ביותר האפשרי, וחשבו שטח זה.

שאלה 4 · שני מעגלים משיקים: המשיקים המשותפים שעוברים בראשיתשאלה מלאה · קלה

נתונים שני מעגלים: (x−6)2+y2=4(x-6)^2+y^2=4 ו-(x−12)2+y2=16(x-12)^2+y^2=16.

א.

הראו כי המעגלים משיקים זה לזה מבחוץ, ומצאו את שיעורי נקודת ההשקה.

ב.

מצאו את משוואת המשיק המשותף העובר בנקודת ההשקה.

ג.

הישר y=mxy=mx, m≠0m\neq0, משיק למעגל (x−6)2+y2=4(x-6)^2+y^2=4. מצאו את mm (שתי אפשרויות).

ד.

הראו כי שני הישרים שמצאתם בסעיף ג משיקים גם למעגל (x−12)2+y2=16(x-12)^2+y^2=16.

ה.

כמה משיקים משותפים יש לשני המעגלים? סרטטו במערכת צירים אחת סקיצה של שני המעגלים ושל כל המשיקים המשותפים להם.

שאלה 5 · מצב הדדי בין ישר ומעגלשאלה קצרה · בינונית

נתון המעגל (x−1)2+(y−2)2=25(x-1)^2+(y-2)^2=25 שמרכזו MM, והנקודה P(4,1)P(4,1) הנמצאת בתוך המעגל. דרך PP מעבירים מיתרים של המעגל.

א.

מצאו את אורך המיתר הקצר ביותר העובר דרך PP.

ב.

מצאו את משוואת המיתר הקצר ביותר.

שאלה 6 · שני מעגלים משיקים עם רדיוס פרמטרי: זווית בין משיקים ושרשרת מעגליםשאלה מלאה · קשה

מעגל שמרכזו M(2,0)M(2,0) ורדיוסו 2 משיק מבחוץ למעגל שמרכזו N על החלק החיובי של ציר ה-xx ורדיוסו RR, כאשר R>2R>2 (RR פרמטר).

א.

הביעו באמצעות RR את משוואת המעגל שמרכזו N, ומצאו את משוואת המשיק המשותף העובר בנקודת ההשקה.

ב.

לשני המעגלים יש עוד שני משיקים משותפים, הנחתכים בנקודה P. הביעו באמצעות RR את שיעורי הנקודה P.

ג.

הזווית בין שני המשיקים שבסעיף ב היא 60∘60^\circ. מצאו את RR ואת משוואות שני המשיקים.

ד.

חקרו: מצאו את משוואות כל המעגלים, מלבד שני המעגלים הנתונים, שמרכזם על ציר ה-xx, המשיקים לשני הישרים שמצאתם בסעיף ג ומשיקים מבחוץ לאחד המעגלים הנתונים לפחות.

שאלה 7 · מעגל דרך שתי נקודות ואליפסה שמוקדיה על המעגלשאלה מלאה · קלה

נתונות הנקודות A(−6,2)A(-6,2) ו-B(8,−12)B(8,-12).

א.

מצאו את משוואת האנך האמצעי לקטע AB.

ב.

מעגל M עובר בנקודות A ו-B, ומרכזו נמצא על ציר ה-yy.

היעזרו בסעיף א, ומצאו את שיעורי מרכז המעגל M ואת הרדיוס שלו.

ג.

נקודות החיתוך של המעגל M עם ציר ה-xx הן מוקדים של אליפסה שמשוואתה קנונית. אורך הציר הראשי של האליפסה שווה לאורך קוטר המעגל.

מצאו את נקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה-xx ואת משוואת האליפסה.

ד.

ישר המאונך לציר ה-xx עובר במוקד השמאלי של האליפסה וחותך אותה בנקודות Q ו-T. נסמן ב-F את המוקד הימני של האליפסה.

מצאו את אורך הקטע TQ ואת שטח המשולש TQF.

שאלה 8 · מצב הדדי בין ישר ומעגלשאלה קצרה · בינונית

נתונים המעגל (x−1)2+(y+2)2=4(x-1)^2+(y+2)^2=4 שמרכזו MM והישר 3x+4y=203x+4y=20.

א.

הראו כי לישר ולמעגל אין נקודות משותפות, ומצאו את המרחק הקצר ביותר בין נקודה על המעגל לישר.

