שאלות פתוחות: מצבים הדדיים בין ישרים: נחתכים, מתלכדים ומקבילים - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על מצבים הדדיים בין ישרים - נחתכים, מתלכדים ומקבילים - לכיתה י"ב, 5 יחידות. השאלות עוסקות במערכת משוואות עם פרמטרים ובמספר הפתרונות שלה, בשני ישרים שתלויים בפרמטר, בשלושה ישרים שנפגשים בנקודה אחת, באנך אמצעי, ובמשפחת ישרים שעוברים כולם דרך נקודה קבועה. השאלות ברמה קלה, בינונית וקשה. השאלות עם הפרמטרים מתאימות במיוחד לבוחן חשיבה, ואפשר לצרף להן פתרון מלא ולהוריד הכול כקובץ וורד.

17 שאלותקלה: 5בינונית: 8קשה: 4

שאלה 1 · מצבים הדדיים בין ישרים: נחתכים, מתלכדים ומקביליםשאלה קצרה · קלה

נתונה מערכת המשוואות 2x+ay=12x+ay=12x+ay=1, ax+8y=bax+8y=bax+8y=b, כאשר aaa ו-bbb פרמטרים.

א.

מצאו את כל הזוגות (a,b)(a,b)(a,b) שעבורם למערכת יש אינסוף פתרונות.

ב.

עבור אילו ערכים של aaa ו-bbb אין למערכת אף פתרון?

שאלה 2 · מצבים הדדיים בין ישרים: נחתכים, מתלכדים ומקביליםשאלה קצרה · בינונית

נתונים הישרים ax+2y=4ax+2y=4ax+2y=4 ו-2x+ay=a+22x+ay=a+22x+ay=a+2, כאשר aaa פרמטר.

א.

מצאו עבור אילו ערכים של aaa הישרים מקבילים, עבור אילו הם מתלכדים ועבור אילו הם נחתכים.

ב.

מצאו את ערך aaa שעבורו נקודת החיתוך של הישרים נמצאת על ציר ה-xxx, ומצאו את הנקודה.

שאלה 3 · מצבים הדדיים בין ישרים: נחתכים, מתלכדים ומקביליםשאלה קצרה · קשה

נתונים שלושה ישרים: y=x+1y=x+1y=x+1, y=−x+5y=-x+5y=−x+5 ו-y=axy=axy=ax, כאשר aaa פרמטר.

מצאו את כל ערכי aaa שעבורם שלושת הישרים אינם יוצרים משולש. נמקו.

שאלה 4 · מצבים הדדיים בין ישרים: נחתכים, מתלכדים ומקביליםשאלה קצרה · קלה

נתונות הנקודות A(2,−1)A(2,-1)A(2,−1) ו-B(k,7)B(k,7)B(k,7), כאשר kkk פרמטר. שיפוע האנך האמצעי לקטע ABABAB הוא −12-\frac{1}{2}−21​.

א.

מצאו את ערכו של kkk.

ב.

מצאו את משוואת האנך האמצעי לקטע ABABAB.

שאלה 5 · שני מעגלים ומשיקים: מקום גאומטרי, שטח משולש ומשיק לפרבולהשאלה מלאה · בינונית

נתון מעגל I שמשוואתו: (x−4)2+(y−1)2=4(x-4)^2+(y-1)^2=4(x−4)2+(y−1)2=4, ומרכזו בנקודה K. נתון מעגל II שמשוואתו: (x+2)2+(y−4)2=1(x+2)^2+(y-4)^2=1(x+2)2+(y−4)2=1, ומרכזו בנקודה L. הנקודה A נמצאת על מעגל I, והנקודה B נמצאת על מעגל II. מעבירים משיק למעגל I דרך הנקודה A ומשיק למעגל II דרך הנקודה B. שני המשיקים נחתכים בנקודה M.

א.

הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות M המקיימות MA=MBMA=MBMA=MB הוא קו ישר, ומצאו את משוואתו.

ב.

(1)

הראו כי הישר שאת משוואתו מצאתם בסעיף א והישר KL מאונכים זה לזה.

(2)

האם קיימת נקודה M שמתקיים בעבורה ML=MKML=MKML=MK? נמקו את תשובתכם.

ג.

נתון כי בעבור אחת מן הנקודות M, הנמצאת מעל הישר KL, שטח המשולש KLM הוא 9.

מצאו את שיעורי הנקודה M.

ד.

