שאלות פתוחות: מרחק בין ישרים מקבילים - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על מרחק בין ישרים מקבילים לכיתה י"ב, 5 יחידות. יש כאן מלבן וריבוע שצלעותיהם הנגדיות מונחות על ישרים מקבילים, מקבילית שתחומה בארבעה ישרים, מעגל המשיק לשני ישרים מקבילים עם שיפוע לא ידוע, ושאלות על מקום גאומטרי ועל משולש ישר זווית. רוב השאלות ברמה בינונית, לצד קלות וקשות. בחרו שאלות למבחן, לבוחן או לדף עבודה, וקבלו פתרונות מלאים עם ייצוא לוורד.

32 שאלותקלה: 6בינונית: 19קשה: 7

שאלה 1 · מרחק בין ישרים מקביליםשאלה קצרה · קלה

שתי צלעות נגדיות של מלבן מונחות על הישרים 3x−4y+2=03x-4y+2=03x−4y+2=0 ו-3x−4y−8=03x-4y-8=03x−4y−8=0, ואורך כל אחת מהצלעות האלה הוא 555 (ראו סרטוט).

חשבו את שטח המלבן ואת אורך אלכסונו.

שאלה 2 · מרחק בין ישרים מקביליםשאלה קצרה · בינונית

שתיים מצלעותיו הנגדיות של ריבוע מונחות על הישרים 3x+4y−5=03x+4y-5=03x+4y−5=0 ו-3x+4y+k=03x+4y+k=03x+4y+k=0, כאשר kkk פרמטר. שטח הריבוע הוא 161616, וראשית הצירים נמצאת בין שני הישרים.

מצאו את ערכו של kkk.

שאלה 3 · מרחק בין ישרים מקביליםשאלה קצרה · קשה

דרך הנקודה A(1,2)A(1,2)A(1,2) עובר ישר ℓ1\ell_1ℓ1​, ודרך הנקודה B(5,5)B(5,5)B(5,5) עובר ישר ℓ2\ell_2ℓ2​ המקביל ל-ℓ1\ell_1ℓ1​.

מצאו את המרחק הגדול ביותר האפשרי בין הישרים ℓ1\ell_1ℓ1​ ו-ℓ2\ell_2ℓ2​, ורשמו את משוואות הישרים במקרה זה.

שאלה 4 · מקום גאומטרי, אליפסה ומעגל המשיק לישר ולציריםשאלה מלאה · קלה

נתונות הנקודות: A(0,6)A(0,6)A(0,6), B(8,0)B(8,0)B(8,0).
F₁F₂EG

א.

מצאו את משוואת המקום הגאומטרי שעליו נמצאות הנקודות CCC המקיימות: AC2+BC2=122AC^2+BC^2=122AC2+BC2=122.

ב.

את המקום הגאומטרי שמצאתם בסעיף א מזיזים 4 יחידות שמאלה ו-3 יחידות למטה. המקום הגאומטרי החדש חותך את ציר ה-yyy בנקודות EEE ו-GGG (EEE מעל GGG). הנקודות F1(c,0)F_1(c,0)F1​(c,0) ו-F2(−c,0)F_2(-c,0)F2​(−c,0), c>0c>0c>0, הן מוקדי אליפסה קנונית שעוברת דרך EEE ו-GGG (ראו סרטוט).

(1)

מצאו את שיעורי הנקודות EEE ו-GGG, והראו כי משוואת הישר EF1EF_1EF1​ היא 6x+cy−6c=06x+cy-6c=06x+cy−6c=0.

(2)

מצאו את משוואת הישר GF2GF_2GF2​, והסבירו מדוע הוא מקביל לישר EF1EF_1EF1​.

נתון: המרחק בין הישרים EF1EF_1EF1​ ו-GF2GF_2GF2​ הוא 9.6.

(3)

מצאו את ccc ואת משוואת האליפסה.

ג.

מעגל שמרכזו ברביע השני משיק לישר EF1EF_1EF1​, לציר ה-xxx ולציר ה-yyy. נסמן את רדיוסו ב-rrr.

(1)

הסבירו מדוע מרכז המעגל הוא (−r,r)(-r,r)(−r,r).

(2)

מצאו את משוואת המעגל.

שאלה 5 · מרחק בין ישרים מקביליםשאלה קצרה · בינונית

נתונים הישרים המקבילים y=mx+1y=mx+1y=mx+1 ו-y=mx−4y=mx-4y=mx−4, כאשר mmm פרמטר חיובי. מעגל שרדיוסו 1.51.51.5 משיק לשני הישרים.

א.

מצאו את ערכו של mmm.

ב.

ידוע כי מרכז המעגל נמצא על ציר ה-yyy. מצאו את משוואת המעגל.