ב.

מצאו את שיעורי הנקודה על המעגל הקרובה ביותר לישר.

שאלה 9 · אליפסה ופרבולה: מתי נקודה על הפרבולה נותנת היקף קטן יותרשאלה מלאה · קשה

נתונה אליפסה שמשוואתה: x225+y29=1\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1. הנקודה F1F_1 היא המוקד הימני של האליפסה, והנקודה F2F_2 היא המוקד השמאלי שלה. הנקודה A נמצאת ברביע הראשון על פרבולה שמשוואתה קנונית והמוקד שלה בנקודה F1F_1. נסמן AF1=dAF_1=d.

א.

מצאו את משוואת הפרבולה ואת משוואת המדריך שלה.

ב.

הביעו באמצעות dd את שיעורי הנקודה A. לאילו ערכי dd קיימת נקודה A כזאת?

ג.

AF1AF_1 הוא קוטר במעגל. הוכיחו כי לכל ערך של dd המעגל משיק לציר ה-yy.

ד.

D היא נקודה על האליפסה. מצאו את כל הערכים של dd שעבורם היקף המשולש F1AF2F_1AF_2 קטן מהיקף המשולש F1DF2F_1DF_2.

שאלה 10 · מעגל חסום במשולש ישר-זווית: צלע משיקה מקודקוד ומרכז המעגל החוסםשאלה מלאה · קלה

המעגל (x+1)2+y2=20(x+1)^2+y^2=20 חסום במשולש ABCABC.

הצלע ABAB נמצאת על הישר x+2y+11=0x+2y+11=0, והצלע ACAC נמצאת על הישר 2x−y−8=02x-y-8=0.

א.

מצאו את שיעורי הקודקוד AA, והראו כי AB⊥ACAB\perp AC.

ב.

הראו כי המעגל משיק לישרים ABAB ו-ACAC.

ג.

הקודקוד BB נמצא על ציר ה-xx.

מצאו את משוואת הצלע BCBC.

ד.

מצאו את שיעורי הקודקוד CC ואת שיעורי מרכז המעגל החוסם את המשולש ABCABC, וחשבו את המרחק בין מרכזי שני המעגלים.

עוד 47 שאלות על מצב הדדי בין ישר ומעגל

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

  1. מצב הדדי בין ישר ומעגל (שאלה קצרה · בינונית)

    הישר 3x+4y−12=03x+4y-12=0 יוצר עם הצירים משולש (ראו סרטוט).

  2. מקום גאומטרי, אליפסה ומעגלים המשיקים לישר ולצירים (שאלה מלאה · קשה)

    נתונות הנקודות: A(0,−16)A(0,-16), B(10,−4)B(10,-4). המקום הגאומטרי של הנקודות CC המקיימות AC2+BC2=KAC^2+BC^2=K (KK קבוע) הוא מעגל המשיק לציר ה-xx.

  3. אליפסה ופרבולה עם מוקד משותף: מעגל משיק והיקף משולש (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה אליפסה שמשוואתה: x236+y220=1\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1. הנקודה F1F_1 היא המוקד הימני של האליפסה, והנקודה F2F_2 היא המוקד השמאלי שלה.

  4. שני מעגלים משיקים ביחס 1:3: משיקים משותפים (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונים שני מעגלים המשיקים זה לזה מבחוץ. מרכזו של המעגל האחד הוא בנקודה M ומשוואתו היא: (x−a)2+y2=r2(x-a)^2+y^2=r^2, aa הוא פרמטר חיובי. מרכזו של…

  5. מעגלים המשיקים לישר ולפרבולה בשתי נקודות (שאלה מלאה · קשה)

    נתונים הישרים שמשוואותיהם: ℓ1:4x+3y+8=0\ell_1: 4x+3y+8=0, ℓ2:x=−4\ell_2: x=-4.

  6. מקום גאומטרי, אליפסה ומעגל המשיק לישר ולצירים (שאלה מלאה · קלה)

    נתונות הנקודות: A(0,6)A(0,6), B(8,0)B(8,0).

  7. מצב הדדי בין ישר ומעגל (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונים הישרים ℓ1: y=34x+3\ell_1:\ y=\frac34x+3 ו-ℓ2: y=−34x−3\ell_2:\ y=-\frac34x-3.