הנקודה M שמצאתם בסעיף ג נמצאת על הפרבולה: y2=2pxy^2=2pxy2=2px, ppp הוא פרמטר.

מצאו את משוואת המשיק לפרבולה בנקודה M.

שאלה 6 · מצבים הדדיים בין ישרים: נחתכים, מתלכדים ומקביליםשאלה קצרה · קשה

לכל ערך של הפרמטר ttt המשוואה (1+t)x+(1−2t)y−1−4t=0(1+t)x+(1-2t)y-1-4t=0(1+t)x+(1−2t)y−1−4t=0 מתארת ישר.

א.

הראו כי כל הישרים המתקבלים עוברים דרך נקודה קבועה אחת, ומצאו את שיעוריה.

ב.

האם כל ישר העובר דרך הנקודה שמצאתם מתקבל מהמשוואה עבור ערך מתאים של ttt? אם כן - נמקו; אם לא - מצאו ישר כזה שאינו מתקבל.

שאלה 7 · מעגל חסום במשולש ישר-זווית: צלע משיקה מקודקוד ומרכז המעגל החוסםשאלה מלאה · קלה

המעגל (x+1)2+y2=20(x+1)^2+y^2=20(x+1)2+y2=20 חסום במשולש ABCABCABC.
הצלע ABABAB נמצאת על הישר x+2y+11=0x+2y+11=0x+2y+11=0, והצלע ACACAC נמצאת על הישר 2x−y−8=02x-y-8=02x−y−8=0.

א.

מצאו את שיעורי הקודקוד AAA, והראו כי AB⊥ACAB\perp ACAB⊥AC.

ב.

הראו כי המעגל משיק לישרים ABABAB ו-ACACAC.

ג.

הקודקוד BBB נמצא על ציר ה-xxx.

מצאו את משוואת הצלע BCBCBC.

ד.

מצאו את שיעורי הקודקוד CCC ואת שיעורי מרכז המעגל החוסם את המשולש ABCABCABC, וחשבו את המרחק בין מרכזי שני המעגלים.

שאלה 8 · אליפסה, מעגל במוקד, משיק וריבוע - יחס 4:1שאלה מלאה · בינונית

נתונה אליפסה שמשוואתה היא x225k2+y29k2=1\frac{x^2}{25k^2}+\frac{y^2}{9k^2}=125k2x2​+9k2y2​=1. kkk הוא פרמטר חיובי. הנקודה FFF היא המוקד הימני של האליפסה. נתון מעגל שמרכזו בנקודה FFF והוא עובר בנקודת החיתוך של האליפסה עם החלק החיובי של ציר ה-xxx.

א.

הביעו באמצעות kkk את משוואת המעגל.

ב.

הנקודה BBB היא נקודת החיתוך של האליפסה עם החלק החיובי של ציר ה-yyy. הנקודה DDD היא נקודת החיתוך של הקטע BFBFBF עם המעגל.

(1)

מצאו את היחס בין הקטע BDBDBD ובין הקטע DFDFDF.

(2)

הביעו באמצעות kkk את שיעורי הנקודה DDD.

ג.

הביעו באמצעות kkk את משוואת המשיק למעגל בנקודה DDD.

ד.

בונים ריבוע שאורך הצלע שלו הוא 12. אחת מצלעות הריבוע נמצאת על המשיק שאת משוואתו מצאתם בסעיף ג. הנקודה BBB נמצאת בתוך הריבוע.

הביעו באמצעות kkk את משוואת הישר שעליו נמצאת צלע הריבוע המקבילה למשיק.

ה.

נתון כי הנקודה BBB היא נקודת המפגש של אלכסוני הריבוע.

מצאו את הערך של kkk.

שאלה 9 · אליפסה לא ידועה, משיק וריבוע שמרכזו בקודקודשאלה מלאה · קשה

נתונה אליפסה שמשוואתה היא x2a2+y2144=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{144}=1a2x2​+144y2​=1, a>12a>12a>12. הנקודה FFF היא המוקד הימני של האליפסה. נתון מעגל שמרכזו בנקודה FFF והוא עובר בנקודת החיתוך של האליפסה עם החלק החיובי של ציר ה-xxx. הנקודה BBB היא נקודת החיתוך של האליפסה עם החלק החיובי של ציר ה-yyy, והנקודה DDD היא נקודת החיתוך של הקטע BFBFBF עם המעגל. נתון: BD:DF=4:1BD:DF=4:1BD:DF=4:1.

א.

מצאו את הערך של aaa ואת משוואת המעגל.

ב.

