מבחן לדוגמה: נקודות, ישרים ומרחקים - כיתה י"ב 5 יח"ל

מבחן במתמטיקה - כיתה י"ב 5 יח"ל

נקודות, ישרים ומרחקים

8 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון

שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · חלוקת קטע ביחס נתוןחלוקת קטע ביחס נתון · שאלה קצרה · קלה

במשולש ABCABCABC נתונים הקודקודים A(−2,3)A(-2,3)A(−2,3) ו-B(4,1)B(4,1)B(4,1). הנקודה DDD נמצאת על המשך הצלע ABABAB מעבר ל-BBB, כך ש-AB=BDAB=BDAB=BD. הנקודה M(7,2)M(7,2)M(7,2) היא אמצע הקטע CDCDCD (ראו סרטוט).
-4-224681012-224ABM

א.

מצאו את שיעורי הקודקוד CCC.

ב.

הוכיחו כי המשולש ABCABCABC שווה-שוקיים.

שאלה 2 · אליפסה, מעגל במוקד, משיק וריבוע - יחס 4:1חלוקת קטע ביחס נתון · שאלה מלאה · בינונית

נתונה אליפסה שמשוואתה היא x225k2+y29k2=1\frac{x^2}{25k^2}+\frac{y^2}{9k^2}=125k2x2​+9k2y2​=1. kkk הוא פרמטר חיובי. הנקודה FFF היא המוקד הימני של האליפסה. נתון מעגל שמרכזו בנקודה FFF והוא עובר בנקודת החיתוך של האליפסה עם החלק החיובי של ציר ה-xxx.

א.

הביעו באמצעות kkk את משוואת המעגל.

ב.

הנקודה BBB היא נקודת החיתוך של האליפסה עם החלק החיובי של ציר ה-yyy. הנקודה DDD היא נקודת החיתוך של הקטע BFBFBF עם המעגל.

(1)

מצאו את היחס בין הקטע BDBDBD ובין הקטע DFDFDF.

(2)

הביעו באמצעות kkk את שיעורי הנקודה DDD.

ג.

הביעו באמצעות kkk את משוואת המשיק למעגל בנקודה DDD.

ד.

בונים ריבוע שאורך הצלע שלו הוא 12. אחת מצלעות הריבוע נמצאת על המשיק שאת משוואתו מצאתם בסעיף ג. הנקודה BBB נמצאת בתוך הריבוע.

הביעו באמצעות kkk את משוואת הישר שעליו נמצאת צלע הריבוע המקבילה למשיק.

ה.

נתון כי הנקודה BBB היא נקודת המפגש של אלכסוני הריבוע.

מצאו את הערך של kkk.

שאלה 3 · צלע של מעוין המשיקה למעגל חסום ועוברת דרך נקודה נתונהמרחק נקודה מישר · שאלת ביניים · קשה

נתון מעוין ABCDABCDABCD שאלכסוניו מונחים על הצירים: הקודקוד AAA על החלק החיובי של ציר ה-xxx והקודקוד BBB על החלק החיובי של ציר ה-yyy. המעגל x2+y2=25x^2+y^2=25x2+y2=25 חסום במעוין. הישר שעליו מונחת הצלע ABABAB עובר דרך הנקודה P(−1,7)P(-1,7)P(−1,7).

א.

מצאו את משוואת הישר ABABAB.

ב.

מצאו את שיעורי נקודת ההשקה MMM של המעגל והצלע ABABAB, ואת שטח המעוין.

שאלה 4 · מקום גאומטרי, אליפסה ומעגלים המשיקים לישר ולציריםמרחק בין ישרים מקבילים · שאלה מלאה · בינונית

נתונות הנקודות: A(0,−8)A(0,-8)A(0,−8), B(12,0)B(12,0)B(12,0).
F₁F₂EG

א.

מצאו את משוואת המקום הגאומטרי שעליו נמצאות הנקודות CCC המקיימות: AC2+BC2=392AC^2+BC^2=392AC2+BC2=392.

ב.

את המקום הגאומטרי שמצאתם בסעיף א מזיזים 6 יחידות שמאלה ו-4 יחידות למעלה כך שמתקבל מקום גאומטרי חדש. המקום הגאומטרי החדש חותך את ציר ה-yyy בנקודות EEE ו-GGG (EEE מעל GGG). הנקודות F1F_1F1​ ו-F2F_2F2​ הן מוקדי אליפסה קנונית שעוברת דרך הנקודות EEE ו-GGG, כמתואר בסרטוט. נתון: המרחק בין הישרים EF1EF_1EF1​ ו-GF2GF_2GF2​ הוא 19.2.

(1)

מצאו את שיעורי הנקודה F1F_1F1​.

(2)

מצאו את משוואת האליפסה.

ג.

העבירו מעגלים המשיקים לישר EF1EF_1EF1​, לציר ה-xxx ולציר ה-yyy.

מצאו משוואות של שני מעגלים כאלה הנמצאים ברביעים שונים.

שאלה 5 · מצבים הדדיים בין ישרים: נחתכים, מתלכדים ומקביליםמצבים הדדיים בין ישרים: נחתכים, מתלכדים ומקבילים · שאלה קצרה · קלה

נתונה מערכת המשוואות 2x+ay=12x+ay=12x+ay=1, ax+8y=bax+8y=bax+8y=b, כאשר aaa ו-bbb פרמטרים.

א.