שאלה 6 · מקום גאומטרי, אליפסה ומעגלים המשיקים לישר ולציריםשאלה מלאה · קשה

נתונות הנקודות: A(0,−16)A(0,-16)A(0,−16), B(10,−4)B(10,-4)B(10,−4). המקום הגאומטרי של הנקודות CCC המקיימות AC2+BC2=KAC^2+BC^2=KAC2+BC2=K (KKK קבוע) הוא מעגל המשיק לציר ה-xxx.

א.

מצאו את KKK ואת משוואת המקום הגאומטרי.

ב.

את המקום הגאומטרי מזיזים כך שמרכזו עובר לראשית הצירים. המעגל החדש חותך את ציר ה-yyy בנקודות EEE ו-GGG (EEE מעל GGG). הנקודות F1(c,0)F_1(c,0)F1​(c,0) ו-F2(−c,0)F_2(-c,0)F2​(−c,0), c>0c>0c>0, הן מוקדי אליפסה קנונית שעוברת דרך EEE ו-GGG. נסמן ב-ddd את המרחק בין הישרים EF1EF_1EF1​ ו-GF2GF_2GF2​.
F₁F₂EG

(1)

הביעו את ddd באמצעות ccc.

(2)

מצאו את כל הערכים האפשריים של ddd. נמקו.

נתון: d=12d=12d=12.

(3)

מצאו את משוואת האליפסה.

ג.

מעגל משיק לישר EF1EF_1EF1​, לציר ה-xxx ולציר ה-yyy.

כמה מעגלים כאלה יש? מצאו את משוואותיהם, והסבירו מדוע אין מעגל כזה ברביע השלישי.

שאלה 7 · מקום גאומטרי של אמצע היתר: פרבולה, מוקד ומעגלשאלה מלאה · קלה

במשולש ישר זווית ABCABCABC (∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ∠BAC=90∘), שיעורי הקודקוד AAA הם (3,0)(3,0)(3,0). שיעור ה-xxx של הקודקוד BBB הוא −3-3−3. הצלע BCBCBC מקבילה לציר ה-xxx. הנקודה MMM היא אמצע הצלע BCBCBC. נסמן B(−3,t)B(-3,t)B(−3,t) ו-C(c,t)C(c,t)C(c,t), כאשר t≠0t\neq0t=0.

א.

הראו כי c=3+t26c=3+\frac{t^2}{6}c=3+6t2​.

ב.

הראו כי המקום הגאומטרי שעליו נמצאות כל הנקודות MMM הוא פרבולה, מצאו את משוואתו וסרטטו אותו.

ג.

הנקודה P(3,6)P(3,6)P(3,6) היא אחת הנקודות MMM. מצאו את משוואת המשיק למקום הגאומטרי בנקודה זו, והראו שהוא מקביל לישר ACACAC המתאים לה.

ד.

(1)

מצאו את המוקד ואת המדריך של המקום הגאומטרי, והראו ש-AAA היא המוקד ו-BBB נמצאת על המדריך.

נתון גם כי AM=15AM=15AM=15, והנקודה MMM נמצאת ברביע הראשון.

(2)

היעזרו בהגדרת הפרבולה, ומצאו את שיעורי הקודקודים BBB ו-CCC.

ה.

ℓ\ellℓ הוא המשיק למקום הגאומטרי בנקודה MMM שמצאתם בסעיף ד(2). הוא מקביל ל-ACACAC.

חשבו את המרחק בין הישרים ℓ\ellℓ ו-ACACAC, ומצאו את מרכז המעגל שעובר דרך AAA ומשיק לשני הישרים.

שאלה 8 · מרחק בין ישרים מקביליםשאלה קצרה · בינונית

ארבעת הישרים 2x−y+1=02x-y+1=02x−y+1=0, 2x−y−4=02x-y-4=02x−y−4=0, x+y−2=0x+y-2=0x+y−2=0 ו-x+y+1=0x+y+1=0x+y+1=0 תוחמים מקבילית (ראו סרטוט).
-3-2-11234-4-3-2-11234

א.

חשבו את שטח המקבילית.

ב.

מצאו את שיעורי נקודת המפגש של אלכסוני המקבילית.

שאלה 9 · מקום גאומטרי של מרכזי מעגלים בין משיק לפרבולה לבין ניצבשאלה מלאה · קשה

במשולש ישר זווית ABCABCABC (∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ∠BAC=90∘), שיעורי הקודקוד AAA הם: (a,0)(a,0)(a,0), aaa הוא פרמטר חיובי. שיעור ה-xxx של הקודקוד BBB הוא −a-a−a. הצלע BCBCBC מקבילה לציר ה-xxx. הנקודה MMM היא אמצע הצלע BCBCBC.

א.