  8. מעוין סביב מעגל: משיק מנקודה חיצונית, מקום גאומטרי ומעגל דרך המוקד (שאלה מלאה · קשה)

    נתון מעוין ABCDABCD שאלכסוניו מונחים על הצירים: הקודקוד AA על החלק החיובי של ציר ה-xx והקודקוד BB על החלק החיובי של ציר ה-yy. המעגל…

  9. מרחק מישרים, מעגל המשיק לשני ישרים ומעגל המשיק לפרבולה (שאלה מלאה · קלה)

    נתונים הישרים שמשוואותיהם: ℓ1:3x+4y−22=0\ell_1: 3x+4y-22=0, ℓ2:x=−2\ell_2: x=-2.

  10. מרכזי מעגלים על אנך אמצעי, אליפסה ממוקדים על ציר ה-x ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונות הנקודות A(−4,1)A(-4,1) ו-B(3,8)B(3,8).

  11. מקום גאומטרי של מרכזי מעגלים בין משיק לפרבולה לבין ניצב (שאלה מלאה · קשה)

    במשולש ישר זווית ABCABC (∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ), שיעורי הקודקוד AA הם: (a,0)(a,0), aa הוא פרמטר חיובי. שיעור ה-xx של הקודקוד BB הוא −a-a.…

  12. מעוין על הצירים: מעגל חסום, נקודת השקה ומקום גאומטרי (שאלה מלאה · קלה)

    נתון מעוין ABCDABCD שאלכסוניו מונחים על הצירים, כמתואר בסרטוט. הקודקודים: A(10,0)A(10,0), B(0,5)B(0,5), C(−10,0)C(-10,0), D(0,−5)D(0,-5).

  13. אליפסה מתוך יחס שטחים, ויחס שאינו תלוי בישר (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונות הנקודות A(12,10)A(12,10) ו-B(−5,−7)B(-5,-7).

  14. משפחת אליפסות ממיתרי מעגל: פרמטר ושטח משולש מוקדים (שאלה מלאה · קשה)

    נתון מעגל I שמשוואתו היא x2−10x+y2+t=0x^2-10x+y^2+t=0. tt הוא פרמטר קטן מ-25.

  15. מקום גאומטרי של אמצע היתר: פרבולה, מוקד ומעגל (שאלה מלאה · קלה)

    במשולש ישר זווית ABCABC (∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ), שיעורי הקודקוד AA הם (3,0)(3,0). שיעור ה-xx של הקודקוד BB הוא −3-3. הצלע BCBC מקבילה לציר…

  16. מעגל חסום במשולש: מרכז על ישר נתון, צלע משיקה ומרחק בין מרכזי המעגלים (שאלה מלאה · בינונית)

    מעגל שמרכזו בנקודה MM חסום במשולש ABCABC. הצלע ABAB נמצאת על הישר x+3y+5=0x+3y+5=0 והצלע ACAC נמצאת על הישר 3x−y−15=03x-y-15=0. מרכז המעגל MM נמצא על…

  17. מעגל משתנה סביב מוקד הפרבולה: מהיחס בין מרחקים לפרמטר (שאלה מלאה · קשה)

    נתונות הנקודות A(4−a, 0)A(4-a,\,0) ו-B(4+a, 0)B(4+a,\,0), כאשר a>4a>4 הוא פרמטר. הנקודה PP מקיימת ∠APB=90∘\angle APB=90^\circ.

  18. מעגל, משיק ואליפסה כמקום גאומטרי (שאלה מלאה · קלה)

    נתון מעגל I שמשוואתו היא x2+4x+y2−12=0x^2+4x+y^2-12=0.

  19. מצב הדדי בין ישר ומעגל (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונים המעגל x2+y2−4x+2y=0x^2+y^2-4x+2y=0 והנקודה P(−3,4)P(-3,4).

  20. פרבולה עם פרמטר: מעגל משיק ומקום גאומטרי דרך הראשית (שאלה מלאה · קשה)

    נתונה פרבולה שמשוואתה: y2=2pxy^2=2px, p>0p>0 הוא פרמטר. בנקודה AA, שנמצאת על הפרבולה, מעבירים משיק לפרבולה ששיפועו 34\frac34.

