שאלות פתוחות: מקומות גאומטריים שהם קו ישר - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על מקומות גאומטריים שהם קו ישר, לכיתה י"ב, 5 יחידות. יש כאן מקום הנקודות שווה המרחק משתי נקודות, מקום קודקודי משפחה של פרבולות, חוצה זווית בין שני ישרים, מקום נקודות שאורכי המשיקים מהן למעגל מקיימים תנאי, ונקודה על קטע שקצותיו נעים על הצירים. רוב השאלות ברמה בינונית, ויש גם קלות וקשות. מתאים לשאלה במבחן או לדף עבודה בנושא, עם פתרון מלא וייצוא לוורד.

33 שאלותקלה: 6בינונית: 22קשה: 5

שאלה 1 · מקומות גאומטריים שהם קו ישרשאלה קצרה · קלה

נתונות הנקודות A(1,3)A(1,3)A(1,3) ו-B(5,−1)B(5,-1)B(5,−1).
-11234567-3-2-112345AB

א.

מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות PPP המקיימות PA2−PB2=16PA^2-PB^2=16PA2−PB2=16.

ב.

הראו כי המקום הגאומטרי שמצאתם מאונך לישר ABABAB, ומצאו את נקודת החיתוך שלו עם הישר ABABAB.

שאלה 2 · מקומות גאומטריים שהם קו ישרשאלה קצרה · בינונית

לכל ערך של הפרמטר ttt נתונה הפרבולה y=x2−2tx+t2+2ty=x^2-2tx+t^2+2ty=x2−2tx+t2+2t.

א.

הראו כי קודקודי כל הפרבולות במשפחה נמצאים על ישר אחד, ומצאו את משוואת הישר.

ב.

מצאו את הפרבולות במשפחה שקודקודן נמצא במרחק 5\sqrt55​ מראשית הצירים.

שאלה 3 · מעגלים המשיקים לישר ולפרבולה בשתי נקודותשאלה מלאה · קשה

נתונים הישרים שמשוואותיהם: ℓ1:4x+3y+8=0\ell_1: 4x+3y+8=0ℓ1​:4x+3y+8=0, ℓ2:x=−4\ell_2: x=-4ℓ2​:x=−4.

א.

מצאו את המשוואות המתארות את המקום הגאומטרי של כל הנקודות הנמצאות במרחקים שווים מן הישרים ℓ1\ell_1ℓ1​ ו-ℓ2\ell_2ℓ2​.

ב.

מעגל שרדיוסו 10 משיק לישרים ℓ1\ell_1ℓ1​ ו-ℓ2\ell_2ℓ2​, ומרכזו M נמצא ברביע הראשון. מצאו את שיעורי M ואת שיעורי נקודת ההשקה של המעגל עם ℓ1\ell_1ℓ1​.

ג.

הישר ℓ2\ell_2ℓ2​ הוא מדריך של פרבולה קנונית. נסמן ב-(c,0)(c,0)(c,0) את מרכזו של מעגל המשיק לפרבולה בשתי נקודות.

הביעו באמצעות ccc את ריבוע הרדיוס של המעגל, ומצאו לאילו ערכי ccc קיים מעגל כזה.

ד.

מצאו את משוואת המעגל המשיק לפרבולה בשתי נקודות ומשיק גם לישר ℓ1\ell_1ℓ1​.

שאלה 4 · מעגל דרך שתי נקודות ואליפסה שמוקדיה על המעגלשאלה מלאה · קלה

נתונות הנקודות A(−6,2)A(-6,2)A(−6,2) ו-B(8,−12)B(8,-12)B(8,−12).

א.

מצאו את משוואת האנך האמצעי לקטע AB.

ב.

מעגל M עובר בנקודות A ו-B, ומרכזו נמצא על ציר ה-yyy.

היעזרו בסעיף א, ומצאו את שיעורי מרכז המעגל M ואת הרדיוס שלו.

ג.

נקודות החיתוך של המעגל M עם ציר ה-xxx הן מוקדים של אליפסה שמשוואתה קנונית. אורך הציר הראשי של האליפסה שווה לאורך קוטר המעגל.

מצאו את נקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה-xxx ואת משוואת האליפסה.

ד.

ישר המאונך לציר ה-xxx עובר במוקד השמאלי של האליפסה וחותך אותה בנקודות Q ו-T. נסמן ב-F את המוקד הימני של האליפסה.

מצאו את אורך הקטע TQ ואת שטח המשולש TQF.

שאלה 5 · מקומות גאומטריים שהם קו ישרשאלה קצרה · בינונית

נתונים המעגל x2+y2=5x^2+y^2=5x2+y2=5 והנקודה F(5,0)F(5,0)F(5,0) שמחוץ לו. מנקודה PPP הנמצאת מחוץ למעגל מעבירים משיק למעגל, ונקודת ההשקה היא AAA.