הביעו באמצעות aaa את משוואת המקום הגאומטרי שעליו נמצאות כל הנקודות MMM.

ב.

באחת מן הנקודות MMM, שנמצאת ברביע הראשון, העבירו ישר ℓ\ellℓ המשיק למקום הגאומטרי שמצאתם בסעיף א. דרך הקודקוד AAA העבירו מעגל המשיק לישרים ℓ\ellℓ ו-ACACAC.

הוכיחו כי כאשר MMM נעה ברביע הראשון, מרכזי כל המעגלים האלה נמצאים על ישר אחד, ומצאו את משוואתו באמצעות aaa.

ג.

נתון כי מרכז המעגל הוא (2,2)(2,2)(2,2).

מצאו את aaa ואת שיעורי הקודקודים BBB ו-CCC.

ד.

האם יש נקודה MMM ברביע הראשון שעבורה המעגל עובר דרך MMM? נמקו.

שאלה 10 · אליפסה, מעגל במוקד השמאלי ומשיק - בלי פרמטרשאלה מלאה · קלה

נתונה אליפסה שמשוואתה היא x2100+y236=1\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1100x2​+36y2​=1. הנקודה FFF היא המוקד השמאלי של האליפסה. נתון מעגל שמרכזו בנקודה FFF והוא עובר בנקודת החיתוך של האליפסה עם החלק השלילי של ציר ה-xxx.

א.

מצאו את שיעורי הנקודה FFF ואת משוואת המעגל.

ב.

הנקודה BBB היא נקודת החיתוך של האליפסה עם החלק השלילי של ציר ה-yyy. הנקודה DDD היא נקודת החיתוך של הקטע BFBFBF עם המעגל.

(1)

מצאו את אורך הקטע BFBFBF ואת היחס בין הקטע BDBDBD ובין הקטע DFDFDF.

(2)

מצאו את שיעורי הנקודה DDD.

ג.

מצאו את משוואת המשיק למעגל בנקודה DDD.

ד.

מצאו את המרחק בין הנקודה BBB ובין המשיק.

ה.

בונים ריבוע שהנקודה BBB היא מרכזו (נקודת המפגש של אלכסוניו), ואחת מצלעותיו נמצאת על המשיק.

מצאו את אורך הצלע של הריבוע ואת משוואת הישר שעליו נמצאת צלע הריבוע המקבילה למשיק.

עוד 17 שאלות על מרחק בין ישרים מקבילים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