  21. אליפסה, מעגל במוקד השמאלי ומשיק - בלי פרמטר (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה אליפסה שמשוואתה היא x2100+y236=1\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1. הנקודה FF היא המוקד השמאלי של האליפסה. נתון מעגל שמרכזו בנקודה FF והוא עובר…

  22. אליפסה, פרבולה ומעגל: נקודה מחוץ לאליפסה (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה אליפסה שמשוואתה: x2100+y2100−k2=1\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{100-k^2}=1, 0<k<100<k<10. הנקודה F1F_1 היא המוקד הימני של האליפסה, והנקודה F2F_2 היא המוקד…

  23. מעגלים המשיקים לישר ולשני הצירים (שאלה קצרה · קשה)

    נתונות הנקודות E(0,10)E(0,10) ו-F1(c,0)F_1(c,0), כאשר c=7.5c=7.5.

  24. מעגל שקוטרו קטע, פרבולה ומשיקים מקבילים (שאלה מלאה · קלה)

    נתונות הנקודות A(−8,0)A(-8,0) ו-B(17,0)B(17,0). הנקודה PP מקיימת ∠APB=90∘\angle APB=90^\circ.

  25. מצב הדדי בין ישר ומעגל (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונות הנקודות P(k,0)P(k,0) ו-Q(7k,8k)Q(7k,8k), k>0k>0 הוא פרמטר. PQPQ הוא קוטר במעגל. הישר שמשוואתו 3x−4y=633x-4y=63 משיק למעגל.

  26. מעגל חסום במשולש: מרכז על ישר נתון, צלע שלישית כמשיק מנקודה חיצונית (שאלת ביניים · קשה)

    מעגל שמרכזו בנקודה MM חסום במשולש ABCABC. הצלע ABAB נמצאת על הישר x+3y+5=0x+3y+5=0 והצלע ACAC נמצאת על הישר 3x−y−15=03x-y-15=0. מרכז המעגל MM נמצא על…

  27. פרבולה, מעגל שמרכזו על ציר ה-x, ומקום גאומטרי (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה פרבולה שמשוואתה: y2=16xy^2=16x. בנקודה AA, שנמצאת על הפרבולה, מעבירים משיק לפרבולה ששיפועו 1.

  28. מקום גאומטרי, אליפסה ומעגלים המשיקים לישר ולצירים (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונות הנקודות: A(0,−8)A(0,-8), B(12,0)B(12,0).

  29. מצב הדדי בין ישר ומעגל (שאלה קצרה · בינונית)

    נתון הישר 3x+4y−12=03x+4y-12=0. מעבירים מעגלים המשיקים לישר, לציר ה-xx ולציר ה-yy.

  30. חוצי זווית ומעגלים המשיקים לישרים ולפרבולה (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונים הישרים שמשוואותיהם: ℓ1:5y−12x+140=0\ell_1: 5y-12x+140=0, ℓ2:x=−5\ell_2: x=-5.

  31. מצב הדדי בין ישר ומעגל (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונים הישרים ℓ1:3x+4y+1=0\ell_1: 3x+4y+1=0, ℓ2:x=−1\ell_2: x=-1. מעגל שמרכזו M משיק לשני הישרים, ומשיק לישר ℓ1\ell_1 בנקודה A שבה x=1x=1. המרכז M נמצא…

  32. מעוין על הצירים: מעגל חסום, נקודת השקה, מקום גאומטרי פרבולה ומעגלים משיקים (שאלה מלאה · בינונית)

    נתון מעוין ABCDABCD. אלכסוני המעוין מונחים על הצירים, כמתואר בסרטוט שלפניכם. נתון: אורך האלכסון BDBD הוא 20. המרחק של כל אחת מצלעות המעוין…

  33. מקום גאומטרי של אמצע היתר: פרבולה אנכית, משיק ומעגל (שאלה מלאה · בינונית)

    במשולש ישר זווית ABCABC (∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ), שיעורי הקודקוד AA הם: (0,a)(0,a), aa הוא פרמטר שונה מאפס. שיעור ה-yy של הקודקוד BB הוא…

  34. מצב הדדי בין ישר ומעגל (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונים הישרים 3x−4y+2=03x-4y+2=0 ו-3x−4y−48=03x-4y-48=0, והנקודה A(2,2)A(2,2).