מצאו את שיעורי הנקודה DDD ואת משוואת המשיק למעגל בנקודה DDD.

ג.

בונים ריבוע שהנקודה BBB היא נקודת המפגש של אלכסוניו, ואחת מצלעותיו נמצאת על המשיק שמצאתם בסעיף ב.

מצאו את משוואות הישרים שעליהם נמצאות ארבע הצלעות של הריבוע.

ד.

האם מרכז האליפסה O(0,0)O(0,0)O(0,0) נמצא בתוך הריבוע? האם המוקד השמאלי של האליפסה נמצא בתוך הריבוע? נמקו.

שאלה 10 · אליפסה, מעגל במוקד השמאלי ומשיק - בלי פרמטרשאלה מלאה · קלה

נתונה אליפסה שמשוואתה היא x2100+y236=1\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1100x2​+36y2​=1. הנקודה FFF היא המוקד השמאלי של האליפסה. נתון מעגל שמרכזו בנקודה FFF והוא עובר בנקודת החיתוך של האליפסה עם החלק השלילי של ציר ה-xxx.

א.

מצאו את שיעורי הנקודה FFF ואת משוואת המעגל.

ב.

הנקודה BBB היא נקודת החיתוך של האליפסה עם החלק השלילי של ציר ה-yyy. הנקודה DDD היא נקודת החיתוך של הקטע BFBFBF עם המעגל.

(1)

מצאו את אורך הקטע BFBFBF ואת היחס בין הקטע BDBDBD ובין הקטע DFDFDF.

(2)

מצאו את שיעורי הנקודה DDD.

ג.

מצאו את משוואת המשיק למעגל בנקודה DDD.

ד.

מצאו את המרחק בין הנקודה BBB ובין המשיק.

ה.

בונים ריבוע שהנקודה BBB היא מרכזו (נקודת המפגש של אלכסוניו), ואחת מצלעותיו נמצאת על המשיק.

מצאו את אורך הצלע של הריבוע ואת משוואת הישר שעליו נמצאת צלע הריבוע המקבילה למשיק.

עוד 5 שאלות על מצבים הדדיים בין ישרים: נחתכים, מתלכדים ומקבילים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

אליפסה, מעגל במוקד, משיק וריבוע - יחס 5:8 (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה אליפסה שמשוואתה היא $\frac{x^2}{169k^2}+\frac{y^2}{144k^2}=1$ . $k$ הוא פרמטר חיובי. הנקודה $F$ היא המוקד הימני של האליפסה. נתון מעגל…
משפחת ישרים דרך נקודה קבועה: הישר החסר וישר מקביל (שאלת ביניים · קשה)
לכל ערך של הפרמטר $t$ המשוואה $(1+t)x+(1-2t)y-1-4t=0$ מתארת ישר.
נקודת החיתוך של שני ישרים ובדיקת מאונכות (שאלה קצרה · קלה)
הצלע $AB$ של משולש $ABC$ נמצאת על הישר $x+2y+11=0$ , והצלע $AC$ נמצאת על הישר $2x-y-8=0$ .
מערכת עם שני פרמטרים שיש לה אינסוף פתרונות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה מערכת המשוואות $2x+ay=1$ , $ax+8y=b$ , כאשר $a$ ו- $b$ פרמטרים.
זוג ישרים עם פרמטר: מצב הדדי ונקודת החיתוך (שאלת ביניים · בינונית)
נתונים הישרים $\ell_1:\ x+(m-1)y=3$ ו- $\ell_2:\ mx+2y=m+4$ , כאשר $m$ פרמטר.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שני מעגלים ומשיקים: מקום גאומטרי, שטח משולש ומשיק לפרבולה · בגרות 572 קיץ 2024 מועד א', שאלה 1
נתון מעגל I שמשוואתו: $(x-3)^2+(y-4)^2=9$ , ומרכזו בנקודה K. נתון מעגל II שמשוואתו: $(x+5)^2+(y-2)^2=1$ , ומרכזו בנקודה L. הנקודה A נמצאת על מעגל I, והנקודה B…
אליפסה, מעגל במוקד, משיק וריבוע שצלעו על המשיק · בגרות 572 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 1
נתונה אליפסה שמשוואתה היא $\frac{x^2}{25k^2}+\frac{y^2}{16k^2}=1$ . $k$ הוא פרמטר חיובי. הנקודה $F$ היא המוקד הימני של האליפסה. נתון מעגל שמרכזו בנקודה $F$ והוא…