מקום גאומטרי, אליפסה ומעגלים המשיקים לישר ולצירים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונות הנקודות: $A(0,-8)$ , $B(12,0)$ .
אליפסה לא ידועה, משיק וריבוע שמרכזו בקודקוד (שאלה מלאה · קשה)
נתונה אליפסה שמשוואתה היא $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{144}=1$ , $a>12$ . הנקודה $F$ היא המוקד הימני של האליפסה. נתון מעגל שמרכזו בנקודה $F$ …
מעגל שקוטרו קטע, פרבולה ומשיקים מקבילים (שאלה מלאה · קלה)
נתונות הנקודות $A(-8,0)$ ו- $B(17,0)$ . הנקודה $P$ מקיימת $\angle APB=90^\circ$ .
מקום גאומטרי של אמצע היתר: פרבולה אנכית, משיק ומעגל (שאלה מלאה · בינונית)
במשולש ישר זווית $ABC$ ( $\angle BAC=90^\circ$ ), שיעורי הקודקוד $A$ הם: $(0,a)$ , $a$ הוא פרמטר שונה מאפס. שיעור ה- $y$ של הקודקוד $B$ הוא…
מעגל משתנה סביב מוקד הפרבולה: מהיחס בין מרחקים לפרמטר (שאלה מלאה · קשה)
נתונות הנקודות $A(4-a,\,0)$ ו- $B(4+a,\,0)$ , כאשר $a>4$ הוא פרמטר. הנקודה $P$ מקיימת $\angle APB=90^\circ$ .
אליפסה מקודקוד ונקודה, מקום גאומטרי ומעגל המשיק לשני ישרים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה אליפסה שמשוואתה קנונית. הנקודה $B(6,0)$ היא קודקוד של האליפסה על ציר ה- $x$ , והנקודה $A(2,4)$ נמצאת על האליפסה. O היא ראשית הצירים.
אליפסה, מעגל במוקד, משיק וריבוע - יחס 4:1 (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה אליפסה שמשוואתה היא $\frac{x^2}{25k^2}+\frac{y^2}{9k^2}=1$ . $k$ הוא פרמטר חיובי. הנקודה $F$ היא המוקד הימני של האליפסה. נתון מעגל…
אליפסה: מציאת נקודה מהמקום הגאומטרי ומעגל משיק בעל רדיוס מרבי (שאלה מלאה · קשה)
נתונה אליפסה שמשוואתה קנונית. הנקודה $A(2,3)$ נמצאת על האליפסה, ושיעורי המוקד הימני של האליפסה הם $(2,0)$ . O היא ראשית הצירים.
מרחק בין ישרים מקבילים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונים הישר $5x-12y+8=0$ והנקודה $P(2,-1)$ .
צלע של ריבוע המקבילה לישר נתון, עם פרמטר (שאלת ביניים · קשה)
נתונה הנקודה $B(0,3k)$ , כאשר $k$ הוא פרמטר חיובי. הישר $-4x+3y+11k=0$ משיק למעגל שמרכזו $F(4k,0)$ ורדיוסו $k$ ; בסעיפים הבאים הוא נקרא…
אליפסה, מעגל במוקד, משיק וריבוע - יחס 5:8 (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה אליפסה שמשוואתה היא $\frac{x^2}{169k^2}+\frac{y^2}{144k^2}=1$ . $k$ הוא פרמטר חיובי. הנקודה $F$ היא המוקד הימני של האליפסה. נתון מעגל…
מעגל של זווית ישרה, פרבולה שמוקדה במרכזו ומשיקים מקבילים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונות הנקודות $A(-8a,0)$ ו- $B(17a,0)$ . $a$ הוא פרמטר חיובי. הנקודה $P$ מקיימת $\angle APB=90^\circ$ .
מעגל של זווית ישרה, פרבולה הפתוחה שמאלה ומשיקים מקבילים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונות הנקודות $A(-6a,0)$ ו- $B(4a,0)$ . $a$ הוא פרמטר חיובי. הנקודה $P$ מקיימת $\angle APB=90^\circ$ .
אליפסה, מקום גאומטרי של אמצעי קטעים ומעגל המשיק לשני ישרים מקבילים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה אליפסה שמשוואתה קנונית. הנקודה $A(4,3)$ נמצאת על האליפסה. שיעורי המוקד הימני של האליפסה הם $(\sqrt{52},0)$ .
אליפסה שמוקדיה על ציר ה-y, מקום גאומטרי של אמצעי קטעים ומעגל המשיק לשני ישרים מקבילים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה אליפסה שמשוואתה קנונית. הנקודה $A(-3,6)$ נמצאת על האליפסה. שיעורי המוקד העליון של האליפסה הם $(0,\sqrt{132})$ .
ישרים מקבילים לישר נתון במרחק נתון ממנו (שאלה קצרה · בינונית)
נתון הישר $5x-12y+8=0$ .
ישר מקביל דרך נקודה, המרחק בין הישרים וריבוע ביניהם (שאלת ביניים · בינונית)
נתונים הישר $\ell_1:\ 3x-4y+12=0$ והנקודה $P(5,-2)$ . הישר $\ell_2$ עובר דרך $P$ ומקביל לישר $\ell_1$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

מקום גאומטרי, אליפסה ומעגלים המשיקים לישר ולצירים · בגרות 572 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 1
נתונות הנקודות: $A(0,28)$ , $B(16,0)$ .
מקום גאומטרי של אמצע היתר: פרבולה, משיק ומעגל בין ישרים מקבילים · בגרות 572 חורף 2024, שאלה 1
במשולש ישר זווית $ABC$ ( $\angle BAC=90^\circ$ ), שיעורי הקודקוד $A$ הם: $(a,0)$ , $a$ הוא פרמטר שונה מאפס. שיעור ה- $x$ של הקודקוד $B$ הוא $-a$ . הצלע $BC$ מקבילה…
אליפסה, מעגל במוקד, משיק וריבוע שצלעו על המשיק · בגרות 572 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 1
נתונה אליפסה שמשוואתה היא $\frac{x^2}{25k^2}+\frac{y^2}{16k^2}=1$ . $k$ הוא פרמטר חיובי. הנקודה $F$ היא המוקד הימני של האליפסה. נתון מעגל שמרכזו בנקודה $F$ והוא…
מקום גאומטרי של זווית ישרה, פרבולה ומשיקים מקבילים · בגרות 572 חורף 2025, שאלה 1
נתונות הנקודות $A(-9a,0)$ ו- $B(41a,0)$ . $a$ הוא פרמטר חיובי. הנקודה $P$ מקיימת $\angle APB=90^\circ$ .
אליפסה, מקום גאומטרי של אמצעי קטעים ומעגל המשיק לשני ישרים מקבילים · בגרות 572 חורף 2026, שאלה 1
נתונה אליפסה שמשוואתה קנונית. הנקודה $A(2,6)$ נמצאת על האליפסה. שיעורי המוקד הימני של האליפסה הם $(\sqrt{25.6},0)$ .