א.

הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות PPP המקיימות PA=PFPA=PFPA=PF הוא קו ישר, ומצאו את משוואתו.

ב.

מצאו את הנקודות על המקום הגאומטרי שמצאתם שמהן אורך המשיק למעגל הוא 13\sqrt{13}13​.

שאלה 6 · מקום גאומטרי של מרכזי מעגלים בין משיק לפרבולה לבין ניצבשאלה מלאה · קשה

במשולש ישר זווית ABCABCABC (∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ∠BAC=90∘), שיעורי הקודקוד AAA הם: (a,0)(a,0)(a,0), aaa הוא פרמטר חיובי. שיעור ה-xxx של הקודקוד BBB הוא −a-a−a. הצלע BCBCBC מקבילה לציר ה-xxx. הנקודה MMM היא אמצע הצלע BCBCBC.

א.

הביעו באמצעות aaa את משוואת המקום הגאומטרי שעליו נמצאות כל הנקודות MMM.

ב.

באחת מן הנקודות MMM, שנמצאת ברביע הראשון, העבירו ישר ℓ\ellℓ המשיק למקום הגאומטרי שמצאתם בסעיף א. דרך הקודקוד AAA העבירו מעגל המשיק לישרים ℓ\ellℓ ו-ACACAC.

הוכיחו כי כאשר MMM נעה ברביע הראשון, מרכזי כל המעגלים האלה נמצאים על ישר אחד, ומצאו את משוואתו באמצעות aaa.

ג.

נתון כי מרכז המעגל הוא (2,2)(2,2)(2,2).

מצאו את aaa ואת שיעורי הקודקודים BBB ו-CCC.

ד.

האם יש נקודה MMM ברביע הראשון שעבורה המעגל עובר דרך MMM? נמקו.

שאלה 7 · מרחק מישרים, מעגל המשיק לשני ישרים ומעגל המשיק לפרבולהשאלה מלאה · קלה

נתונים הישרים שמשוואותיהם: ℓ1:3x+4y−22=0\ell_1: 3x+4y-22=0ℓ1​:3x+4y−22=0, ℓ2:x=−2\ell_2: x=-2ℓ2​:x=−2.
ℓ1ℓ2
MA

א.

(1)

הביעו באמצעות xxx ו-yyy את המרחק של נקודה (x,y)(x,y)(x,y) מהישר ℓ1\ell_1ℓ1​ ואת המרחק שלה מהישר ℓ2\ell_2ℓ2​.

(2)

מצאו את המשוואות המתארות את המקום הגאומטרי של כל הנקודות הנמצאות במרחקים שווים מן הישרים ℓ1\ell_1ℓ1​ ו-ℓ2\ell_2ℓ2​.

ב.

מעגל שמרכזו M משיק לישרים ℓ1\ell_1ℓ1​ ו-ℓ2\ell_2ℓ2​. המעגל משיק לישר ℓ1\ell_1ℓ1​ בנקודה A(2,4)A(2,4)A(2,4), והמרכז M נמצא על הישר y=12x+8y=\frac12x+8y=21​x+8 (ראו סרטוט).

(1)

מצאו את משוואת הישר שעובר דרך A ומאונך ל-ℓ1\ell_1ℓ1​.

(2)

מצאו את שיעורי הנקודה M ואת רדיוס המעגל.

ג.

הישר ℓ2\ell_2ℓ2​ הוא המדריך של הפרבולה y2=8xy^2=8xy2=8x.

הראו כי A נמצאת על הפרבולה, ובדקו אם הישר ℓ1\ell_1ℓ1​ משיק לפרבולה בנקודה A.

ד.

מעגל משיק לפרבולה בשתי נקודות שאחת מהן היא A. הסבירו מדוע מרכזו על ציר ה-xxx, ומצאו את משוואתו.

שאלה 8 · מקומות גאומטריים שהם קו ישרשאלה קצרה · בינונית

הנקודה AAA נעה על ציר ה-xxx והנקודה BBB נעה על ציר ה-yyy, כך ששיפוע הישר ABABAB הוא תמיד −2-2−2. הנקודה PPP נמצאת על הקטע ABABAB ומקיימת AP:PB=1:2AP:PB=1:2AP:PB=1:2.

מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של הנקודה PPP.

שאלה 9 · אליפסה: מציאת נקודה מהמקום הגאומטרי ומעגל משיק בעל רדיוס מרבישאלה מלאה · קשה

נתונה אליפסה שמשוואתה קנונית. הנקודה A(2,3)A(2,3)A(2,3) נמצאת על האליפסה, ושיעורי המוקד הימני של האליפסה הם (2,0)(2,0)(2,0). O היא ראשית הצירים.