מצאו את כל הזוגות (a,b)(a,b)(a,b) שעבורם למערכת יש אינסוף פתרונות.

ב.

עבור אילו ערכים של aaa ו-bbb אין למערכת אף פתרון?

שאלה 6 · משפחת ישרים דרך נקודה קבועה: הישר החסר וישר מקבילמצבים הדדיים בין ישרים: נחתכים, מתלכדים ומקבילים · שאלת ביניים · קשה

לכל ערך של הפרמטר ttt המשוואה (1+t)x+(1−2t)y−1−4t=0(1+t)x+(1-2t)y-1-4t=0(1+t)x+(1−2t)y−1−4t=0 מתארת ישר.

א.

הראו כי כל הישרים המתקבלים עוברים דרך נקודה קבועה אחת, ומצאו את שיעוריה.

ב.

האם כל ישר העובר דרך הנקודה שמצאתם מתקבל מהמשוואה עבור ערך מתאים של ttt? אם כן - נמקו; אם לא - מצאו ישר כזה שאינו מתקבל.

ג.

נתון הישר 2x+y=52x+y=52x+y=5. מצאו את ערך ttt שעבורו הישר מהמשפחה מקביל לישר זה, ורשמו את משוואתו. הסבירו בעזרת הנקודה שמצאתם בסעיף א מדוע אין ערך של ttt שעבורו הישר מהמשפחה מתלכד עם הישר 2x+y=52x+y=52x+y=5.

שאלה 7 · שני מעגלים: המשיק הקצר ביותר וזווית ישרהמקומות גאומטריים שהם קו ישר · שאלה מלאה · בינונית

נתונים המעגלים: (x−1)2+(y−2)2=1(x-1)^2+(y-2)^2=1(x−1)2+(y−2)2=1, שמרכזו בנקודה K, ו-(x−6)2+(y−7)2=31(x-6)^2+(y-7)^2=31(x−6)2+(y−7)2=31, שמרכזו בנקודה L. מנקודה M שמחוץ לשני המעגלים מעבירים משיק אחד לכל מעגל: MA למעגל הראשון ו-MB למעגל השני (A ו-B הן נקודות ההשקה).

א.

מצאו את המקום הגאומטרי של כל הנקודות M שבעבורן MA=MBMA=MBMA=MB.

ב.

מבין כל הנקודות M שעל המקום הגאומטרי, מצאו את הנקודה שממנה אורך המשיק MA הוא הקטן ביותר, ואת האורך הזה.

ג.

מצאו את כל הנקודות M שעל המקום הגאומטרי שבעבורן הזווית KML ישרה.

ד.

אחת מן הנקודות שמצאתם בסעיף ג נמצאת על פרבולה שמשוואתה y2=2pxy^2=2pxy2=2px (p≠0p\neq0p=0). קבעו איזו נקודה זו, ומצאו את משוואת המשיק לפרבולה בנקודה זו.

שאלה 8 · חוצי הזוויות בין שני ישרים ומעגל ברדיוס נתון המשיק לשניהםמקומות גאומטריים שהם קו ישר · שאלת ביניים · קשה

נתונים הישרים שמשוואותיהם: ℓ1:4x+3y+8=0\ell_1: 4x+3y+8=0ℓ1​:4x+3y+8=0, ℓ2:x=−4\ell_2: x=-4ℓ2​:x=−4.

א.

מצאו את המשוואות המתארות את המקום הגאומטרי של כל הנקודות הנמצאות במרחקים שווים מן הישרים ℓ1\ell_1ℓ1​ ו-ℓ2\ell_2ℓ2​.

ב.

מעגל שרדיוסו 10 משיק לישרים ℓ1\ell_1ℓ1​ ו-ℓ2\ell_2ℓ2​, ומרכזו M נמצא ברביע הראשון. מצאו את שיעורי M ואת שיעורי נקודת ההשקה של המעגל עם ℓ1\ell_1ℓ1​.

שאלה 1 · חלוקת קטע ביחס נתוןחלוקת קטע ביחס נתון · שאלה קצרה · קלה

שאלה 2 · אליפסה, מעגל במוקד, משיק וריבוע - יחס 4:1חלוקת קטע ביחס נתון · שאלה מלאה · בינונית

שאלה 3 · צלע של מעוין המשיקה למעגל חסום ועוברת דרך נקודה נתונהמרחק נקודה מישר · שאלת ביניים · קשה

שאלה 4 · מקום גאומטרי, אליפסה ומעגלים המשיקים לישר ולציריםמרחק בין ישרים מקבילים · שאלה מלאה · בינונית

שאלה 5 · מצבים הדדיים בין ישרים: נחתכים, מתלכדים ומקביליםמצבים הדדיים בין ישרים: נחתכים, מתלכדים ומקבילים · שאלה קצרה · קלה

שאלה 6 · משפחת ישרים דרך נקודה קבועה: הישר החסר וישר מקבילמצבים הדדיים בין ישרים: נחתכים, מתלכדים ומקבילים · שאלת ביניים · קשה

שאלה 7 · שני מעגלים: המשיק הקצר ביותר וזווית ישרהמקומות גאומטריים שהם קו ישר · שאלה מלאה · בינונית

שאלה 8 · חוצי הזוויות בין שני ישרים ומעגל ברדיוס נתון המשיק לשניהםמקומות גאומטריים שהם קו ישר · שאלת ביניים · קשה

רוצים להשלים את חוויית הלמידה?

כל האתר במבט אחד