  35. מעגל עם פרמטר, משיק, ומקום גאומטרי שהוא אליפסה (שאלה מלאה · בינונית)

    נתון מעגל I שמשוואתו היא x2+y2−8y+t=0x^2+y^2-8y+t=0. tt הוא פרמטר קטן מ-16.

  36. מצב הדדי בין ישר ומעגל (שאלה קצרה · בינונית)

    נתון מעגל שמשוואתו x2+y2+6y+t=0x^2+y^2+6y+t=0. tt הוא פרמטר קטן מ-9.

  37. מעגל עם פרמטר שמרכזו מחוץ לצירים, משיק, ומקום גאומטרי שהוא אליפסה (שאלה מלאה · בינונית)

    נתון מעגל I שמשוואתו היא x2+10x+y2−10y+t=0x^2+10x+y^2-10y+t=0. tt הוא פרמטר קטן מ-50.

  38. אליפסה, מעגל במוקד, משיק וריבוע - יחס 4:1 (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה אליפסה שמשוואתה היא x225k2+y29k2=1\frac{x^2}{25k^2}+\frac{y^2}{9k^2}=1. kk הוא פרמטר חיובי. הנקודה FF היא המוקד הימני של האליפסה. נתון מעגל…

  39. אליפסה, מעגל במוקד, משיק וריבוע - יחס 5:8 (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה אליפסה שמשוואתה היא x2169k2+y2144k2=1\frac{x^2}{169k^2}+\frac{y^2}{144k^2}=1. kk הוא פרמטר חיובי. הנקודה FF היא המוקד הימני של האליפסה. נתון מעגל…

  40. מעגל של זווית ישרה, פרבולה שמוקדה במרכזו ומשיקים מקבילים (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונות הנקודות A(−8a,0)A(-8a,0) ו-B(17a,0)B(17a,0). aa הוא פרמטר חיובי. הנקודה PP מקיימת ∠APB=90∘\angle APB=90^\circ.

  41. מצב הדדי בין ישר ומעגל (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונים המעגל (x−1)2+y2=25(x-1)^2+y^2=25 והישר ℓ: 3x−4y+12=0\ell:\ 3x-4y+12=0.

  42. מעגל של זווית ישרה, פרבולה הפתוחה שמאלה ומשיקים מקבילים (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונות הנקודות A(−6a,0)A(-6a,0) ו-B(4a,0)B(4a,0). aa הוא פרמטר חיובי. הנקודה PP מקיימת ∠APB=90∘\angle APB=90^\circ.

  43. פרבולה, מעגל המשיק לה ולציר ה-x, ומקום גאומטרי (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה פרבולה שמשוואתה: y2=64xy^2=64x. בנקודה AA, שנמצאת על הפרבולה, מעבירים משיק לפרבולה ששיפועו 43\frac43.

  44. מצב הדדי בין ישר ומעגל (שאלה קצרה · בינונית)

    מרכז המעגל MM נמצא על הישר 3x+4y=703x+4y=70. המעגל עובר דרך הנקודה A(18,4)A(18,4) ומשיק לציר ה-yy. נתון כי שיעור ה-xx של MM קטן מ-18.

  45. פרבולה, משיק בשיפוע שלילי, מעגל המשיק לציר ה-y ומקום גאומטרי (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה פרבולה שמשוואתה: y2=50xy^2=50x. בנקודה AA, שנמצאת על הפרבולה, מעבירים משיק לפרבולה ששיפועו −512-\frac{5}{12}.

  46. מצב הדדי בין ישר ומעגל (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונים הישרים y=−2xy=-2x ו-y=−2x+10y=-2x+10. מעגל משיק לישר y=−2xy=-2x בראשית הצירים O, ומשיק גם לישר y=−2x+10y=-2x+10.

  47. מעגל החסום במעוין: צלע ממרחק נתון, משוואת המעגל ונקודת ההשקה (שאלת ביניים · בינונית)

    נתון מעוין ABCDABCD. אלכסוני המעוין מונחים על הצירים, כמתואר בסרטוט שלפניכם. נתון: אורך האלכסון BDBD הוא 20. המרחק של כל אחת מצלעות המעוין…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (24)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.