א.

מצאו את משוואת האליפסה.

ב.

B היא נקודה על האליפסה שאינה על אחד הצירים. הנקודה C היא נקודה כלשהי על הישר AO, והנקודה P היא אמצע הקטע BC. נתון כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות P הוא הישר y=1.5x−3y=1.5x-3y=1.5x−3. מצאו את שיעורי הנקודה B.

ג.

מצאו את משוואת המעגל המשיק למקום הגאומטרי, ומשיק לישר AO בנקודה O.

ד.

הנקודה B נעה על האליפסה (ואינה על הישר AO), והנקודות C ו-P מוגדרות כמו בסעיף ב. לכל מיקום של B מעבירים מעגל המשיק לישר AO בנקודה O ומשיק למקום הגאומטרי של הנקודות P. מצאו את שיעורי הנקודות B שבעבורן רדיוס המעגל הוא הגדול ביותר, ואת הרדיוס הזה.

שאלה 10 · משיקים לשני מעגלים: מקום גאומטרי ומשיק לפרבולהשאלה מלאה · קלה

נתון מעגל I שמשוואתו: x2+(y−3)2=9x^2+(y-3)^2=9x2+(y−3)2=9, ומרכזו בנקודה K. נתון מעגל II שמשוואתו: (x−4)2+(y−1)2=1(x-4)^2+(y-1)^2=1(x−4)2+(y−1)2=1, ומרכזו בנקודה L. M(x,y)M(x,y)M(x,y) היא נקודה מחוץ לשני המעגלים. מן הנקודה M מעבירים משיק למעגל I, שמשיק לו בנקודה A, ומשיק למעגל II, שמשיק לו בנקודה B.

א.

הסבירו מדוע המשולש MAK ישר-זווית, והראו כי MA2=x2+(y−3)2−9MA^2=x^2+(y-3)^2-9MA2=x2+(y−3)2−9.

ב.

מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות M שבעבורן MA=MBMA=MBMA=MB.

ג.

הנקודה M נמצאת על המקום הגאומטרי שמצאתם, ושיעור ה-xxx שלה הוא 4. מצאו את האורך של MA ואת האורך של MB.

ד.

הנקודה M שמצאתם בסעיף ג נמצאת על הפרבולה y2=2pxy^2=2pxy2=2px.

מצאו את ppp ואת משוואת המשיק לפרבולה בנקודה M.

עוד 18 שאלות על מקומות גאומטריים שהם קו ישר

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

מקומות גאומטריים שהם קו ישר (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפרבולה $y=x^2$ . מעבירים מיתרים של הפרבולה ששיפועם $4$ .
המקום הגאומטרי של נקודות שאורך המשיק מהן למעגל שווה למרחקן מנקודה (שאלה קצרה · קשה)
נתונים המעגל $x^2+y^2=5$ והנקודה $F(5,0)$ שמחוץ לו. מנקודה $P$ הנמצאת מחוץ למעגל מעבירים משיק למעגל, ונקודת ההשקה היא $A$ .
אליפסה מקודקוד ונקודה, מקום גאומטרי ומעגל המשיק לשני ישרים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה אליפסה שמשוואתה קנונית. הנקודה $B(6,0)$ היא קודקוד של האליפסה על ציר ה- $x$ , והנקודה $A(2,4)$ נמצאת על האליפסה. O היא ראשית הצירים.
מרכזי מעגלים על אנך אמצעי, אליפסה ממוקדים על ציר ה-x ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונות הנקודות $A(-4,1)$ ו- $B(3,8)$ .
חוצי הזוויות בין שני ישרים ומעגל ברדיוס נתון המשיק לשניהם (שאלת ביניים · קשה)
נתונים הישרים שמשוואותיהם: $\ell_1: 4x+3y+8=0$ , $\ell_2: x=-4$ .
המקום הגאומטרי של נקודות שהפרש ריבועי מרחקיהן משתי נקודות קבוע (שאלה קצרה · קלה)
נתונות הנקודות $A(1,3)$ ו- $B(5,-1)$ .
אליפסה מתוך יחס שטחים, ויחס שאינו תלוי בישר (שאלה מלאה · בינונית)
נתונות הנקודות $A(12,10)$ ו- $B(-5,-7)$ .
מקומות גאומטריים שהם קו ישר (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הנקודות $A(-3,4)$ ו- $B(1,-4)$ .
מעגל חסום במשולש: מרכז על ישר נתון, צלע משיקה ומרחק בין מרכזי המעגלים (שאלה מלאה · בינונית)
מעגל שמרכזו בנקודה $M$ חסום במשולש $ABC$ . הצלע $AB$ נמצאת על הישר $x+3y+5=0$ והצלע $AC$ נמצאת על הישר $3x-y-15=0$ . מרכז המעגל $M$ נמצא על…
מקומות גאומטריים שהם קו ישר (שאלה קצרה · בינונית)
נתונים הישרים $\ell_1:\ x-2y+4=0$ ו- $\ell_2:\ 2x-y-4=0$ .
חוצי זווית ומעגלים המשיקים לישרים ולפרבולה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונים הישרים שמשוואותיהם: $\ell_1: 5y-12x+140=0$ , $\ell_2: x=-5$ .
מקומות גאומטריים שהם קו ישר (שאלה קצרה · בינונית)
נתונים הישרים $\ell_1: 3x-4y+12=0$ , $\ell_2: y=3$ .
שני מעגלים ומשיקים: מקום גאומטרי, שטח משולש ומשיק לפרבולה (שאלה מלאה · בינונית)
נתון מעגל I שמשוואתו: $(x-4)^2+(y-1)^2=4$ , ומרכזו בנקודה K. נתון מעגל II שמשוואתו: $(x+2)^2+(y-4)^2=1$ , ומרכזו בנקודה L. הנקודה A נמצאת על…
שני מעגלים: המשיק הקצר ביותר וזווית ישרה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונים המעגלים: $(x-1)^2+(y-2)^2=1$ , שמרכזו בנקודה K, ו- $(x-6)^2+(y-7)^2=31$ , שמרכזו בנקודה L. מנקודה M שמחוץ לשני המעגלים מעבירים משיק אחד…
אליפסה, מקום גאומטרי של אמצעי קטעים ומעגל המשיק לשני ישרים מקבילים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה אליפסה שמשוואתה קנונית. הנקודה $A(4,3)$ נמצאת על האליפסה. שיעורי המוקד הימני של האליפסה הם $(\sqrt{52},0)$ .
מקומות גאומטריים שהם קו ישר (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הנקודה $B(4,2)$ . הנקודה C נעה על הישר $y=-x$ , והנקודה P היא אמצע הקטע BC.
אליפסה שמוקדיה על ציר ה-y, מקום גאומטרי של אמצעי קטעים ומעגל המשיק לשני ישרים מקבילים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה אליפסה שמשוואתה קנונית. הנקודה $A(-3,6)$ נמצאת על האליפסה. שיעורי המוקד העליון של האליפסה הם $(0,\sqrt{132})$ .
המקום הגאומטרי של אמצעי קטעים: ישר מקביל ומרחקו (שאלת ביניים · בינונית)
נתונות הנקודות $B(6,0)$ ו- $A(2,4)$ . O היא ראשית הצירים.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

מרכזי מעגלים על אנך אמצעי, אליפסה ממוקדים על ציר ה-x ויחס שטחים · בגרות 572 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 1
נתונות הנקודות $A(-5,3)$ ו- $B(0,-2)$ .
מעגל חסום במשולש: מרכז על ישר נתון, צלע משיקה ומרחק בין מרכזי המעגלים · בגרות 572 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 1
מעגל שמרכזו בנקודה $M$ חסום במשולש $ABC$ . הצלע $AB$ נמצאת על הישר $2x+y-13=0$ והצלע $AC$ נמצאת על הישר $-x+2y+4=0$ . מרכז המעגל $M$ נמצא על הישר $y=x-1$ . ראשית…
חוצי זווית, מעגל המשיק לשני ישרים ומעגל המשיק לפרבולה · בגרות 572 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 1
נתונים הישרים שמשוואותיהם: $\ell_1: 4y-3x-20=0$ , $\ell_2: x=-4$ .
שני מעגלים ומשיקים: מקום גאומטרי, שטח משולש ומשיק לפרבולה · בגרות 572 קיץ 2024 מועד א', שאלה 1
נתון מעגל I שמשוואתו: $(x-3)^2+(y-4)^2=9$ , ומרכזו בנקודה K. נתון מעגל II שמשוואתו: $(x+5)^2+(y-2)^2=1$ , ומרכזו בנקודה L. הנקודה A נמצאת על מעגל I, והנקודה B…
אליפסה, מקום גאומטרי של אמצעי קטעים ומעגל המשיק לשני ישרים מקבילים · בגרות 572 חורף 2026, שאלה 1
נתונה אליפסה שמשוואתה קנונית. הנקודה $A(2,6)$ נמצאת על האליפסה. שיעורי המוקד הימני של האליפסה הם $(\sqrt{25.6},0)$ .